Coordonnées cartésiennes dans le plan

Exercices du dossier Coordonnées cartésiennes dans le plan

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Exercice 828
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:27
  1. Comme \(\mathcal D\) admet \(\overrightarrow{n}\) comme vecteur normal, une équation cartésienne de \(\mathcal D\) est de la forme \(x-y+c=0\) avec \(c\in\mathbb{R}\). Comme \(A\in \mathcal D\), on a \(c=-1\) et \(\mathcal D~: x-y-1=0\). Un vecteur directeur à \(\mathcal D\) est celui de coordonnées \(\left(1,1\right)\) donc une équation paramétrique de \(\mathcal D\) est \({\mathcal D} ~: \begin{cases} x&=2+t\\y&=1+t\end{cases}; t\in\mathbb{R}\).

  2. Comme \(\mathcal D\) est dirigée par \(\overrightarrow{u}\) elle admet comme vecteur normal celui de coordonnées \(\left(-2,-1\right)\) ou encore \(\overrightarrow{n}=\left(2,1\right)\). Une équation de \(\mathcal D\) est donc de la forme \(2x+y+c= 0\)\(c\in\mathbb{R}\). Comme \(A\in\mathcal D\), il vient que \(c=2\) donc \(\mathcal D~:2x+y+2=0\). Une équation paramétrique de \(\mathcal D\) est \({\mathcal D} ~: \begin{cases} x&=-1+t\\y&=-2t\end{cases}; t\in\mathbb{R}\).

  3. Comme \(A\) et \(B\) sont des points de \(\mathcal D\), le vecteur \(\overrightarrow{AB}=\left(-3,1\right)\) dirige \(\mathcal D\) et le vecteur \(\overrightarrow{n}=\left(1,3\right)\) dirige \(\mathcal D\). Une équation cartésienne de \(\mathcal D\) est alors de la forme \(x+3y+c=0\) avec \(c\in\mathbb{R}\). Comme \(A\in\mathcal D\), on trouve que \(c=-7\) et finalement \(\mathcal D~:x+3y-7=0\). On trouve par ailleurs qu’une équation paramétrique de \(\mathcal D\) est \({\mathcal D} ~: \begin{cases} x&=1-3t\\y&=2+t\end{cases}; t\in\mathbb{R}\).

  4. Comme \(\mathcal D\) et \(\mathcal D '\) sont parallèles, le vecteur \(\overrightarrow{n}=\left(1,1\right)\) normal à \(\mathcal D'\) est aussi normal à \(\mathcal D\) et donc une équation cartésienne de \(\mathcal D\) est de la forme \(x+y+c=0\) avec \(c\in\mathbb{R}\). Comme \(O\in \mathcal D\), \(c=0\) et \(\mathcal D~: x+y=0\). Un vecteur directeur à \(\mathcal D\) est \(\overrightarrow{u}=\left(-1,1\right)\) et une équation paramétrique de \(\mathcal D\) est \({\mathcal D} ~: \begin{cases} x&=-t\\y&=t\end{cases}; t\in\mathbb{R}\).

  5. Un vecteur directeur de \(\mathcal D '\) est \(\overrightarrow{n}=\left(2,1\right)\) qui est normal à \(\mathcal D\) car les deux droites sont perpendiculaires. Une équation de \(\mathcal D\) est donc de la forme \(2x+y+c=0\) avec \(c\in\mathbb{R}\). Comme \(A\in\mathcal D\) alors \(c=-3\) et \(\mathcal D~: 2x+y-3=0\). Un vecteur directeur de \(\mathcal D\) est \(\overrightarrow{u}=\left(-1,2\right)\) donc une équation paramétrique de \(\mathcal D\) est \({\mathcal D} ~: \begin{cases} x&=1-t\\y&=1+2t\end{cases}; t\in\mathbb{R}\).


Exercice 641 *

4 janvier 2021 18:27 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Calculer une équation cartésienne de la droite \(\mathcal D\) d’équation paramétrique \(\begin{cases} x&=1-t \\y&=2-3t \end{cases}\).



[ID: 122] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:27] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
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Exercice 641
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:27

On pourrait lire sur l’équation paramétrique de \(\mathcal D\) les coordonnées d’un point et d’un vecteur directeur de \(\mathcal D\). Procédons autrement : \[\begin{cases} x&=1-t \\y&=2-3t \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}t&=1-x\\t&= \dfrac{2-y}{3}\end{cases}\Rightarrow 1-x=\dfrac{2-y}{3} \Rightarrow -3x+y+1=0\] et donc \(\mathcal D~: -3x+y+1=0\). On peut aussi éliminer \(t\) dans le système précédent en effectuant une combinaison linéaire entre les deux équations.


Exercice 732 *

4 janvier 2021 18:27 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

On rapporte le plan à un repère orthonormal direct. On considère les points \(A(-1,-1)\), \(B(2,3)\) et \(C(3,-3)\).

  1. Calculer l’aire du triangle \(ABC\).

  2. En déduire la distance de \(A\) à la droite \((BC)\).

  3. Former une équation cartésienne de la droite \((AB)\).

  4. En déduire la longueur de la hauteur issue de \(C\) et retrouver l’aire du triangle \(ABC\).



[ID: 124] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:27] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
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Exercice 732
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:27
  1. L’aire de \(ABC\) est donnée par : \({\scriptstyle\left|\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\right|\over\scriptstyle 2} = {\scriptstyle 22\over\scriptstyle 2}=\boxed{11}\).

  2. Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(A\) sur \((BC)\). \(\left(AH\right)\) est donc une hauteur de \(ABC\) et l’aire de \(ABC\) est aussi donnée par : \({\scriptstyle BC \times AH\over\scriptstyle 2}\). Comme \(BC=\sqrt{37}\), on trouve : \(\boxed{AH={\scriptstyle 22\sqrt{37}\over\scriptstyle 37}}\).

  3. Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\left(3,4\right)\) dirige la droite \(\left(AB\right)\). Par conséquent, une équation de \(\left(AB\right)\) est \(\boxed{-4x+3y-1=0}\).

  4. La longueur de la hauteur issue de \(C\) est la distance de \(C\) à la droite \(\left(AB\right)\). Par conséquent : \(d\left(C,\left(AB\right)\right) = \dfrac{\left|-4x_C+3y_C-1\right|}{5}=\boxed{\dfrac{22}{5}}\). L’aire du triangle \(ABC\) est alors donnée par : \(\dfrac{AB \times d\left(C,\left(AB\right)\right)}{2} = \dfrac{5 \times \dfrac{22}{5}}{2} = \boxed{11}\).


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Exercice 992
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:27
  1. Soit \(M \underset{}{\left|\begin{matrix} x\\y \end{matrix}\right.}\) un point du plan. Il appartient à la droite \((AB)\) si et seulement si \(\mathop{\rm det}(\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AB}) = 0\), ce qui donne une équation cartésienne de la droite \((AB)\) : \(\boxed{(AB)~: 5x+3y+1=0}\).

  2. Avec la formule du cours, \(d(C, (AB)) = \dfrac{\lvert 5+3+1 \rvert }{\sqrt{5^2 + 3^2}} = \dfrac{9}{\sqrt{34}}\).

  3. Comme \(\overrightarrow{n}=\left(5,3\right)\) est normal à \(\left(AB\right)\), il dirige \(\left(CH\right)\) et une équation paramétrique de \(\left(CH\right)\) est \(\left(CH\right)~:\begin{cases}x&=1+5t\\y&=1+3t \end{cases}\). Les coordonnées de \(H\) sont solutions du système : \[\begin{cases}x&=1+5t\\y&=1+3t\\5x+3y+1&=0 \end{cases}.\] On trouve \(t=-9/34\), \(x=-11/34\) et \(y=7/34\). Donc \(H\left(-11/34,7/34\right)\).

  4. Il suffit de calculer la norme de \(\overrightarrow{CH}=\left(45/34,27/34\right)\), on trouve \(\left\|\overrightarrow{CH}\right\|=\sqrt{81/34}=9/\sqrt{34}\).


Exercice 901 **

4 janvier 2021 18:27 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère le point \(\Omega \underset{}{\left|\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}\right.}\). Parmi toutes les droites passant par \(\Omega\), déterminer celles qui sont à distance \(1\) du point \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} -1\\4 \end{matrix}\right.}\).



[ID: 128] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:27] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
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Exercice 901
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:27

On peut décrire toutes les droites passant par \(\Omega\) (sauf la droite verticale) à l’aide d’un seul paramètre, la pente \(m\). L’équation cartésienne d’une telle droite \(\mathcal{D}_m\) est donc \((y-2)=m(x-1)\), c’est-à-dire \(\boxed{\mathcal{D}_m~: mx - y + (2-m) = 0}\). La distance du point \(A\) à la droite \(\mathcal{D}_m\) est alors donnée par la formule : \[d(A, \mathcal{D}_m) = \dfrac{\lvert -m-4+2-m \rvert }{\sqrt{m^2+1}} = \dfrac{2\lvert m+1 \rvert }{\sqrt{m^2+1}}\] Cette distance vaut \(1\) si et seulement si \(4(m+1)^2 = m^2+1\), c’est-à-dire \(3m^2+8m+3=0\), et on trouve les deux pentes solutions, \(m_1 = \dfrac{-4+\sqrt{7}}{3}\) et \(m_2 = \dfrac{-4-\sqrt{7}}{3}\). On vérifie ensuite que la droite verticale passant par \(\Omega\) ne convient pas en écrivant son équation cartésienne \(x=1\) et en calculant la distance de \(A\) à cette droite qui vaut \(2\).


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Exercice 337
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:27
  1. \(d\left(A,\mathscr D\right)={\scriptstyle\left|\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{u}\right)\right|\over\scriptstyle\left\|\overrightarrow{u}\right\|}={\scriptstyle 7\sqrt{5}\over\scriptstyle 5}\)

  2. \(d\left(A,\mathscr D\right)={\scriptstyle\left|\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{n}\right|\over\scriptstyle\left\|\overrightarrow{n}\right\|}={\scriptstyle 2\sqrt{13}\over\scriptstyle 13}\)

  3. \(d\left(A,\mathscr D\right)={\scriptstyle\left|x_A+2y_A+3\right|\over\scriptstyle\sqrt{5}}={\scriptstyle 9\sqrt 5\over\scriptstyle 5}\)


Exercice 436 *

4 janvier 2021 18:27 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct, on considère les 4 points \(A\left(-1,3\right)\), \(B\left(-6,-2\right)\), \(C\left(2,-6\right)\) et \(D\left(3,1\right)\).

  1. Montrer que \(ABCD\) est un trapèze.

  2. Calculer les coordonnées de l’intersection de ses diagonales.

  3. Montrer que ses diagonales sont perpendiculaires.

  4. Calculer l’aire de \(ABCD\).



[ID: 132] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:27] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
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Exercice 436
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:27
  1. Comme \(\overrightarrow{AD}=\left(4,-2\right)\) et \(\overrightarrow{BC}=\left(8,-4\right)\) il est clair que \(\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AB}\) et que les droites \(\left(AD\right)\) et \(\left(BC\right)\) sont parallèles. Par suite, \(ABCD\) est un trapèze.

  2. On calcule une équation cartésienne de \(\left(AC\right)\). Cette droite est dirigée par \(\overrightarrow{AC}=\left(3,-9\right)\) ou encore par le vecteur \(\overrightarrow{u}=\left(1,-3\right)\). Un vecteur normal à cette droite est donc \(\overrightarrow{n}=\left(3,1\right)\). Une équation cartésienne de \(\left(AC\right)\) est donc de la forme \(3x+y+c=0\) avec \(c\in\mathbb{R}\). Comme \(A\in\left(AC\right)\), il vient que \(c=0\). Donc \(\left(AC\right):~ 3x+y=0\). On montre de même que \(\left(BD\right):~ -x+3y=0\). On remarque que ces deux droites passent par l’origine du repère donc leur point d’intersection est \(O\).

  3. Un vecteur normal à \(\left(AC\right)\) est \(\overrightarrow{n}=\left(3,1\right)\) et un vecteur normal à \(\left(BD\right)\) est \(\overrightarrow{n}'=\left(-1,3\right)\). Il est clair que \(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{n}'=0\) et donc que les diagonales sont perpendiculaires.

  4. On utilise la formule vue au collège. Si \(\mathcal A\) désigne l’aire de \(ABCD\) alors \(\mathcal A=\left(\textrm{ petite base} + \textrm{ grande base}\right)\times \textrm{ hauteur}/2\). On sait que \(\textrm{ petite base}=\left\|\overrightarrow{AD}\right\|=2\sqrt 5\) et \(\textrm{ grande base}=\left\|\overrightarrow{BC}\right\|=4\sqrt 5\). De plus \[\textrm{ hauteur}=d\left(A,\left(BC\right)\right)=\dfrac{\left|\mathop{\rm det}{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}}\right|}{\left\|BC\right\|} =\dfrac{\left|\left| \begin{array}{ll} -5 & 8\\ -5 & -4 \end{array} \right|\right|}{4\sqrt 5}=\dfrac{\left|-20\left| \begin{array}{ll} 1 & 2\\ 1 & -1 \end{array} \right|\right|}{4\sqrt 5}=\dfrac{60}{4\sqrt 5}\] et \(\mathcal A=45\).


Exercice 163 *

4 janvier 2021 18:27 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur


[ID: 134] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:27] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
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Exercice 163
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:27
  1. Un vecteur directeur de \(D\) est \(\overrightarrow{u}\left(-4,3\right)\) et un vecteur directeur de \(D'\) est \(\overrightarrow{u}'\left(5,-12\right)\). Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc ces deux droites ne sont pas parallèles.

  2. Soit \(M\left(x,y\right)\) un point du plan. On a la série d’équivalences : \[\begin{aligned} && M \textrm{ est un point d'une des bissectrices aux deux droites} \\ &\Longleftrightarrow& d\left(M,\mathcal D\right) = d\left(M,\mathcal D'\right)\\ &\Longleftrightarrow& \dfrac{\left|3x+4y+3\right|}{5}=\dfrac{\left|12x-5y+4\right|}{13}\\ &\Longleftrightarrow& 13\left(3x+4y+3\right)=5\left(12x-5y+4\right) \textrm{ ou } 13\left(3x+4y+3\right)=-5\left(12x-5y+4\right)\\ &\Longleftrightarrow& -21x+77y+19=0 \textrm{ ou } 99x +27y+59=0.\end{aligned}\] Donc les bissectrices ont pour équation \(\boxed{-21x+77y+19=0}\) et \(\boxed{99x +27y+59=0}\).


Bissectrices de deux droites **

4 janvier 2021 18:28 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

On considère deux droites \(\mathcal D\) et \(\mathcal D'\) non parallèles et d’équations normales respectives: \[x\cos \theta+ y \sin \theta - p=0 \textrm{ et } x\cos \theta'+ y \sin \theta' - p'=0\]\(p,p'\in\mathbb{R}\) et \(\theta,\theta'\in\mathbb{R}\), \(\theta\neq \theta'~\left[\pi\right]\).

  1. Montrer que si \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{u}'\) sont des vecteurs unitaires qui dirigent les droites \(\mathcal D\) et \(\mathcal D'\) alors les vecteurs \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u'}\) et \(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{u'}\) dirige chacune de ces deux bissectrices.

  2. Montrer que ces deux bissectrices sont perpendiculaires.


  1. 1  Voir la note 1


[ID: 136] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:28] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
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Bissectrices de deux droites
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:28
  1. Soit \(M\left(x,y\right)\) un point du plan. On a la série d’équivalences : \[\begin{aligned} & M \textrm{ est un point d'une des bissectrices aux deux droites} \\ \Longleftrightarrow& d\left(M,\mathcal D\right) = d\left(M,\mathcal D'\right)\\ \Longleftrightarrow& \dfrac{\left|x\cos \theta + y\sin\theta -p\right|}{\cos ^2 \theta + \sin^2 \theta} = \dfrac{\left|x\cos \theta' + y\sin\theta' -p'\right|}{\cos ^2 \theta' + \sin^2 \theta'}\\ \Longleftrightarrow& \left|x\cos \theta + y\sin\theta -p\right| = \left|x\cos \theta' + y\sin\theta'-p'\right|\\ \Longleftrightarrow& x\cos \theta + y\sin\theta -p = {x\cos \theta' + y\sin\theta'} -p' \quad \textrm{ ou} \quad x\cos \theta + y\sin\theta -p = -\left(x\cos \theta' + y\sin\theta'-p'\right) \\ \Longleftrightarrow& \left(\cos \theta - \cos \theta'\right) x + \left(\sin \theta - \sin \theta'\right)y = p-p' \quad \textrm{ ou} \quad\left(\cos \theta + \cos \theta'\right) x + \left(\sin \theta + \sin \theta'\right)y = p+p'\\ \Longleftrightarrow& -2\sin {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2}\sin {\scriptstyle\theta - \theta'\over\scriptstyle 2} x + 2\cos {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2}\sin {\scriptstyle\theta - \theta'\over\scriptstyle 2} y=p-p' \quad \textrm{ ou} \quad 2\cos {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2}\cos {\scriptstyle\theta - \theta'\over\scriptstyle 2}x + 2\sin {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2}\cos {\scriptstyle\theta - \theta'\over\scriptstyle 2}y =p+p'\\ \Longleftrightarrow& -\sin {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2} x + \cos {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2} y=\dfrac{2\left(p-p'\right)}{\sin {\scriptstyle\theta - \theta'\over\scriptstyle 2} } \quad \textrm{ ou} \quad\cos {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2}x + \sin {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2}y = \dfrac{2\left(p+p'\right)}{\cos {\scriptstyle\theta - \theta'\over\scriptstyle 2}}\\\end{aligned}\] ce qui est licite car \(\theta\neq \theta'~\left[\pi\right]\). Les équations des deux bissectrices sont donc : \[\boxed{-\sin {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2} x + \cos {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2} y=\dfrac{2\left(p-p'\right)}{\sin {\scriptstyle\theta - \theta'\over\scriptstyle 2} }} \quad \boxed{\cos {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2}x + \sin {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2}y =\dfrac{2\left(p+p'\right)}{\cos {\scriptstyle\theta - \theta'\over\scriptstyle 2}}}\] Ces deux équations sont de plus normales.

  2. Comme \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{u}'\) sont unitaires, on peut supposer que \(\overrightarrow{u}=\left(\cos \theta,\sin\theta\right)\) et que \(\overrightarrow{u}'=\left(\cos \theta',\sin\theta'\right)\) alors \[\overrightarrow{u} +\overrightarrow{u}'=\left(\cos\theta+\cos\theta',\sin\theta+\sin\theta'\right)=2\cos{\scriptstyle\theta-\theta'\over\scriptstyle 2 } \left( \cos {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2},\sin {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2} \right)\] qui dirige clairement la première bissectrice. De même : \[\overrightarrow{u} -\overrightarrow{u}'=\left(\cos\theta-\cos\theta',\sin\theta-\sin\theta'\right)=2\sin{\scriptstyle\theta-\theta'\over\scriptstyle 2 } \left( -\sin {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2},\cos {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2} \right)\] qui dirige la deuxième.

  3. Comme \(\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}'\right).\left(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{u}'\right)=\left\|\overrightarrow{u}\right\|^2 -\left\|\overrightarrow{u}'\right\|^2=0\), les deux bissectrices sont perpendiculaires.


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Exercice 303
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:28

Faire un dessin !

  • Choix du repère : \(\mathcal{R} = (A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\). Dans ce repère, \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\0 \end{matrix}\right.}\), \(B \underset{}{\left|\begin{matrix} 1\\0 \end{matrix}\right.}\), \(C \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\1 \end{matrix}\right.}\). Comme \(B'\) est sur la droite \((AC)\), il existe \(b \in \mathbb{R}\) tel que \(B' \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\b \end{matrix}\right.}\). De même, il existe \(c \in \mathbb{R}\) tel que \(C' \underset{}{\left|\begin{matrix} c\\0 \end{matrix}\right.}\).

  • Équation cartésienne de la droite \(\mathcal{D} = (B'C')\) : un point \(M \underset{}{\left|\begin{matrix} x\\y \end{matrix}\right.}\) est sur cette droite si et seulement si \(\mathop{\rm det}(\overrightarrow{B'M}, \overrightarrow{B'C'})=0\), c’est-à-dire \(\boxed{(B'C')~: bx+cy-bc=0}\).

  • On calcule de même l’équation de la droite \((BC)\) et l’on trouve \(\boxed{(BC)~: x + y - 1 = 0}\).

  • Coordonnées de \(A' \underset{}{\left|\begin{matrix} x\\y \end{matrix}\right.}\) : puisque \(A'\) est sur la droite \((B'C')\) et sur \((BC)\), ses coordonnées vérifient le système \(\begin{cases} x + y &= 1 \\ bx+cy&=bc\end{cases}\). On en tire \(\boxed{A' \underset{}{\left|\begin{matrix} \dfrac{c(1-b)}{c-b} \\ \dfrac{b(1-c)}{b-c} \end{matrix}\right.}}\). On remarque que le cas où \(b = c\) correspond à une droite \(\mathcal{D}\) parallèle à \((BC)\) ce qui est exclu par l’énoncé.

  • Équation cartésienne de la droite \(\mathcal{D}'\), parallèle à \((BC)\) passant par \(A\) : on trouve \(\boxed{\mathcal{D}'~: x + y = 0}\).

  • Coordonnées de \(E\) : il existe \(\lambda \in \mathbb{R}\) tel que \(E = A' + \lambda \overrightarrow{AB}\), c’est-à-dire \(\begin{cases} x &= \dfrac{c(1-b)}{c-b} + \lambda \\ y &= \dfrac{b(1-c)}{b-c} \end{cases}\). Puisque \(E \in \mathcal{D}'\), \(x+y=0\) et on en tire que \(\boxed{E \underset{}{\left|\begin{matrix} \dfrac{b(1-c)}{c-b} \\ \dfrac{b(1-c)}{c-b} \end{matrix}\right.}}\).

  • Coordonnées de \(F\) : de la même façon, en écrivant \(F = A' + \lambda \overrightarrow{AC'}\), on trouve que \(\boxed{F \underset{}{\left|\begin{matrix} \dfrac{c(1-b)}{c-b} \\ -\dfrac{c(1-b)}{c-b} \end{matrix}\right.}}\).

  • Pour montrer que \((B'E)\) et \((C'F)\) sont parallèles, calculons \(\boxed{\overrightarrow{B'E} \underset{}{\left|\begin{matrix} \dfrac{b(1-c)}{c-b} \\ \dfrac{b(b-1)}{c-b} \end{matrix}\right.}}\) et \(\boxed{\overrightarrow{C'F} \underset{}{\left|\begin{matrix} \dfrac{c(1-c)}{c-b} \\ -\dfrac{c(1-b)}{c-b} \end{matrix}\right.}}\). Ensuite, calculons le déterminant \(\mathop{\rm det}(\overrightarrow{B'E}, \overrightarrow{C'F}) = \dfrac{1}{(c-b)^2}\bigl[ -bc(1-c)(1-b) - bc(b-1)(1-c)\bigr] = 0\) après simplifications. Le résultat est montré.


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Exercice 767
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:28
  1. Soit \(M \underset{}{\left|\begin{matrix} x\\y \end{matrix}\right.}\). Le point \(M\) appartient à la médiatrice de \(\left[A_{\lambda},B_{\lambda}\right]\) si et seulement si \(d(A_{\lambda}, M) = d(B_{\lambda}, M)\), c’est-à-dire si et seulement si \({\left(x-\lambda\right)^2}+y^2= x^2+{\left(y-a+\lambda\right)^2}\). Ceci amène l’équation cartésienne \[\boxed{ \mathcal{D}_{\lambda}:~ 2\lambda x + 2(\lambda - a)y - 2\lambda a + a^2 = 0 }\]

  2. On remarque que le point \(C \underset{}{\left|\begin{matrix} a/2 \\ a/2 \end{matrix}\right.}\) appartient à toutes les droites \(\mathcal{D}_{\lambda}\).


Accordéon
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Exercice 291
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:28
  1. Si \(C \underset{}{\left|\begin{matrix} 0 \\ c \end{matrix}\right.}\), on calcule \(\lVert \overrightarrow{AC} \rVert_{ }^2 = c^2 + a^2\) qui doit valoir \(\lVert \overrightarrow{AB} \rVert_{ }^2 = 4a^2\) d’où l’on tire \(c = \sqrt{3}a\) et donc \(C \underset{}{\left|\begin{matrix} 0 \\ \sqrt{3}a \end{matrix}\right.}\).

  2. Soit \(M \underset{}{\left|\begin{matrix} x\\y \end{matrix}\right.}\) un point de la droite \((AC)\). Il doit vérifier \(\mathop{\rm det}(\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AC}) = 0\), d’où l’on tire \[\boxed{ (AC)~: \sqrt{3}a x - a y + \sqrt{3}a^2 = 0 }\] et de même \[\boxed{ (BC)~: \sqrt{3}a x + a y - \sqrt{3}a^2 = 0 }\]

  3. Soit un point \(M \underset{}{\left|\begin{matrix} x\\y \end{matrix}\right.}\) intérieur au triangle. La distance de \(M\) à la droite \((AB)\) vaut \(y\) (\(y \geqslant 0\)). Appliquons la formule du cours pour calculer la distance de \(M\) à la droite \((AC)\) : \[d(M, AC) = \dfrac{\lvert \sqrt{3}a x - ay + \sqrt{3}a^2 \rvert } {\sqrt{3a^2 + a^2}} = \dfrac{\sqrt{3}x - y + \sqrt{3}a}{2}\] On a utilisé que le point \(M\) était à droite de la droite \((AC)\) pour enlever la valeur absolue. De même, \[d(M, BC) = \dfrac{\lvert \sqrt{3}ax+ay-\sqrt{3}a^2 \rvert }{\sqrt{3a^2+a^2}} = \dfrac{-\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}a}{2}\] La somme des trois distances est constante et vaut \(\sqrt{3}a\).

  4. Si \(U\), \(V\) et \(W\) sont trois points du plan, on notera \(\mathscr A_{UVW}\) l’aire du triangle \(UVW\). On a : \[\begin{aligned} &&d\left(M,\left(AB\right)\right) + d\left(M,\left(BC\right)\right) + d\left(M,\left(CA\right)\right) \\ &=&\dfrac{\left|\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB}\right)\right|}{ \left\|\overrightarrow{AB}\right\|}+ \dfrac{\left|\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{BM},\overrightarrow{BC}\right)\right|}{ \left\|\overrightarrow{BC}\right\|} +\dfrac{\left|\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{CM},\overrightarrow{CA}\right)\right|}{ \left\|\overrightarrow{CA}\right\|}\\ &=& \mathscr A_1 + \mathscr A_2+\mathscr A_3\end{aligned}\]\(\mathscr A_1\) est l’aire du parallélogramme porté par les vecteurs \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{AB}\), \(\mathscr A_2\) est l’aire du parallélogramme porté par les vecteurs \(\overrightarrow{BM}\) et \(\overrightarrow{BC}\) et \(\mathscr A_3\) est l’aire du parallélogramme porté par les vecteurs \(\overrightarrow{CM}\) et \(\overrightarrow{CA}\). Mais \(\mathscr A_1=2\mathscr A_{MAB}\), \(\mathscr A_2=2\mathscr A_{MBC}\) et \(\mathscr A_3=2\mathscr A_{MCA}\). Donc : \[d\left(M,\left(AB\right)\right) + d\left(M,\left(BC\right)\right) + d\left(M,\left(CA\right)\right) = 2\left(\mathscr A_{MAB} +\mathscr A_{MBC}+ \mathscr A_{MCA} \right) = 2\mathscr A_{ABC}\] ce qui prouve que la somme des trois longueurs est constante.


Exercice 509 **

4 janvier 2021 18:28 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Dans le plan, on considère un triangle \((ABC)\) et on note \(I\) le milieu du segment \([BC]\). Une droite passant par \(I\) coupe les droites \((AB)\) en \(D\) et \((AC)\) en \(E\). Déterminer le lieu des points d’intersection des droites \((BE)\) et \((CD)\).



[ID: 144] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:28] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
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Exercice 509
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:28

On se place dans le repère \((A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\). Danc ce repère

  1. le point \(I\) a comme coordonnées \(I \underset{}{\left|\begin{matrix} 1/2 \\1/2 \end{matrix}\right.}\)

  2. la droite passant par \(D\) admet comme équation cartésienne : \((y-1/2) = \lambda (x - 1/2)\) avec \(\lambda \neq 0\) (puisque cette droite n’est pas parallèle à \((AB)\) ni à \((AC)\).

  3. les coordonnées des points \(D\) et \(E\) sont \(D \underset{}{\left|\begin{matrix} 1/2 - 1/2\lambda \end{matrix}\right.}\), \(E \underset{}{\left|\begin{matrix} 0 \\ 1/2 - \lambda /2 \end{matrix}\right.}\)

  4. la droite \((BE)\) admet comme équation cartésienne : \((1-\lambda) x + 2y = 1 - \lambda\)

  5. la droite \((CD)\) admet comme équation cartésienne : \(2\lambda x + (\lambda - 1)y = \lambda - 1\).

  6. l’intersection de ces deux droites est formée du point : \(M \underset{}{\left|\begin{matrix} \dfrac{\lambda - 1}{\lambda + 1} \\ -\dfrac{\lambda - 1}{\lambda + 1} \end{matrix}\right.} = \underset{}{\left|\begin{matrix} 1 - \dfrac{2}{\lambda + 1} \\ -1 + \dfrac{2}{\lambda + 1} \end{matrix}\right.}\) (les deux droites ne sont pas parallèles lorsque \(\lambda \neq - 1\)).

  7. Le point \(M\) est sur la droite d’équation \(x + y = 0\). L’application \(\lambda \mapsto \dfrac{\lambda - 1}{\lambda + 1}\) étant une bijection de \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) vers \(\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}\), on trouve tous les points de cette droite sauf ceux d’abscisse \(1\) et \(-1\).


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Exercice 1023
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:28

On choisit le repère orthonormé tel que \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\a \end{matrix}\right.}\), \(B \underset{}{\left|\begin{matrix} -b\\0 \end{matrix}\right.}\) et \(C \underset{}{\left|\begin{matrix} b\\0 \end{matrix}\right.}\). Notons \(D' \underset{}{\left|\begin{matrix} \lambda\\0 \end{matrix}\right.}\), on a alors \(E \underset{}{\left|\begin{matrix} \lambda + b\\0 \end{matrix}\right.}\). On détermine l’équation cartésienne de la droite \((AB)\) : \(\boxed{ax-by+ab=0}\), les coordonnées du point \(D\) : \(\boxed{D \underset{}{\left|\begin{matrix} \lambda \\ \dfrac{a\lambda + ab}{2} \end{matrix}\right.}}\) puis l’équation cartésienne de la perpendiculaire en \(E\) : \(\boxed{-bx + \dfrac{a\lambda + ab}{b}y + b(\lambda + b) = 0}\). On peut voir cette équation comme un polynôme en \(\lambda~\): \[\boxed{ \lambda \bigl[b + \dfrac{ay}{b}\bigr] + \bigl[b(b-x)+ay\bigr] = 0 }\] Il suffit d’annuler le coefficient de \(\lambda\) et le coefficient constant pour voir que cette droite passe toujours par le point \(\boxed{I \underset{}{\left|\begin{matrix} 0 \\ -b^2/a \end{matrix}\right.}}\).


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Exercice 408
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:28

\(C \underset{}{\left|\begin{matrix} \lambda \\ a-\lambda \end{matrix}\right.}\). Pour obtenir l’équation cartésienne de \(\mathcal{D}_{\lambda}\), on traduit \(\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{BA} = 0\) et l’on trouve \[\mathcal{D}_{\lambda}~: \lambda x + (\lambda - a) y - 2a\lambda + a^2=0\] que l’on peut écrire comme un polynôme en \(\lambda\) : \[\lambda(x+y-2a) + (-ay+a^2)=0.\] En considérant le point \(I \underset{}{\left|\begin{matrix} x\\y \end{matrix}\right.}\) avec \(x\) et \(y\) qui annulent les deux coefficients de ce polynôme, on trouve le point fixe \(\boxed{I \underset{}{\left|\begin{matrix} a\\a \end{matrix}\right.}}\).


Exercice 539 **

4 janvier 2021 18:28 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Déterminer l’intersection des droites \(D_1\) et \(D_2\) : \[D_1\;\left\lbrace \begin{array}{rcl} x&=&2t-1 \\ y&=&-t+2 \end{array}\right. \;t\in\mathbb R\qquad D_2\;\left\lbrace \begin{array}{rcl} x&=&t+2 \\ y&=&3t+1 \end{array}\right.\;t\in\mathbb R\]



[ID: 150] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:28] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]
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Exercice 539
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:28
  1. On prend deux paramètres distincts \(t\) et \(u\) et on égale les abscisses et ordonnées pour obtenir le système : \(\left\lbrace \begin{array}{rcl} 2t-1&=&u+2 \\ -t+2&=&3u+1 \end{array}\right.\) d’où \(\left\lbrace \begin{array}{rcl} 2t-u&=&3 \\ -t-3u&=&-1 \end{array}\right.\) d’où \(-7u = 1\) et \(u=-\dfrac17\). On en déduit \(u = -\dfrac17 + 2 = \dfrac{13}{7}\) et \(y = -\dfrac37 + 1 = \dfrac47\).

  2. \(\vec u(2,-1)\) est vecteur directeur de \(D_1\), donc \(\vec n(1,2)\) est vecteur normal de \(D_1\). Donc une équation cartésienne de \(D_1\) est \(x+2y = k\). \(k\) est déterminé en écrivant que (pour \(t=0\)) \(M(-1,2)\in D_1\) soit \(k= -1+2\times2 = 3\). Maintenant on traduit : un point de \(D_2\) vérifie cette équation de \(D_1\) : \(t+2 +2(3t+1) = 3\) soit \(t = -\dfrac17\) et on conclut comme ci-dessus.
    Moralité : L’intersection de deux objets géométriques se traite bien lorsqu’un est défini en paramétrique et l’autre par équation cartésienne.


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