Coordonnées cartésiennes dans le plan

  1. Les exercices
  2. Vue compacte

Exercices du dossier Coordonnées cartésiennes dans le plan

Exercice 828 *

4 janvier 2021 18:27 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Calculer une équation cartésienne puis une équation paramétrique de la droite \(\mathcal D\) :

  1. passant par \(A\left(2,1\right)\) et de vecteur normal \(\overrightarrow{n}=\left(1,-1\right)\).

  2. passant par \(A\left(-1,0\right)\) et de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}=\left(1,-2\right)\).

  3. passant par \(A\left(1,2\right)\) et \(B\left(-2,3\right)\).

  4. passant par l’origine et parallèle à la droite \({\mathcal D} '~: x+y-1=0\).

  5. passant par \(A\left(1,1\right)\) et perpendiculaire à la droite \({\mathcal D} '~: \begin{cases} x&=1+2t\\y&=-1+t\end{cases};t\in\mathbb{R}\).


[ID: 120] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:27] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
Solution

Exercice 828
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:27

  1. Comme \(\mathcal D\) admet \(\overrightarrow{n}\) comme vecteur normal, une équation cartésienne de \(\mathcal D\) est de la forme \(x-y+c=0\) avec \(c\in\mathbb{R}\). Comme \(A\in \mathcal D\), on a \(c=-1\) et \(\mathcal D~: x-y-1=0\). Un vecteur directeur à \(\mathcal D\) est celui de coordonnées \(\left(1,1\right)\) donc une équation paramétrique de \(\mathcal D\) est \({\mathcal D} ~: \begin{cases} x&=2+t\\y&=1+t\end{cases}; t\in\mathbb{R}\).

  2. Comme \(\mathcal D\) est dirigée par \(\overrightarrow{u}\) elle admet comme vecteur normal celui de coordonnées \(\left(-2,-1\right)\) ou encore \(\overrightarrow{n}=\left(2,1\right)\). Une équation de \(\mathcal D\) est donc de la forme \(2x+y+c= 0\) où \(c\in\mathbb{R}\). Comme \(A\in\mathcal D\), il vient que \(c=2\) donc \(\mathcal D~:2x+y+2=0\). Une équation paramétrique de \(\mathcal D\) est \({\mathcal D} ~: \begin{cases} x&=-1+t\\y&=-2t\end{cases}; t\in\mathbb{R}\).

  3. Comme \(A\) et \(B\) sont des points de \(\mathcal D\), le vecteur \(\overrightarrow{AB}=\left(-3,1\right)\) dirige \(\mathcal D\) et le vecteur \(\overrightarrow{n}=\left(1,3\right)\) dirige \(\mathcal D\). Une équation cartésienne de \(\mathcal D\) est alors de la forme \(x+3y+c=0\) avec \(c\in\mathbb{R}\). Comme \(A\in\mathcal D\), on trouve que \(c=-7\) et finalement \(\mathcal D~:x+3y-7=0\). On trouve par ailleurs qu’une équation paramétrique de \(\mathcal D\) est \({\mathcal D} ~: \begin{cases} x&=1-3t\\y&=2+t\end{cases}; t\in\mathbb{R}\).

  4. Comme \(\mathcal D\) et \(\mathcal D '\) sont parallèles, le vecteur \(\overrightarrow{n}=\left(1,1\right)\) normal à \(\mathcal D'\) est aussi normal à \(\mathcal D\) et donc une équation cartésienne de \(\mathcal D\) est de la forme \(x+y+c=0\) avec \(c\in\mathbb{R}\). Comme \(O\in \mathcal D\), \(c=0\) et \(\mathcal D~: x+y=0\). Un vecteur directeur à \(\mathcal D\) est \(\overrightarrow{u}=\left(-1,1\right)\) et une équation paramétrique de \(\mathcal D\) est \({\mathcal D} ~: \begin{cases} x&=-t\\y&=t\end{cases}; t\in\mathbb{R}\).

  5. Un vecteur directeur de \(\mathcal D '\) est \(\overrightarrow{n}=\left(2,1\right)\) qui est normal à \(\mathcal D\) car les deux droites sont perpendiculaires. Une équation de \(\mathcal D\) est donc de la forme \(2x+y+c=0\) avec \(c\in\mathbb{R}\). Comme \(A\in\mathcal D\) alors \(c=-3\) et \(\mathcal D~: 2x+y-3=0\). Un vecteur directeur de \(\mathcal D\) est \(\overrightarrow{u}=\left(-1,2\right)\) donc une équation paramétrique de \(\mathcal D\) est \({\mathcal D} ~: \begin{cases} x&=1-t\\y&=1+2t\end{cases}; t\in\mathbb{R}\).


Exercice 641 *

4 janvier 2021 18:27 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Calculer une équation cartésienne de la droite \(\mathcal D\) d’équation paramétrique \(\begin{cases} x&=1-t \\y&=2-3t \end{cases}\).


[ID: 122] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:27] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
Solution

Exercice 641
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:27

On pourrait lire sur l’équation paramétrique de \(\mathcal D\) les coordonnées d’un point et d’un vecteur directeur de \(\mathcal D\). Procédons autrement : \[\begin{cases} x&=1-t \\y&=2-3t \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}t&=1-x\\t&= \dfrac{2-y}{3}\end{cases}\Rightarrow 1-x=\dfrac{2-y}{3} \Rightarrow -3x+y+1=0\] et donc \(\mathcal D~: -3x+y+1=0\). On peut aussi éliminer \(t\) dans le système précédent en effectuant une combinaison linéaire entre les deux équations.


Exercice 732 *

4 janvier 2021 18:27 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

On rapporte le plan à un repère orthonormal direct. On considère les points \(A(-1,-1)\), \(B(2,3)\) et \(C(3,-3)\).

  1. Calculer l’aire du triangle \(ABC\).

  2. En déduire la distance de \(A\) à la droite \((BC)\).

  3. Former une équation cartésienne de la droite \((AB)\).

  4. En déduire la longueur de la hauteur issue de \(C\) et retrouver l’aire du triangle \(ABC\).


[ID: 124] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:27] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
Solution

Exercice 732
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:27

  1. L’aire de \(ABC\) est donnée par : \({\scriptstyle\left|\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\right|\over\scriptstyle 2} = {\scriptstyle 22\over\scriptstyle 2}=\boxed{11}\).

  2. Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(A\) sur \((BC)\). \(\left(AH\right)\) est donc une hauteur de \(ABC\) et l’aire de \(ABC\) est aussi donnée par : \({\scriptstyle BC \times AH\over\scriptstyle 2}\). Comme \(BC=\sqrt{37}\), on trouve : \(\boxed{AH={\scriptstyle 22\sqrt{37}\over\scriptstyle 37}}\).

  3. Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\left(3,4\right)\) dirige la droite \(\left(AB\right)\). Par conséquent, une équation de \(\left(AB\right)\) est \(\boxed{-4x+3y-1=0}\).

  4. La longueur de la hauteur issue de \(C\) est la distance de \(C\) à la droite \(\left(AB\right)\). Par conséquent : \(d\left(C,\left(AB\right)\right) = \dfrac{\left|-4x_C+3y_C-1\right|}{5}=\boxed{\dfrac{22}{5}}\). L’aire du triangle \(ABC\) est alors donnée par : \(\dfrac{AB \times d\left(C,\left(AB\right)\right)}{2} = \dfrac{5 \times \dfrac{22}{5}}{2} = \boxed{11}\).


Exercice 992 *

4 janvier 2021 18:27 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, on considère les points \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} 1\\-2 \end{matrix}\right.}\) et \(B \underset{}{\left|\begin{matrix} -2\\3 \end{matrix}\right.}\).

  1. Écrire une équation cartésienne de la droite \((AB)\).

  2. Déterminer la distance du point \(C \underset{}{\left|\begin{matrix} 1\\1 \end{matrix}\right.}\) à la droite \((AB)\).

  3. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal \(H\) de \(C\) sur \(\left(AB\right)\).

  4. Retrouver la distance du point \(C\) à la droite \((AB)\) en utilisant la question précédente.


[ID: 126] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:27] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
Solution

Exercice 992
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:27

  1. Soit \(M \underset{}{\left|\begin{matrix} x\\y \end{matrix}\right.}\) un point du plan. Il appartient à la droite \((AB)\) si et seulement si \(\mathop{\rm det}(\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AB}) = 0\), ce qui donne une équation cartésienne de la droite \((AB)\) : \(\boxed{(AB)~: 5x+3y+1=0}\).

  2. Avec la formule du cours, \(d(C, (AB)) = \dfrac{\lvert 5+3+1 \rvert }{\sqrt{5^2 + 3^2}} = \dfrac{9}{\sqrt{34}}\).

  3. Comme \(\overrightarrow{n}=\left(5,3\right)\) est normal à \(\left(AB\right)\), il dirige \(\left(CH\right)\) et une équation paramétrique de \(\left(CH\right)\) est \(\left(CH\right)~:\begin{cases}x&=1+5t\\y&=1+3t \end{cases}\). Les coordonnées de \(H\) sont solutions du système : \[\begin{cases}x&=1+5t\\y&=1+3t\\5x+3y+1&=0 \end{cases}.\] On trouve \(t=-9/34\), \(x=-11/34\) et \(y=7/34\). Donc \(H\left(-11/34,7/34\right)\).

  4. Il suffit de calculer la norme de \(\overrightarrow{CH}=\left(45/34,27/34\right)\), on trouve \(\left\|\overrightarrow{CH}\right\|=\sqrt{81/34}=9/\sqrt{34}\).


Exercice 901 **

4 janvier 2021 18:27 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère le point \(\Omega \underset{}{\left|\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}\right.}\). Parmi toutes les droites passant par \(\Omega\), déterminer celles qui sont à distance \(1\) du point \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} -1\\4 \end{matrix}\right.}\).


[ID: 128] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:27] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
Solution

Exercice 901
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:27

On peut décrire toutes les droites passant par \(\Omega\) (sauf la droite verticale) à l’aide d’un seul paramètre, la pente \(m\). L’équation cartésienne d’une telle droite \(\mathcal{D}_m\) est donc \((y-2)=m(x-1)\), c’est-à-dire \(\boxed{\mathcal{D}_m~: mx - y + (2-m) = 0}\). La distance du point \(A\) à la droite \(\mathcal{D}_m\) est alors donnée par la formule : \[d(A, \mathcal{D}_m) = \dfrac{\lvert -m-4+2-m \rvert }{\sqrt{m^2+1}} = \dfrac{2\lvert m+1 \rvert }{\sqrt{m^2+1}}\] Cette distance vaut \(1\) si et seulement si \(4(m+1)^2 = m^2+1\), c’est-à-dire \(3m^2+8m+3=0\), et on trouve les deux pentes solutions, \(m_1 = \dfrac{-4+\sqrt{7}}{3}\) et \(m_2 = \dfrac{-4-\sqrt{7}}{3}\). On vérifie ensuite que la droite verticale passant par \(\Omega\) ne convient pas en écrivant son équation cartésienne \(x=1\) et en calculant la distance de \(A\) à cette droite qui vaut \(2\).


Exercice 337 *

4 janvier 2021 18:27 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Calculer la distance du point \(A\) à la droite \(\mathscr D\) dans les cas suivants :

  1. \(A\left(0,0\right)\) et \(\mathscr D\) passe par \(B\left(5,3\right)\) et est dirigée par \(\overrightarrow{u} \left(1,2\right)\).

  2. \(A\left(1,-1\right)\) et \(\mathscr D\) passe par \(B\left(-1,1\right)\) et est perpendiculaire à \(\overrightarrow{n}\left(2,3\right)\).

  3. \(A\left(4,1\right)\) et \(\mathscr D\) est la droite d’équation cartésienne \(x+2y+3=0\).


[ID: 130] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:27] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
Solution

Exercice 337
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:27

  1. \(d\left(A,\mathscr D\right)={\scriptstyle\left|\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{u}\right)\right|\over\scriptstyle\left\|\overrightarrow{u}\right\|}={\scriptstyle 7\sqrt{5}\over\scriptstyle 5}\)

  2. \(d\left(A,\mathscr D\right)={\scriptstyle\left|\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{n}\right|\over\scriptstyle\left\|\overrightarrow{n}\right\|}={\scriptstyle 2\sqrt{13}\over\scriptstyle 13}\)

  3. \(d\left(A,\mathscr D\right)={\scriptstyle\left|x_A+2y_A+3\right|\over\scriptstyle\sqrt{5}}={\scriptstyle 9\sqrt 5\over\scriptstyle 5}\)


Exercice 436 *

4 janvier 2021 18:27 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct, on considère les 4 points \(A\left(-1,3\right)\), \(B\left(-6,-2\right)\), \(C\left(2,-6\right)\) et \(D\left(3,1\right)\).

  1. Montrer que \(ABCD\) est un trapèze.

  2. Calculer les coordonnées de l’intersection de ses diagonales.

  3. Montrer que ses diagonales sont perpendiculaires.

  4. Calculer l’aire de \(ABCD\).


[ID: 132] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:27] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
Solution

Exercice 436
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:27

  1. Comme \(\overrightarrow{AD}=\left(4,-2\right)\) et \(\overrightarrow{BC}=\left(8,-4\right)\) il est clair que \(\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AB}\) et que les droites \(\left(AD\right)\) et \(\left(BC\right)\) sont parallèles. Par suite, \(ABCD\) est un trapèze.

  2. On calcule une équation cartésienne de \(\left(AC\right)\). Cette droite est dirigée par \(\overrightarrow{AC}=\left(3,-9\right)\) ou encore par le vecteur \(\overrightarrow{u}=\left(1,-3\right)\). Un vecteur normal à cette droite est donc \(\overrightarrow{n}=\left(3,1\right)\). Une équation cartésienne de \(\left(AC\right)\) est donc de la forme \(3x+y+c=0\) avec \(c\in\mathbb{R}\). Comme \(A\in\left(AC\right)\), il vient que \(c=0\). Donc \(\left(AC\right):~ 3x+y=0\). On montre de même que \(\left(BD\right):~ -x+3y=0\). On remarque que ces deux droites passent par l’origine du repère donc leur point d’intersection est \(O\).

  3. Un vecteur normal à \(\left(AC\right)\) est \(\overrightarrow{n}=\left(3,1\right)\) et un vecteur normal à \(\left(BD\right)\) est \(\overrightarrow{n}'=\left(-1,3\right)\). Il est clair que \(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{n}'=0\) et donc que les diagonales sont perpendiculaires.

  4. On utilise la formule vue au collège. Si \(\mathcal A\) désigne l’aire de \(ABCD\) alors \(\mathcal A=\left(\textrm{ petite base} + \textrm{ grande base}\right)\times \textrm{ hauteur}/2\). On sait que \(\textrm{ petite base}=\left\|\overrightarrow{AD}\right\|=2\sqrt 5\) et \(\textrm{ grande base}=\left\|\overrightarrow{BC}\right\|=4\sqrt 5\). De plus \[\textrm{ hauteur}=d\left(A,\left(BC\right)\right)=\dfrac{\left|\mathop{\rm det}{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}}\right|}{\left\|BC\right\|} =\dfrac{\left|\left| \begin{array}{ll} -5 & 8\\ -5 & -4 \end{array} \right|\right|}{4\sqrt 5}=\dfrac{\left|-20\left| \begin{array}{ll} 1 & 2\\ 1 & -1 \end{array} \right|\right|}{4\sqrt 5}=\dfrac{60}{4\sqrt 5}\] et \(\mathcal A=45\).


Exercice 163 *

4 janvier 2021 18:27 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur


[ID: 134] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:27] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
Solution

Exercice 163
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:27

  1. Un vecteur directeur de \(D\) est \(\overrightarrow{u}\left(-4,3\right)\) et un vecteur directeur de \(D'\) est \(\overrightarrow{u}'\left(5,-12\right)\). Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc ces deux droites ne sont pas parallèles.

  2. Soit \(M\left(x,y\right)\) un point du plan. On a la série d’équivalences : \[\begin{aligned} && M \textrm{ est un point d'une des bissectrices aux deux droites} \\ &\Longleftrightarrow& d\left(M,\mathcal D\right) = d\left(M,\mathcal D'\right)\\ &\Longleftrightarrow& \dfrac{\left|3x+4y+3\right|}{5}=\dfrac{\left|12x-5y+4\right|}{13}\\ &\Longleftrightarrow& 13\left(3x+4y+3\right)=5\left(12x-5y+4\right) \textrm{ ou } 13\left(3x+4y+3\right)=-5\left(12x-5y+4\right)\\ &\Longleftrightarrow& -21x+77y+19=0 \textrm{ ou } 99x +27y+59=0.\end{aligned}\] Donc les bissectrices ont pour équation \(\boxed{-21x+77y+19=0}\) et \(\boxed{99x +27y+59=0}\).


Bissectrices de deux droites **

4 janvier 2021 18:28 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

On considère deux droites \(\mathcal D\) et \(\mathcal D'\) non parallèles et d’équations normales respectives: \[x\cos \theta+ y \sin \theta - p=0 \textrm{ et } x\cos \theta'+ y \sin \theta' - p'=0\] où \(p,p'\in\mathbb{R}\) et \(\theta,\theta'\in\mathbb{R}\), \(\theta\neq \theta'~\left[\pi\right]\).

  2. Montrer que si \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{u}'\) sont des vecteurs unitaires qui dirigent les droites \(\mathcal D\) et \(\mathcal D'\) alors les vecteurs \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u'}\) et \(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{u'}\) dirige chacune de ces deux bissectrices.

  3. Montrer que ces deux bissectrices sont perpendiculaires.

  1. 1  Voir la note 1


[ID: 136] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:28] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
Solution

Bissectrices de deux droites
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:28

  1. Soit \(M\left(x,y\right)\) un point du plan. On a la série d’équivalences : \[\begin{aligned} & M \textrm{ est un point d'une des bissectrices aux deux droites} \\ \Longleftrightarrow& d\left(M,\mathcal D\right) = d\left(M,\mathcal D'\right)\\ \Longleftrightarrow& \dfrac{\left|x\cos \theta + y\sin\theta -p\right|}{\cos ^2 \theta + \sin^2 \theta} = \dfrac{\left|x\cos \theta' + y\sin\theta' -p'\right|}{\cos ^2 \theta' + \sin^2 \theta'}\\ \Longleftrightarrow& \left|x\cos \theta + y\sin\theta -p\right| = \left|x\cos \theta' + y\sin\theta'-p'\right|\\ \Longleftrightarrow& x\cos \theta + y\sin\theta -p = {x\cos \theta' + y\sin\theta'} -p' \quad \textrm{ ou} \quad x\cos \theta + y\sin\theta -p = -\left(x\cos \theta' + y\sin\theta'-p'\right) \\ \Longleftrightarrow& \left(\cos \theta - \cos \theta'\right) x + \left(\sin \theta - \sin \theta'\right)y = p-p' \quad \textrm{ ou} \quad\left(\cos \theta + \cos \theta'\right) x + \left(\sin \theta + \sin \theta'\right)y = p+p'\\ \Longleftrightarrow& -2\sin {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2}\sin {\scriptstyle\theta - \theta'\over\scriptstyle 2} x + 2\cos {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2}\sin {\scriptstyle\theta - \theta'\over\scriptstyle 2} y=p-p' \quad \textrm{ ou} \quad 2\cos {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2}\cos {\scriptstyle\theta - \theta'\over\scriptstyle 2}x + 2\sin {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2}\cos {\scriptstyle\theta - \theta'\over\scriptstyle 2}y =p+p'\\ \Longleftrightarrow& -\sin {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2} x + \cos {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2} y=\dfrac{2\left(p-p'\right)}{\sin {\scriptstyle\theta - \theta'\over\scriptstyle 2} } \quad \textrm{ ou} \quad\cos {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2}x + \sin {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2}y = \dfrac{2\left(p+p'\right)}{\cos {\scriptstyle\theta - \theta'\over\scriptstyle 2}}\\\end{aligned}\] ce qui est licite car \(\theta\neq \theta'~\left[\pi\right]\). Les équations des deux bissectrices sont donc : \[\boxed{-\sin {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2} x + \cos {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2} y=\dfrac{2\left(p-p'\right)}{\sin {\scriptstyle\theta - \theta'\over\scriptstyle 2} }} \quad \boxed{\cos {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2}x + \sin {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2}y =\dfrac{2\left(p+p'\right)}{\cos {\scriptstyle\theta - \theta'\over\scriptstyle 2}}}\] Ces deux équations sont de plus normales.

  2. Comme \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{u}'\) sont unitaires, on peut supposer que \(\overrightarrow{u}=\left(\cos \theta,\sin\theta\right)\) et que \(\overrightarrow{u}'=\left(\cos \theta',\sin\theta'\right)\) alors \[\overrightarrow{u} +\overrightarrow{u}'=\left(\cos\theta+\cos\theta',\sin\theta+\sin\theta'\right)=2\cos{\scriptstyle\theta-\theta'\over\scriptstyle 2 } \left( \cos {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2},\sin {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2} \right)\] qui dirige clairement la première bissectrice. De même : \[\overrightarrow{u} -\overrightarrow{u}'=\left(\cos\theta-\cos\theta',\sin\theta-\sin\theta'\right)=2\sin{\scriptstyle\theta-\theta'\over\scriptstyle 2 } \left( -\sin {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2},\cos {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2} \right)\] qui dirige la deuxième.

  3. Comme \(\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}'\right).\left(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{u}'\right)=\left\|\overrightarrow{u}\right\|^2 -\left\|\overrightarrow{u}'\right\|^2=0\), les deux bissectrices sont perpendiculaires.


Exercice 303 **

4 janvier 2021 18:28 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur
Dans le plan, on considère trois points \(A\), \(B\) et \(C\) non-alignés. Une droite \(\mathcal{D}\) coupe les droites \((BC)\), \((AC)\) et \((AB)\) en \(A'\), \(B'\) et \(C'\) respectivement. Par \(A'\) on mène les parallèles à \((AB)\) et \((AC)\) qui coupent respectivement aux points \(E\) et \(F\) la parallèle à \((BC)\) menée par \(A\). Montrer que les droites \((B'E)\) et \((C'F)\) sont parallèles.
( ).
Le problème est indépendant du repère choisi, à vous donc de choisir un bon repère...


[ID: 138] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:28] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
Solution

Exercice 303
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:28

Faire un dessin !

  • Choix du repère : \(\mathcal{R} = (A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\). Dans ce repère, \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\0 \end{matrix}\right.}\), \(B \underset{}{\left|\begin{matrix} 1\\0 \end{matrix}\right.}\), \(C \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\1 \end{matrix}\right.}\). Comme \(B'\) est sur la droite \((AC)\), il existe \(b \in \mathbb{R}\) tel que \(B' \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\b \end{matrix}\right.}\). De même, il existe \(c \in \mathbb{R}\) tel que \(C' \underset{}{\left|\begin{matrix} c\\0 \end{matrix}\right.}\).

  • Équation cartésienne de la droite \(\mathcal{D} = (B'C')\) : un point \(M \underset{}{\left|\begin{matrix} x\\y \end{matrix}\right.}\) est sur cette droite si et seulement si \(\mathop{\rm det}(\overrightarrow{B'M}, \overrightarrow{B'C'})=0\), c’est-à-dire \(\boxed{(B'C')~: bx+cy-bc=0}\).

  • On calcule de même l’équation de la droite \((BC)\) et l’on trouve \(\boxed{(BC)~: x + y - 1 = 0}\).

  • Coordonnées de \(A' \underset{}{\left|\begin{matrix} x\\y \end{matrix}\right.}\) : puisque \(A'\) est sur la droite \((B'C')\) et sur \((BC)\), ses coordonnées vérifient le système \(\begin{cases} x + y &= 1 \\ bx+cy&=bc\end{cases}\). On en tire \(\boxed{A' \underset{}{\left|\begin{matrix} \dfrac{c(1-b)}{c-b} \\ \dfrac{b(1-c)}{b-c} \end{matrix}\right.}}\). On remarque que le cas où \(b = c\) correspond à une droite \(\mathcal{D}\) parallèle à \((BC)\) ce qui est exclu par l’énoncé.

  • Équation cartésienne de la droite \(\mathcal{D}'\), parallèle à \((BC)\) passant par \(A\) : on trouve \(\boxed{\mathcal{D}'~: x + y = 0}\).

  • Coordonnées de \(E\) : il existe \(\lambda \in \mathbb{R}\) tel que \(E = A' + \lambda \overrightarrow{AB}\), c’est-à-dire \(\begin{cases} x &= \dfrac{c(1-b)}{c-b} + \lambda \\ y &= \dfrac{b(1-c)}{b-c} \end{cases}\). Puisque \(E \in \mathcal{D}'\), \(x+y=0\) et on en tire que \(\boxed{E \underset{}{\left|\begin{matrix} \dfrac{b(1-c)}{c-b} \\ \dfrac{b(1-c)}{c-b} \end{matrix}\right.}}\).

  • Coordonnées de \(F\) : de la même façon, en écrivant \(F = A' + \lambda \overrightarrow{AC'}\), on trouve que \(\boxed{F \underset{}{\left|\begin{matrix} \dfrac{c(1-b)}{c-b} \\ -\dfrac{c(1-b)}{c-b} \end{matrix}\right.}}\).

  • Pour montrer que \((B'E)\) et \((C'F)\) sont parallèles, calculons \(\boxed{\overrightarrow{B'E} \underset{}{\left|\begin{matrix} \dfrac{b(1-c)}{c-b} \\ \dfrac{b(b-1)}{c-b} \end{matrix}\right.}}\) et \(\boxed{\overrightarrow{C'F} \underset{}{\left|\begin{matrix} \dfrac{c(1-c)}{c-b} \\ -\dfrac{c(1-b)}{c-b} \end{matrix}\right.}}\). Ensuite, calculons le déterminant \(\mathop{\rm det}(\overrightarrow{B'E}, \overrightarrow{C'F}) = \dfrac{1}{(c-b)^2}\bigl[ -bc(1-c)(1-b) - bc(b-1)(1-c)\bigr] = 0\) après simplifications. Le résultat est montré.


Exercice 767 **

4 janvier 2021 18:28 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

On considère un point \(A_{\lambda} \underset{}{\left|\begin{matrix} \lambda \\ 0 \end{matrix}\right.}\) de l’axe \((Ox)\) et un point \(B_{\lambda} \underset{}{\left|\begin{matrix} 0 \\ a - \lambda \end{matrix}\right.}\) de l’axe \((Oy)\).

  1. Écrire l’équation cartésienne de la médiatrice du segment \([A_{\lambda} B_{\lambda}]\).

  2. Montrer que lorsque \(\lambda\) varie, cette médiatrice passe toujours par un point fixe.


[ID: 140] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:28] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
Solution

Exercice 767
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:28

  1. Soit \(M \underset{}{\left|\begin{matrix} x\\y \end{matrix}\right.}\). Le point \(M\) appartient à la médiatrice de \(\left[A_{\lambda},B_{\lambda}\right]\) si et seulement si \(d(A_{\lambda}, M) = d(B_{\lambda}, M)\), c’est-à-dire si et seulement si \({\left(x-\lambda\right)^2}+y^2= x^2+{\left(y-a+\lambda\right)^2}\). Ceci amène l’équation cartésienne \[\boxed{ \mathcal{D}_{\lambda}:~ 2\lambda x + 2(\lambda - a)y - 2\lambda a + a^2 = 0 }\]

  2. On remarque que le point \(C \underset{}{\left|\begin{matrix} a/2 \\ a/2 \end{matrix}\right.}\) appartient à toutes les droites \(\mathcal{D}_{\lambda}\).


Exercice 291 **

4 janvier 2021 18:28 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

On considère dans le plan euclidien un triangle équilatéral \((ABC)\). On choisit un repère orthonormé d’origine le milieu de \([AB]\), avec le vecteur \(\overrightarrow{i} = \dfrac{\overrightarrow{AB}}{\lVert \overrightarrow{AB} \rVert_{ }}\) dans lequel \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} -a\\0 \end{matrix}\right.}\) et \(B \underset{}{\left|\begin{matrix} a\\0 \end{matrix}\right.}\) avec \(a > 0\).

  1. Déterminer les coordonnées du point \(C\).

  2. Écrire les équations cartésiennes des droites \((AC)\) et \((BC)\).

  3. Montrer que si \(M\) est un point intérieur au triangle, la somme des distances de \(M\) à chaque côté du triangle est constante.

  4. Retrouver ce résultat en partitionnant le triangle \(ABC\) en trois triangles dont on déterminera les aires grâce au déterminant.


[ID: 142] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:28] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
Solution

Exercice 291
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:28

  1. Si \(C \underset{}{\left|\begin{matrix} 0 \\ c \end{matrix}\right.}\), on calcule \(\lVert \overrightarrow{AC} \rVert_{ }^2 = c^2 + a^2\) qui doit valoir \(\lVert \overrightarrow{AB} \rVert_{ }^2 = 4a^2\) d’où l’on tire \(c = \sqrt{3}a\) et donc \(C \underset{}{\left|\begin{matrix} 0 \\ \sqrt{3}a \end{matrix}\right.}\).

  2. Soit \(M \underset{}{\left|\begin{matrix} x\\y \end{matrix}\right.}\) un point de la droite \((AC)\). Il doit vérifier \(\mathop{\rm det}(\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AC}) = 0\), d’où l’on tire \[\boxed{ (AC)~: \sqrt{3}a x - a y + \sqrt{3}a^2 = 0 }\] et de même \[\boxed{ (BC)~: \sqrt{3}a x + a y - \sqrt{3}a^2 = 0 }\]

  3. Soit un point \(M \underset{}{\left|\begin{matrix} x\\y \end{matrix}\right.}\) intérieur au triangle. La distance de \(M\) à la droite \((AB)\) vaut \(y\) (\(y \geqslant 0\)). Appliquons la formule du cours pour calculer la distance de \(M\) à la droite \((AC)\) : \[d(M, AC) = \dfrac{\lvert \sqrt{3}a x - ay + \sqrt{3}a^2 \rvert } {\sqrt{3a^2 + a^2}} = \dfrac{\sqrt{3}x - y + \sqrt{3}a}{2}\] On a utilisé que le point \(M\) était à droite de la droite \((AC)\) pour enlever la valeur absolue. De même, \[d(M, BC) = \dfrac{\lvert \sqrt{3}ax+ay-\sqrt{3}a^2 \rvert }{\sqrt{3a^2+a^2}} = \dfrac{-\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}a}{2}\] La somme des trois distances est constante et vaut \(\sqrt{3}a\).

  4. Si \(U\), \(V\) et \(W\) sont trois points du plan, on notera \(\mathscr A_{UVW}\) l’aire du triangle \(UVW\). On a : \[\begin{aligned} &&d\left(M,\left(AB\right)\right) + d\left(M,\left(BC\right)\right) + d\left(M,\left(CA\right)\right) \\ &=&\dfrac{\left|\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB}\right)\right|}{ \left\|\overrightarrow{AB}\right\|}+ \dfrac{\left|\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{BM},\overrightarrow{BC}\right)\right|}{ \left\|\overrightarrow{BC}\right\|} +\dfrac{\left|\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{CM},\overrightarrow{CA}\right)\right|}{ \left\|\overrightarrow{CA}\right\|}\\ &=& \mathscr A_1 + \mathscr A_2+\mathscr A_3\end{aligned}\] où \(\mathscr A_1\) est l’aire du parallélogramme porté par les vecteurs \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{AB}\), \(\mathscr A_2\) est l’aire du parallélogramme porté par les vecteurs \(\overrightarrow{BM}\) et \(\overrightarrow{BC}\) et \(\mathscr A_3\) est l’aire du parallélogramme porté par les vecteurs \(\overrightarrow{CM}\) et \(\overrightarrow{CA}\). Mais \(\mathscr A_1=2\mathscr A_{MAB}\), \(\mathscr A_2=2\mathscr A_{MBC}\) et \(\mathscr A_3=2\mathscr A_{MCA}\). Donc : \[d\left(M,\left(AB\right)\right) + d\left(M,\left(BC\right)\right) + d\left(M,\left(CA\right)\right) = 2\left(\mathscr A_{MAB} +\mathscr A_{MBC}+ \mathscr A_{MCA} \right) = 2\mathscr A_{ABC}\] ce qui prouve que la somme des trois longueurs est constante.


Exercice 509 **

4 janvier 2021 18:28 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Dans le plan, on considère un triangle \((ABC)\) et on note \(I\) le milieu du segment \([BC]\). Une droite passant par \(I\) coupe les droites \((AB)\) en \(D\) et \((AC)\) en \(E\). Déterminer le lieu des points d’intersection des droites \((BE)\) et \((CD)\).


[ID: 144] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:28] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
Solution

Exercice 509
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:28

On se place dans le repère \((A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\). Danc ce repère

  1. le point \(I\) a comme coordonnées \(I \underset{}{\left|\begin{matrix} 1/2 \\1/2 \end{matrix}\right.}\)

  2. la droite passant par \(D\) admet comme équation cartésienne : \((y-1/2) = \lambda (x - 1/2)\) avec \(\lambda \neq 0\) (puisque cette droite n’est pas parallèle à \((AB)\) ni à \((AC)\).

  3. les coordonnées des points \(D\) et \(E\) sont \(D \underset{}{\left|\begin{matrix} 1/2 - 1/2\lambda \end{matrix}\right.}\), \(E \underset{}{\left|\begin{matrix} 0 \\ 1/2 - \lambda /2 \end{matrix}\right.}\)

  4. la droite \((BE)\) admet comme équation cartésienne : \((1-\lambda) x + 2y = 1 - \lambda\)

  5. la droite \((CD)\) admet comme équation cartésienne : \(2\lambda x + (\lambda - 1)y = \lambda - 1\).

  6. l’intersection de ces deux droites est formée du point : \(M \underset{}{\left|\begin{matrix} \dfrac{\lambda - 1}{\lambda + 1} \\ -\dfrac{\lambda - 1}{\lambda + 1} \end{matrix}\right.} = \underset{}{\left|\begin{matrix} 1 - \dfrac{2}{\lambda + 1} \\ -1 + \dfrac{2}{\lambda + 1} \end{matrix}\right.}\) (les deux droites ne sont pas parallèles lorsque \(\lambda \neq - 1\)).

  7. Le point \(M\) est sur la droite d’équation \(x + y = 0\). L’application \(\lambda \mapsto \dfrac{\lambda - 1}{\lambda + 1}\) étant une bijection de \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) vers \(\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}\), on trouve tous les points de cette droite sauf ceux d’abscisse \(1\) et \(-1\).


Exercice 1023 **

4 janvier 2021 18:28 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

On considère dans le plan euclidien un triangle isocèle \((ABC)\) avec \(AB = AC\). On considère un point \(D\) qui varie sur le segment \([AB]\) et un point \(E\) sur le segment \([BC]\) tels que \(\overline{D'E} = \dfrac{1}{2}\overline{BC}\) où \(D'\) est le projeté orthogonal de \(D\) sur \((BC)\). Par le point \(E\), on mène la perpendiculaire à la droite \((DE)\). Montrer que cette droite passe par un point fixe \(I\).


[ID: 146] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:28] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
Solution

Exercice 1023
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:28

On choisit le repère orthonormé tel que \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\a \end{matrix}\right.}\), \(B \underset{}{\left|\begin{matrix} -b\\0 \end{matrix}\right.}\) et \(C \underset{}{\left|\begin{matrix} b\\0 \end{matrix}\right.}\). Notons \(D' \underset{}{\left|\begin{matrix} \lambda\\0 \end{matrix}\right.}\), on a alors \(E \underset{}{\left|\begin{matrix} \lambda + b\\0 \end{matrix}\right.}\). On détermine l’équation cartésienne de la droite \((AB)\) : \(\boxed{ax-by+ab=0}\), les coordonnées du point \(D\) : \(\boxed{D \underset{}{\left|\begin{matrix} \lambda \\ \dfrac{a\lambda + ab}{2} \end{matrix}\right.}}\) puis l’équation cartésienne de la perpendiculaire en \(E\) : \(\boxed{-bx + \dfrac{a\lambda + ab}{b}y + b(\lambda + b) = 0}\). On peut voir cette équation comme un polynôme en \(\lambda~\): \[\boxed{ \lambda \bigl[b + \dfrac{ay}{b}\bigr] + \bigl[b(b-x)+ay\bigr] = 0 }\] Il suffit d’annuler le coefficient de \(\lambda\) et le coefficient constant pour voir que cette droite passe toujours par le point \(\boxed{I \underset{}{\left|\begin{matrix} 0 \\ -b^2/a \end{matrix}\right.}}\).


Exercice 408 **

4 janvier 2021 18:28 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Dans le repère canonique du plan, on considère deux points sur les axes \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} \lambda \\0 \end{matrix}\right.}\) et \(B \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\a-\lambda \end{matrix}\right.}\). On note \(C\) le point tel que \((OACD)\) soit un rectangle. On note \(\mathcal{D}_{\lambda}\) la perpendiculaire à la droite \((AB)\) passant par \(C\). Montrer que la droite \(\mathcal{D}_{\lambda}\) passe par un point fixe à déterminer lorsque \(\lambda\) varie.


[ID: 148] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:28] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
Solution

Exercice 408
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:28

\(C \underset{}{\left|\begin{matrix} \lambda \\ a-\lambda \end{matrix}\right.}\). Pour obtenir l’équation cartésienne de \(\mathcal{D}_{\lambda}\), on traduit \(\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{BA} = 0\) et l’on trouve \[\mathcal{D}_{\lambda}~: \lambda x + (\lambda - a) y - 2a\lambda + a^2=0\] que l’on peut écrire comme un polynôme en \(\lambda\) : \[\lambda(x+y-2a) + (-ay+a^2)=0.\] En considérant le point \(I \underset{}{\left|\begin{matrix} x\\y \end{matrix}\right.}\) avec \(x\) et \(y\) qui annulent les deux coefficients de ce polynôme, on trouve le point fixe \(\boxed{I \underset{}{\left|\begin{matrix} a\\a \end{matrix}\right.}}\).


Exercice 539 **

4 janvier 2021 18:28 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Déterminer l’intersection des droites \(D_1\) et \(D_2\) : \[D_1\;\left\lbrace \begin{array}{rcl} x&=&2t-1 \\ y&=&-t+2 \end{array}\right. \;t\in\mathbb R\qquad D_2\;\left\lbrace \begin{array}{rcl} x&=&t+2 \\ y&=&3t+1 \end{array}\right.\;t\in\mathbb R\]


[ID: 150] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:28] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
Solution

Exercice 539
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:28

  1. On prend deux paramètres distincts \(t\) et \(u\) et on égale les abscisses et ordonnées pour obtenir le système : \(\left\lbrace \begin{array}{rcl} 2t-1&=&u+2 \\ -t+2&=&3u+1 \end{array}\right.\) d’où \(\left\lbrace \begin{array}{rcl} 2t-u&=&3 \\ -t-3u&=&-1 \end{array}\right.\) d’où \(-7u = 1\) et \(u=-\dfrac17\). On en déduit \(u = -\dfrac17 + 2 = \dfrac{13}{7}\) et \(y = -\dfrac37 + 1 = \dfrac47\).

  2. \(\vec u(2,-1)\) est vecteur directeur de \(D_1\), donc \(\vec n(1,2)\) est vecteur normal de \(D_1\). Donc une équation cartésienne de \(D_1\) est \(x+2y = k\). \(k\) est déterminé en écrivant que (pour \(t=0\)) \(M(-1,2)\in D_1\) soit \(k= -1+2\times2 = 3\). Maintenant on traduit : un point de \(D_2\) vérifie cette équation de \(D_1\) : \(t+2 +2(3t+1) = 3\) soit \(t = -\dfrac17\) et on conclut comme ci-dessus.
    Moralité : L’intersection de deux objets géométriques se traite bien lorsqu’un est défini en paramétrique et l’autre par équation cartésienne.


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