Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions continues de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\). Si \(f \in E\), on note \(T(f) = g\) l’application définie par \[\forall x \in \mathbb{R} , \quad g(x) = \int_0^x tf(t) \;dt\]
Montrer que \(T\) est un endomorphisme de \(E\).
Déterminer \(\operatorname{Ker}T\) et \(\mathop{\mathrm{Im}}T\).
La linéarité de \(T\) provient de la linéarité de l’intégrale. Si \(f\in E\) alors par opérations sur les fonctions continues, la fonction \(t\mapsto t f\left(t\right)\) est continue sur \(\mathbb{R}\) et admet, d’après le théorème fondamental, une unique primitive \(F\) sur \(\mathbb{R}\) qui s’annule en \(0\). Donc, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(g\left(x\right)=F\left(x\right)\). Comme \(F\) est continue sur \(\mathbb{R}\) il en est de même de \(g\) et on a bien \(g\in E\). L’application \(T\) est bien à valeurs dans \(E\).
Soit \(f\in{\rm Ker}\,T\) et \(F\) la primitive sur \(\mathbb{R}\) de \(t\mapsto t f\left(t\right)\) qui s’annule en \(0\). Alors \(F=0\) et \(F'=0\). Donc pour tout \(t\in\mathbb{R}\), \(tf\left(t\right)=0\). On en déduit que \(f\) est identiquement nulle sur \(\mathbb{R}^*\). Comme \(f\) est continue en \(0\), on a aussi \(f\left(0\right)=0\). Donc \(f=0\) et \(\operatorname{Ker}T=\left\{0\right\}\). L’endomorphisme \(T\) est injectif. Montrons que \(\mathop{\mathrm{Im}}T\) est l’ensemble \(\mathscr F\) des fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) de la forme \(x\mapsto xF\left(x\right)-G\left(x\right)\) où \(F\in\mathcal{C}^{1}\left(\mathbb{R}\right)\) et où \(G:x\mapsto \int_{0}^{x} F\left(t\right)\,\textrm{d}t\). Soit \(f\in E\). Notons \(F\) la primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) qui s’annule en \(0\) et \(G\) celle de \(F\) sur \(\mathbb{R}\) qui s’annule en \(0\). Une intégration par parties livre : \[T\left(f\right)= \int_{0}^{x} tf\left(t\right)\,\textrm{d}t=\Bigl[ tF\left(t\right) \Bigr]_{0}^{x}-\int_{0}^{x} F\left(t\right)\,\textrm{d}t=xF\left(x\right)-G\left(x\right)\] donc \(T\left(f\right)\in \mathscr F\). Réciproquement, si \(H=x\mapsto xF\left(x\right)-G\left(x\right)\in \mathscr F\) alors \(H\) est de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\) et pour tout \(t\in\mathbb{R}\), \(H'\left(t\right)=F\left(t\right)+tF'\left(t\right)-G'\left(t\right)=tF'\left(t\right)\) car \(G'=F\). Donc \(H=T\left(F'\left(t\right)\right)\) et \(H\in \mathop{\mathrm{Im}}T\).
Soient le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E=\mathcal{C}^{\infty}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\) et les applications :
\[\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} E & \longrightarrow & E \\ f & \longmapsto & f' \end{array} \right. \quad \textrm{ et} \quad\psi: \left\{ \begin{array}{ccl} E & \longrightarrow & E \\ f & \longmapsto & \int_{0}^{x} f\left(t\right)\,\textrm{d}t \end{array} \right.\]
Prouver que \(\varphi\) et \(\psi\) sont des endomorphismes de \(E\).
Calculer \(\varphi\circ \psi\) et \(\psi\circ \varphi\).
Déterminer les noyaux et images de \(\varphi\) et \(\psi\).
La linéarité de \(\varphi\) provient de la linéarité de la dérivation et celle de \(\psi\) de la linéarité de l’intégration.
Soit \(f\in E\). Comme \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\), elle est continue sur \(\mathbb{R}\) et, d’après le théorème fondamental, elle admet une primitive \(F\) sur \(\mathbb{R}\). On a : \(\forall x\in \mathbb{R}, \quad \left(\psi\left(f\right)\right)(x) = F\left(x\right)-F\left(0\right)\). Par conséquent : \(\varphi\circ \psi \left(f\right) = F'=f\) et donc \(\varphi\circ \psi = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\). De même, \(f'\) est de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\) et une primitive de \(f'\) sur \(\mathbb{R}\) est bien entendu donnée par \(f\). Donc, pour tout \(\psi\circ \varphi\left(f\right) = \psi\left(f'\right)=f-f\left(0\right)\).
Comme \(\varphi\circ \psi=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\) est bijective, nécessairement \(\varphi\) est surjective et \(\psi\) est injective. Donc \(\mathop{\mathrm{Im}}{\varphi}=E\) et \(\operatorname{Ker} {\psi}=\left\{0\right\}\). Par ailleurs, \(\operatorname{Ker}{\varphi}\) est donné par les fonctions constantes sur \(\mathbb{R}\) et \(\mathop{\mathrm{Im}}{\psi}=\left\{f\in \mathcal{C}^{\infty}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)~|~ f\left(0\right)=0\right\}\). En effet, si \(f\) est élément de ce dernier ensemble alors \(\psi\left(f'\right)\) est la primitive de \(f'\) qui s’annule en \(0\). Il en est de même pour \(f\) et donc \(f=\psi\left(f'\right)\). Réciproquement, toute fonction de la forme \(x\mapsto \int_{0}^{x} f\left(t\right)\,\textrm{d}t\) s’annule en \(0\) et est \(\mathcal{C}^{\infty}\) si \(f\) l’est.