Majorations d'intégrales

Exercices du dossier Majorations d'intégrales

Exercice 495 *

12 mai 2021 12:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(0<a<b\). Montrer que \[\int_a^b \dfrac{dx}{x} < \dfrac{b-a}{\sqrt{ab}}\] Peut-il y avoir égalité ?



[ID: 1888] [Date de publication: 12 mai 2021 12:28] [Catégorie(s): Majorations d'intégrales ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 495
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:28

On applique l’inégalité de Cauchy-Schwarz aux fonctions \(f:x\mapsto 1\) et \(g:x\mapsto 1/x\) sur le segment \(\left[a,b\right]\): \[\int_a^b \dfrac{dx}{x} \leqslant (\int_a^b \mathrm{ \;d}x)^{1/2}(\int_a^b \dfrac{dx}{x^2})^{1/2}=\sqrt{b-a}\sqrt{\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}}=\dfrac{b-a}{\sqrt{ab}}\] On a égalité si et seulement si \(f\) et \(g\) sont proportionnelles sur le segment \([a,b]\) ce qui n’est évidemment pas le cas.


Exercice 933 *

12 mai 2021 12:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit deux fonctions continues et positives \(f,g :[0,1] \mapsto \mathbb{R}\). On suppose que \(\forall x \in[0,1]\), \(f(x)g(x)\geqslant 1\). Montrer que \[\left[\int_0^1 f(t) \mathrm{ \;d}t \right] \left[ \int_0^1 g(t) \mathrm{ \;d}t \right] \geqslant 1\] Étudier le cas d’égalité.



[ID: 1890] [Date de publication: 12 mai 2021 12:28] [Catégorie(s): Majorations d'intégrales ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 933
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:28

D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz appliquées aux fonctions \(\sqrt f\) et \(\sqrt g\) sur \(\left[0,1\right]\), on a : \[1\leqslant\int_0^1 \sqrt{fg(t)} \mathrm{ \;d}t \leqslant\sqrt{\int_0^1f(t) \mathrm{ \;d}t \int_0^1 g(t) \mathrm{ \;d}t}\] ce qui prouve l’inégalité. Si cette inégalité est une égalité, alors il y a égalité dans Cauchy-Schwarz, et il est nécessaire qu’il existe \(\lambda \in \mathbb{R}{+}\) tel que \(g = \lambda f\) (ou alors \(f = \lambda g\)). De plus, pour avoir \(1 = \int_0^1 \sqrt{fg(t)}\mathrm{ \;d}t\), il faut que \(\int_0^1 \left[ \sqrt{fg(t)} - 1 \right] \mathrm{ \;d}t = 0\). Comme la fonction intégrée est continue et positive, et que son intégrale est nulle, d’après le cours la fonction est nulle. Par conséquent, les deux fonctions \(f\) et \(g\) doivent être constantes et inverses l’une de l’autre. On vérifie la réciproque facilement.


Exercice 865 *

12 mai 2021 12:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit une fonction \(f\) continue sur le segment \([0,1]\). Pour un entier \(k\in \mathbb N\), on note \[I_k= \int_{0}^{1}x^k\left| f(x)\right| \mathrm{ \;d}x\] Montrer que pour \((p,q)\in \mathbb{N}^{2}\), on a \(I_{p+q}^2\leqslant I_{2p}I_{2q}\).



[ID: 1892] [Date de publication: 12 mai 2021 12:28] [Catégorie(s): Majorations d'intégrales ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 865
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:28

Soit \((p,q)\in \mathbb{N}^{2}\). On utilise l’inégalité de Cauchy-Schwarz : \[I_{p+q}^2 = \left(\int_{0}^{1} x^{p+q}\left|f\left(x\right)\right|\,\textrm{d}x\right)^2=\left(\int_{0}^{1} x^p\sqrt{\left|f\left(x\right)\right| } x^q\sqrt{\left|f\left(x\right)\right| } \,\textrm{d} x\right)^2\leqslant\int_{0}^{1} x^{2p}\left|f\left(x\right)\right|\,\textrm{d}x \int_{0}^{1} x^{2q}\left|f\left(x\right)\right|\,\textrm{d}x= I_{2p}I_{2q}\]


Exercice 429 *

12 mai 2021 12:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit l’ensemble \(E=\{ f\in \mathcal{C}([a,b]) \mid \forall x\in [a,b], f(x)>0 \}\). Déterminer \[\alpha = \inf_{f\in E} \left( \int_a^b f(x) \mathrm{ \;d}x\right) \left( \int_a^b \dfrac{dx}{f(x)} \right)\]



[ID: 1894] [Date de publication: 12 mai 2021 12:28] [Catégorie(s): Majorations d'intégrales ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 429
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:28

Soit \(f\in E\). D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on a : \[\left(\int_a^b f(x) \mathrm{ \;d}x\right) \left( \int_a^b \dfrac{dx}{f(x)} \right)\geqslant\left( \int_{a}^{b} \dfrac{\sqrt f}{\sqrt f}\,\textrm{d} x\right)^2=\left(b-a\right)^2\] donc \(\left(b-a\right)^2 \leqslant\alpha\). Mais la fonction \(f_0\) constante égale à \(1\) sur \(\left[a,b\right]\) est élément de \(E\) et vérifie : \[\left(\int_a^b f_0(x) \mathrm{ \;d}x\right) \left( \int_a^b \dfrac{dx}{f_0(x)} \right) = \left(b-a\right)^2\] donc \(\boxed{\alpha=\left(b-a\right)^2}\).


Exercice 131 **

12 mai 2021 12:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(a,b\in\mathbb{R}\) tels que \(a<b\). Déterminer les fonctions \(f : [a, b] \mapsto \mathbb{R}\) continues vérifiant \[\int_a^b f^2(x)\mathrm{ \;d}x = \int_a^b f^3(x)\mathrm{ \;d}x = \int_a^b f^4(x) \mathrm{ \;d}x\]



[ID: 1896] [Date de publication: 12 mai 2021 12:28] [Catégorie(s): Majorations d'intégrales ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 131
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:28

Soit une telle fonction \(f\). Utilisons l’inégalité de Cauchy-Schwarz : \[\Bigl| \int_a^b f^3(x)\mathrm{ \;d}x \Bigr| = \Bigl| \int_a^b f(x) f^2(x) \mathrm{ \;d}x \Bigr| \leqslant \Bigl(\int_a^b f^2(x)\mathrm{ \;d}x \Bigr)^{1/2} \Bigl( \int_a^b f^4(x) \mathrm{ \;d}x \Bigr)^{1/2}\] En notant \(I = \int_a^b f^2(x)\mathrm{ \;d}x = \int_a^b f^3(x)\mathrm{ \;d}x = \int_a^b f^4(x)\mathrm{ \;d}x\), on trouve donc le cas d’égalité de Cauchy-Schwarz : \(I = \sqrt{I}\sqrt{I}\). On sait alors qu’il existe une constante \(\lambda \in \mathbb{R}\) telle que \(f^2 = \lambda f\). Donc \(\forall x \in [a, b]\), \(f(x) = 0\) ou bien \(f(x) = \lambda\). Supposons qu’il existe \(x_0 \in [a, b]\) tel que \(f(x_0) = 0\) et qu’il existe \(x_1 \in [a, b]\) tel que \(f(x_1) = \lambda\). Si \(\lambda \neq 0\) d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il devrait exister \(c \in [x_0, x_1]\) tel que \(f(c) = \lambda / 2\) ce qui est impossible. Par conséquent, la fonction \(f\) est constante sur \([a, b]\). On voit que cette constante vaut \(0\) ou \(1\). La réciproque est immédiate.


Exercice 355 **

12 mai 2021 12:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient deux fonctions strictement positives \(f,g \in \mathcal{C}^{0}([0,1])\). Montrer que \[\int_0^1 \left( \dfrac{f(t)}{g(t)}+\dfrac{g(t)}{f(t)} \right) \mathrm{ \;d}t \geqslant 2\]



[ID: 1898] [Date de publication: 12 mai 2021 12:28] [Catégorie(s): Majorations d'intégrales ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 355
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:28

On utilise l’inégalité de Cauchy-Schwarz : \[\begin{aligned} 1 &= \int_0^1 \dfrac{f}{\sqrt{fg}}\dfrac{g}{\sqrt{fg}}(x) \mathrm{ \;d}x \\ &\leqslant\left[ \int_0^1\dfrac{f^2}{fg}(x) \mathrm{ \;d}x\right]^{1/2} \times \left[ \int_0^1 \dfrac{g^2}{fg}(x)\mathrm{ \;d}x\right]^{1/2} \\ &\leqslant\dfrac{1}{2} \left[ \int_0^1 \dfrac{f^2}{fg}(x) \mathrm{ \;d}x + \int_0^1 \dfrac{g^2}{fg}(x) \mathrm{ \;d}x \right] \\ &\leqslant\dfrac{1}{2} \int_0^1 \left( \dfrac{f}{g} + \dfrac{g}{f}\right) \mathrm{ \;d}x \end{aligned}\] Le résultat s’en suit. Pour avoir égalité, il faut qu’il y ait égalité dans Cauchy-Schwarz, donc que \(f/g\) et \(g/f\) soient proportionnelles, donc que \(f\) et \(g\) soient proportionnelles, et ensuite que \(\lambda = 1\), c’est-à-dire que \(f = g\).
Remarque : Pour \(u>0\), \(u+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle u} \geqslant 2\), d’où le résultat en prenant \(u=\dfrac{f(t)}{g(t)}\). Le cas d’égalité est simple.


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Exercice 63
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:28
  1. Considérons une subdivision \(\sigma:x_0=0<\dots<x_n=1\) subordonnée à \(f\). Pour tout \(i\in\llbracket 0,n-1\rrbracket\), il existe \(c_i\in\mathbb{R}\) tel que \(f_{|\left]x_i,x_{i+1}\right[}=c_i\) et \(\int_{0}^{1} f\left(x\right)\,\textrm{d}x=\sum_{i=0}^{n-1}c_i\left(x_{i+1}-x_i\right)\). Remarquons que \(\sum_{i=0}^{n-1}\left(x_{i+1}-x_i\right) =1\). Comme \(\varphi\) est convexe, on peut alors écrire : \[\varphi \left( \int_{0}^{1}f(x) \mathrm{ \;d}x \right) =\varphi\left(\sum_{i=0}^{n-1}c_i\left(x_{i+1}-x_i\right)\right) \leqslant \sum_{i=0}^{n-1}\left(x_{i+1}-x_i\right) \varphi\left(c_i\right)= \int_{0}^{1}\varphi \circ f(x) \mathrm{ \;d}x.\]

  2. Comme \(f\) est continue sur \(\left[0,1\right]\), il existe une suite \(\left(f_n\right)\) de fonctions en escaliers sur \(\left[0,1\right]\) qui converge uniformément vers \(f\) sur \(\left[0,1\right]\). Donc : \[\varphi \left( \int_{0}^{1}f(x) dx \right) = \varphi\left(\int_{0}^{1} \lim_{n\rightarrow+\infty} f_n\left(x\right)\,\textrm{d}x\right)=\varphi\left(\lim_{n\rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} f_n\left(x\right)\,\textrm{d}x \right)=\lim_{n\rightarrow+\infty} \varphi\left(\int_{0}^{1} f_n\left(x\right)\,\textrm{d}x \right)\] car \(\varphi\) est continue sur \(\mathbb{R}\). Mais d’après la première question, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(\varphi \left( \int_{0}^{1}f_n(x) \mathrm{ \;d}x \right) \leqslant\int_{0}^{1}\varphi \circ f_n(x) \mathrm{ \;d}x\) donc par passage à la limite \[\lim_{n\rightarrow+\infty} \varphi\left(\int_{0}^{1} f_n\left(x\right)\,\textrm{d}x \right) \leqslant\lim_{n\rightarrow+\infty} \int_{0}^{1}\varphi \circ f_n(x) \mathrm{ \;d}x.\] Comme \(\left(f_n\right)\) converge uniformément vers \(f\) sur \(\left[0,1\right]\) et que \(\varphi\) est, d’après le théorème de Heine, uniformément continue sur \(\left[0,1\right]\), \(\left(\varphi\circ f_n\right)\) converge uniformément vers \(\varphi\circ f\) sur \(\left[0,1\right]\) et : \[\lim_{n\rightarrow+\infty} \int_{0}^{1}\varphi \circ f_n(x) \mathrm{ \;d}x= \int_{0}^{1}\lim_{n\rightarrow+\infty}\varphi \circ f_n(x) \mathrm{ \;d}x=\int_{0}^{1}\varphi \circ f(x) \mathrm{ \;d}x\] ce qui prouve la propriété.


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Exercice 876
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:28

D’après le théorème de la moyenne, il existe \(c\in [a,b]\) tel que \(\overline{f}=f(c)\). Pour tout \(x\in [a,b]\), on a \(f(x)=f(c)+ \int_{c}^{x}f'(t) \mathrm{ \;d}t\). Donc, d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz : \[\left|f-\overline{f}\right|^2=\int_{c}^{x} f'\left(t\right)\,\textrm{d}t\leqslant \left(x-c\right)\int_{c}^{x} \left(f'\left(t\right)\right)^2\,\textrm{d}t.\] On intègre par rapport à \(x\) entre \(a\) et \(b\) cette inégalité : \[\begin{aligned} \int_{a}^{b} \left|f\left(x\right)-\overline{f}\right|^2\,\textrm{d}x&\leqslant& \int_{a}^{b} \left(x-c\right) \left(\int_{c}^{x} \left(f'\left(t\right)\right)^2\,\textrm{d}t \right) \,\textrm{d}x\\ &\leqslant& \int_{a}^{c} \left(x-c\right) \left(\int_{c}^{x} \left(f'\left(t\right)\right)^2\,\textrm{d}t\right) \,\textrm{d}x + \int_{c}^{b} \left(x-c\right) \left(\int_{c}^{x} \left(f'\left(t\right)\right)^2\,\textrm{d}t\right) \,\textrm{d}x \\ & \leqslant&\int_{a}^{c} \left(c-a\right) \left(\int_{a}^{c} \left(f'\left(t\right)\right)^2\,\textrm{d}t \right) \,\textrm{d}x + \int_{c}^{b} \left(b-c\right) \left(\int_{c}^{b} \left(f'\left(t\right)\right)^2\,\textrm{d}t \right) \,\textrm{d}x\\ &\leqslant&\int_{a}^{c} \left(c-a\right) \left(\int_{a}^{b} \left(f'\left(t\right)\right)^2\,\textrm{d}t \right) \,\textrm{d}x + \int_{c}^{b} \left(b-c\right) \left(\int_{a}^{b} \left(f'\left(t\right)\right)^2\,\textrm{d}t \right) \,\textrm{d}x\\ &\leqslant&\left( (c-a)^2+(b-c)^2\right) \left( \int_a^b (f'(t))^2\,\textrm dt\right)\end{aligned}\] Enfin la fonction (convexe) \(c\mapsto (c-a)^2+(b-c)^2\) prend son maximum aux bornes \(a\) et \(b\) et l’inégalité est prouvée avec \(C= (b-a)^2\).


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