Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées

Exercices du dossier Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées

Exercice 521 **

12 mai 2021 12:19 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer \(I = \int_0^1 \dfrac{t^5}{(t^4 + 1)^2} \mathrm{ \;d}t\).



[ID: 1824] [Date de publication: 12 mai 2021 12:19] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 521
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:19

En posant \(t^2 = x\), \[\int_0^1 \dfrac{t^5\,\textrm dt}{(t^4+1)^2} = \dfrac12 \int_0^1 \dfrac{x^2\,\textrm dx}{(x^2+1)^2}.\] En intégrant par parties, \(\left\lbrace \begin{array}{rclrcl} u(x) &=& x & u'(x) &=& 1,\\ v'(x) &=& \dfrac{x}{(x^2+1)^2} & v(x) &=& -\dfrac{1}{2(x^2+1)} \end{array}\right.\) \[\int_0^1 \dfrac{t^5\,\textrm dt}{(t^4+1)^2} = -\dfrac14 \left[ \dfrac{x}{x^2+1}\right]_0^1 + \dfrac14 \int_0^1 \dfrac{\,\textrm dx}{x^2+1} = \dfrac{\pi}{16} - \dfrac18.\]


Exercice 376 **

12 mai 2021 12:19 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer \(\int_0^1 \dfrac{t}{(t^4 + t^2 + 1)^2} \mathrm{ \;d}t\).



[ID: 1826] [Date de publication: 12 mai 2021 12:19] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 376
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:19

En posant \(t^2 = x\), \[\int_0^1 \dfrac{t\,\textrm dt}{(t^4+t^2+1)^2} = \dfrac12 \int_0^1 \dfrac{\textrm dx}{(x^2+1)^2}.\] \[\int_0^1 \dfrac{\textrm dx}{(x^2+1)^2} = \left[ {2 \operatorname{arctan} \left( {2x +1 \over \sqrt{3}} \right) \over 3 \sqrt{3}} + {2x +1 \over 3(x^2 +x +1)}\right]_0^1 = \dfrac{2}{3\sqrt3}\left( \dfrac\pi3 - \dfrac\pi6\right) = \dfrac{\pi}{9\sqrt3}.\]


Exercice 542 **

12 mai 2021 12:19 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer l’intégrale \[I=\int_0^1 \sqrt{x(1-x)} dx\]



[ID: 1828] [Date de publication: 12 mai 2021 12:19] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 542
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:19

On peut écrire \(x(1-x)=-(x^2-x)=-((x-\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{1}{4})\) Donc \[I=\int_0^1 \sqrt{ \dfrac{1}{4}-(x-\dfrac{1}{2})^2} dx\] et en posant \(y=x-\dfrac{1}{2}\), \(dy=dx\), \[I=\dfrac{1}{2}\int_{-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}}^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}} \sqrt{\dfrac{1}{4}-(2y)^2}dy\] Par le changement de variables \(z=2y\), \(dy=\dfrac{dz}{2}\), \[I= \dfrac{1}{4}\int_{-1}^1 \sqrt{1-z^2} dz = \dfrac{1}{4}\int_{-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}}^{{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}} \cos^2 t dt = \boxed{\dfrac{\pi}{8}}\]

On peut retrouver ce résultat en étudiant la courbe \(y=\sqrt{x(1-x)}\) : \(y^2=x(1-x)\) donc \(x^2+y^2-x=0\), \((x-\dfrac{1}{2})^2+y^2 = \dfrac{1}{4}\). C’est le demi-cercle centré en \(({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2},0)\) de rayon \({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\). L’intégrale cherchée est donc la demi-aire d’un disque de rayon \(\dfrac{1}{2}\) qui vaut \(\dfrac{\pi}{8}\).


Exercice 494 **

12 mai 2021 12:19 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer \(\int_0^1 \dfrac{x^3+x+1}{(x^2+2)^2} \mathrm{ \;d}x\).



[ID: 1830] [Date de publication: 12 mai 2021 12:19] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 494
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:19

\[\int_0^1 \dfrac{x^3+x+1}{(x^2+2)^2} \mathrm{ \;d}x = \int_0^1 \dfrac{x^3+2x}{(x^2+2)^2} + \dfrac{-x+1}{(x^2+2)^2}\mathrm{ \;d}x = \int_0^1 \dfrac{x\mathrm{ \;d}x}{x^2+2} - \dfrac12\int_0^1 \dfrac{2x\mathrm{ \;d}x}{(x^2+2)^2} + \int_0^1 \dfrac{\mathrm{ \;d}x}{(x^2+2)^2} = \left[ \dfrac12 \ln(x^2+2) + \dfrac{1}{2(x^2+2)}\right]_0^1 + \int_0^1 \dfrac{\mathrm{ \;d}x}{(x^2+2)^2}\] Le terme tout intégré vaut \(\dfrac12 \ln {\scriptstyle 3\over\scriptstyle 2} - \dfrac1{12}\), et, en intégrant par parties, \[\int_0^1 \dfrac{\mathrm{ \;d}x}{x^2+2} = \left[ \dfrac{x}{x^2+2} \right]_0^1 + 2 \int_0^1 \dfrac{(x^2+2)\mathrm{ \;d}x}{x^2+2} - 4\int_0^1 \dfrac{\mathrm{ \;d}x}{x^2+2} = -\dfrac13 + 2 \int_0^1 \dfrac{\mathrm{ \;d}x}{x^2+2}+ 4 \int_0^1 \dfrac{\mathrm{ \;d}x}{x^2+2}.\] Or \[\int_0^1 \dfrac{\mathrm{ \;d}x}{x^2+2} = \int_0^{\sqrt2/2} \dfrac{\sqrt2 \mathrm{ \;d}u}{2u^2+2} = \dfrac{\sqrt2}{2} \operatorname{arctan} \left( \dfrac{\sqrt2}{2}\right)\] On trouve que \[\boxed{ I = \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt 2}{2} \operatorname{arctan} \left( \dfrac{\sqrt 2}{2}\right)}\]


Exercice 526 **

12 mai 2021 12:19 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer \(\int \dfrac{x^4}{(x+1)^2(x^2+1)} \mathrm{ \;d}x\).



[ID: 1832] [Date de publication: 12 mai 2021 12:19] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 526
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:19

\(x-1/2\,\left (x+1\right )^{-1}-3/2\,\ln (x+1)-1/4\,\ln ({x}^{2}+1)+C\)


Exercice 438 **

12 mai 2021 12:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer \(\int \dfrac{x^4}{x^2+1}\operatorname{arctan} x \mathrm{ \;d}x\).



[ID: 1834] [Date de publication: 12 mai 2021 12:20] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 438
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:20

Pour faire disparaître l’arctangente, on intègre par parties. Pour cela, il nous faut une primitive de \(\dfrac{x^4}{x^2+1}\). \[\int \dfrac{x^4}{x^2+1}= \dfrac{x^3}{3}-x + \operatorname{arctan} x +C\] Donc \[\begin{aligned} \int \dfrac{x^4}{(x+1)^2(x^2+1)} \mathrm{ \;d}x & = \left( \dfrac{x^3}3-x+\operatorname{arctan} x\right)\operatorname{arctan} x - \int \left( \dfrac{x^3}3-x+\operatorname{arctan} x\right) \dfrac{\mathrm{ \;d}x}{x^2+1}\\ &= \left( \dfrac{x^3}3-x+\operatorname{arctan} x\right)\operatorname{arctan} x - \dfrac13 \int \dfrac{(x^3+x)\mathrm{ \;d}x}{x^2+1} - \dfrac13 \int \dfrac{4x\mathrm{ \;d}x}{x^2+1} - \int \dfrac{\operatorname{arctan} x\mathrm{ \;d}x}{x^2+1} \\ &= \dfrac{1}{2}(\operatorname{arctan} x)^2 +\left( \dfrac{x^3}{3}-x\right) \operatorname{arctan} x -\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{2}{3}\ln(x^2+1) + C\end{aligned}\]


Exercice 558 **

12 mai 2021 12:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer \(\int \dfrac{\cos x -\sin x}{1+\cos^2x}\mathrm{ \;d}x\) sur \(\mathbb{R}\) (justifier l’intervalle).



[ID: 1836] [Date de publication: 12 mai 2021 12:20] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 558
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:20

Séparer en deux primitives pour appliquer la règle de Bioche à chacune. En posant \(u = \cos x\) et \(v=\sin x\), \[\int \dfrac{\cos x -\sin x}{1+\cos^2x}\mathrm{ \;d}x = \int \dfrac{\cos x}{2-\sin^2x}\mathrm{ \;d}x - \int \dfrac{\sin x}{1+\cos^2x}\mathrm{ \;d}x = \int \dfrac{\mathrm{ \;d}v}{2-v^2} + \int \dfrac{\mathrm{ \;d}u}{1+u^2}.\] En posant \(v = \sqrt2 w\; \mathrm{ \;d}v = \sqrt2\mathrm{ \;d}w\), on a \[\int \dfrac{\mathrm{ \;d}v}{2-v^2} = \dfrac{\sqrt2}{2}\int \dfrac{\mathrm{ \;d}w}{1-w^2} = \dfrac{\sqrt2}{4}\ln\left\vert \dfrac{1+w}{1-w} \right\vert + C = \dfrac{\sqrt2}{4}\ln\left( \dfrac{\sqrt2+\sin x}{\sqrt2-\sin x} \right)+C\] D’où \[\dfrac{\sqrt2}{4}\ln\left( \dfrac{\sqrt2+\sin x}{\sqrt2-\sin x} \right) + \operatorname{arctan} \cos x + C\]


Exercice 529 **

12 mai 2021 12:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calcul de \(\int\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}x}{3+\mathop{\mathrm{sh}}^2x}\mathrm{ \;d}x\).



[ID: 1838] [Date de publication: 12 mai 2021 12:20] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 529
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:20

En posant \(\mathop{\mathrm{ch}}x =\sqrt2 u\), \[\int\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}x}{3+\mathop{\mathrm{sh}}^2x}\mathrm{ \;d}x=\int\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}x}{2+\mathop{\mathrm{ch}}^2x}\mathrm{ \;d}x = \int \dfrac{\sqrt2\mathrm{ \;d}u}{2+2u^2},\] d’où \[\dfrac{\sqrt{2}}2\operatorname{arctan} \left( \dfrac{\mathop{\mathrm{ch}}x}{\sqrt{2}}\right) +C\]


Exercice 220 **

12 mai 2021 12:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer \(\int \sqrt{\dfrac{x}{(1-x)^3}}\mathrm{ \;d}x\) sur \(I=[0,1[\).



[ID: 1840] [Date de publication: 12 mai 2021 12:20] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 220
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:20

On pose \(t = \sqrt{\dfrac{x}{1-x}},\; t^2 = \dfrac{x}{1-x},\; x = \dfrac{t^2}{1+t^2} = 1 - \dfrac{1}{1+t^2},\; \mathrm{ \;d}x = \dfrac{2t\mathrm{ \;d}t}{(1+t^2)^2}\). \[\int \sqrt{\dfrac{x}{(1-x)^3}}\mathrm{ \;d}x = \int \sqrt{\dfrac{x}{(1-x)}}\dfrac{\mathrm{ \;d}x}{1-x} = \int t(1+t^2)\dfrac{2t\mathrm{ \;d}t}{(1+t^2)^2} = 2t - 2\operatorname{arctan} t + C\] D’où \[\int \sqrt{\dfrac{x}{(1-x)^3}}\mathrm{ \;d}x = 2\sqrt{ \dfrac{x}{1-x}}-2\operatorname{arctan} \sqrt{\dfrac{x}{1-x}}+C\]


Exercice 892 **

12 mai 2021 12:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer \(\int\dfrac{\mathrm{ \;d}x}{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}\) sur \(I=]1,+\infty[\).



[ID: 1842] [Date de publication: 12 mai 2021 12:20] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 892
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:20

Multiplier par les quantités conjuguées et se ramener au calcul de deux primitives simples. \[\int\dfrac{\mathrm{ \;d}x}{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}} = \int\dfrac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}2\mathrm{ \;d}x = \dfrac12 \int \mathop{\mathrm{ch}}^2u \mathrm{ \;d}u + \dfrac12 \int \mathop{\mathrm{sh}}^2v \mathrm{ \;d}v\] en posant \(x = \mathop{\mathrm{sh}}u\) puis \(x = \mathop{\mathrm{ch}}v\). Maintenant \[\int \mathop{\mathrm{ch}}^2u \mathrm{ \;d}u = \int \dfrac{\mathop{\mathrm{ch}}2u+1}2 \mathrm{ \;d}u = \dfrac14\mathop{\mathrm{sh}}2u +\dfrac u2 + C = \dfrac12 \mathop{\mathrm{sh}}u\mathop{\mathrm{ch}}u+\dfrac u2 + C = \dfrac12 x\sqrt{x^2+1} + \dfrac12 \ln\left( x + \sqrt{x^2+1}\right) + C\] et \[\int \mathop{\mathrm{sh}}^2v \mathrm{ \;d}v = \int \dfrac{\mathop{\mathrm{ch}}2v-1}2 \mathrm{ \;d}v = \dfrac14\mathop{\mathrm{sh}}2v -\dfrac v2 + C = \dfrac12 \mathop{\mathrm{ch}}v\mathop{\mathrm{sh}}v-\dfrac v2 + C = \dfrac12 x\sqrt{x^2-1} - \dfrac12 \ln\left( x + \sqrt{x^2-1}\right) + C\] Finalement, \[\int\dfrac{\mathrm{ \;d}x}{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}} = \dfrac14\left( x\sqrt{x^2+1} + \ln\left( x + \sqrt{x^2+1}\right) + x\sqrt{x^2-1} - \ln\left( x + \sqrt{x^2-1}\right) \right) + C\]


Exercice 490 **

12 mai 2021 12:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer \(\int \dfrac{2+\sqrt{x+1}}{1+\sqrt{x+2}}\mathrm{ \;d}x\).



[ID: 1844] [Date de publication: 12 mai 2021 12:20] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 490
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:20

Poser \(t=\sqrt{x+2}\), et ensuite un changement de variables en \(\mathop{\mathrm{ch}}\).
\(t^2 = x+2,\; 2t\mathrm{ \;d}t = \mathrm{ \;d}x,\;x+1 = t^2-1\). \[\int \dfrac{2+\sqrt{x+1}}{1+\sqrt{x+2}}\mathrm{ \;d}x = 2\int \dfrac{2+\sqrt{t^2-1}}{1+t}t\mathrm{ \;d}t = 2\int \dfrac{2+\mathop{\mathrm{sh}}u}{1+\mathop{\mathrm{ch}}u}\mathop{\mathrm{ch}}u\mathop{\mathrm{sh}}u\mathrm{ \;d}u = 2\int \dfrac{2+\mathop{\mathrm{sh}}u}{1+\mathop{\mathrm{ch}}u}(1+\mathop{\mathrm{ch}}u)\mathop{\mathrm{sh}}u\mathrm{ \;d}u -2\int \dfrac{2+\mathop{\mathrm{sh}}u}{1+\mathop{\mathrm{ch}}u}\mathop{\mathrm{sh}}u\mathrm{ \;d}u\] \[\phantom{XXX} = 4\int \mathop{\mathrm{sh}}u\mathrm{ \;d}u + 2\int \mathop{\mathrm{sh}}^2u\mathrm{ \;d}u - 4\int \dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}u\mathrm{ \;d}u}{1+\mathop{\mathrm{ch}}u} - 2\int \dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}^2 u\mathrm{ \;d}u}{1+\mathop{\mathrm{ch}}u} = 4\mathop{\mathrm{ch}}u + \mathop{\mathrm{ch}}u\mathop{\mathrm{sh}}u - u - 4\ln(1+\mathop{\mathrm{ch}}u) -2 \int \dfrac{(\mathop{\mathrm{ch}}^2 u - 1)\mathrm{ \;d}u}{1+\mathop{\mathrm{ch}}u}\] \[\phantom{XXX} =4\mathop{\mathrm{ch}}u + \mathop{\mathrm{ch}}u\mathop{\mathrm{sh}}u - u - 4\ln(1+\mathop{\mathrm{ch}}u) -2\mathop{\mathrm{sh}}u + 2u + C\] \[\phantom{XXX} = 4\sqrt{x+2}+\sqrt{(x+2)(x+1)} -4\ln(1+\sqrt{x+2})-2\sqrt{x+1}+\ln(\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1})+C,\hfill\] puisque \(u = \ln(w+\sqrt{w^2-1})\) avec \(w=\sqrt{x+2}\) et donc \(\sqrt{w^2-1}=\sqrt{x+1}\).


Exercice 149 **

12 mai 2021 12:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer \[\int_0^1 \operatorname{arctan} \left( \sqrt[3]{x}\right) \mathrm{ \;d}x\]



[ID: 1846] [Date de publication: 12 mai 2021 12:20] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 149
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:20

Par le changement de variables \(t=x^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}}\), et par parties. \[\int_0^1 \operatorname{arctan} \left( \sqrt[3]{x}\right) \mathrm{ \;d}x = \int_0^13t^2\operatorname{arctan} t\mathrm{ \;d}t = \left[ t^3\operatorname{arctan} t\right]_0^1 - \int_0^1 \dfrac{t^3\mathrm{ \;d}t}{1+t^2} =\left[t^3\operatorname{arctan} t - \dfrac{t^2}2 + \dfrac12 \ln(1+t^2) \right]_0^1 = \dfrac\pi4 - \dfrac 12 + \dfrac12\ln2.\]


Exercice 430 **

12 mai 2021 12:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer \[\int \dfrac{x^2+x+2}{(x^2+2x+3)^3} dx\]



[ID: 1848] [Date de publication: 12 mai 2021 12:20] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 430
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:20

En écrivant \(x^2+2x+3=(x+1)^2+2\) \[\int \dfrac{1}{x^2+2x+3} \mathrm{ \;d}x = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{ \mathrm{ \;d}x}{ \left( \dfrac{x+1}{\sqrt{2}}\right)^2 +1} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\int \dfrac{\mathrm{ \;d}y}{1+y^2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\operatorname{arctan} \left( \dfrac{x+1}{ \sqrt{2}}\right) \quad \left( y=\dfrac{x+1}{\sqrt{2}}\right)\] Donc \[\int \dfrac{x+1}{(x^2+2x+3)^2} dx =\dfrac{1}{2}\int \dfrac{2x+2}{(x^2+2x+3)^2} dx = -\dfrac{1}{2} \, \dfrac{1}{x^2+2x+3}\] et donc \[\boxed{ I=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\operatorname{arctan} \left( \dfrac{x+1}{\sqrt{2}}\right) + \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{ x^2+2x+3} +C }\]


Exercice 110 **

12 mai 2021 12:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer \[I= \int \dfrac{2x^2+3}{(x^2+1)^2} dx\]



[ID: 1850] [Date de publication: 12 mai 2021 12:20] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 110
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:20

Écrivons \[\dfrac{2x^2+3}{(x^2+1)^2}=\dfrac{2}{x^2+1} + \dfrac{1}{(x^2+1)^2}\] En intégrant \(\int \dfrac{dx}{(x^2+1)^2}\) par parties, on trouve finalement \[\boxed{ I=\dfrac{5}{2}\operatorname{arctan} x + \dfrac{1}{2}\dfrac{x}{x^2+1} + C}\]


Exercice 461 **

12 mai 2021 12:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer \[I=\int \dfrac{dx}{5+4\sin x}\]



[ID: 1852] [Date de publication: 12 mai 2021 12:20] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 461
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:20

Par le changement de variables \(t=\tan{\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}\), \[I= \int \dfrac{2}{5t^2+8t+5} = \dfrac{10}{9} \int \dfrac{\textrm dt}{\left( {\scriptstyle 5\over\scriptstyle 3}t+{\scriptstyle 4\over\scriptstyle 3}\right)^2 + 1 }\] finalement, \[\boxed{ I=\dfrac{2}{3}\operatorname{arctan} \left( \dfrac{5}{3}\tan\dfrac{x}{2} + \dfrac{4}{3}\right) + C}\]


Exercice 10 **

12 mai 2021 12:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer \[I=\int \dfrac{dx}{x^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}} - x^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 4}} }\]



[ID: 1854] [Date de publication: 12 mai 2021 12:20] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 10
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:20

Par le changement de variables \(y=x^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 4}}\), on trouve \[I=4\int \dfrac{y^2}{y-1}= 2y^2+4y+4\ln\lvert y-1 \rvert + C\] Donc \[\boxed{ I= 2x^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}}+4x^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 4}}+4\ln\lvert x^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 4}}-1 \rvert +C }\]


Exercice 215 **

12 mai 2021 12:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer \[\int \dfrac{x}{(5-4x-x^2)^{{\scriptstyle 3\over\scriptstyle 2}}} dx\]



[ID: 1856] [Date de publication: 12 mai 2021 12:20] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 215
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:20

Il faut éliminer les racines: \(x^2+4x-5=(x-1)^2\dfrac{x+5}{x-1}\). Donc \((5-4x-x^2)^{{\scriptstyle 3\over\scriptstyle 2}}=(1-x)^3\left( \dfrac{x+5}{1-x}\right)^{{\scriptstyle 3\over\scriptstyle 2}}\\=(1-x)^2\dfrac{x+5}{1-x}\left( \dfrac{x+5}{1-x}\right)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}}\). Posons \(y=\left( \dfrac{x+5}{1-x}\right)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}}\), alors \(x=\dfrac{y^2-5}{y^2+1}\), \(dx = \dfrac{12y}{(1+y^2)^2}\,dy\) et \(1-x=\dfrac{6}{y^2+1}\). Alors \[I= \dfrac{1}{18}\int \dfrac{y^2-5}{y^2} dy\] et finalement \[\boxed{ I=\dfrac{1}{18}\left( \sqrt{\dfrac{x+5}{1-x}} + 5\sqrt{\dfrac{1-x}{x+5}}\right)+C }\]


Exercice 721 **

12 mai 2021 12:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer \[I=\int \dfrac{dx}{x\sqrt{6+x-x^2}}\]



[ID: 1858] [Date de publication: 12 mai 2021 12:20] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 721
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:20

En écrivant \(x^2-x-6=(x+2)(x-3)\), \[I=\int \dfrac{dx}{x(3-x)\sqrt{\dfrac{x+2}{3-x}}}\] en effectuant ensuite le changement de variables \(y=\sqrt{\dfrac{x+2}{3-x}}\), \(x=\dfrac{3y^3-2}{y^2+1}\) et \(3-x=\dfrac{5}{y^2+1}\), \(dx=\dfrac{10 y}{(y^2+1)^2}dy\), \[I= \dfrac{2}{3}\int \dfrac{dy}{y^3-{\scriptstyle 2\over\scriptstyle 3}}\] et finalement, \[\boxed{ I=\dfrac{1}{3} \ln \left\vert \dfrac{ \sqrt{\dfrac{x+2}{3-x}}-\sqrt{\dfrac{2}{3}}}{ \sqrt{\dfrac{x+2}{3-x}}+\sqrt{\dfrac{2}{3}}}\right\vert +C }\]


Exercice 364 **

12 mai 2021 12:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer \[I=\int \dfrac{x^3}{\sqrt{x^2+2}} \mathrm{ \;d}x\]



[ID: 1860] [Date de publication: 12 mai 2021 12:20] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 364
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:20

\[I= \int \dfrac{x^2}{\sqrt{x^2+2}} \,x\mathrm{ \;d}x\] par le changement de variables \(y=x^2\), \[I=\dfrac{1}{2}\int \dfrac{y}{\sqrt{y+2}} \mathrm{ \;d}y =\dfrac{1}{2}\int \sqrt{y+2} - \int\dfrac{\mathrm{ \;d}y}{\sqrt{y+2}} =\dfrac{1}{3}(y+2)^{{\scriptstyle 3\over\scriptstyle 2}} -2\sqrt{y+2}+C\] finalement, \[\boxed{ I=\dfrac{1}{3}(x^2+2)^{{\scriptstyle 3\over\scriptstyle 2}}-2\sqrt{x^2+2} + C }\]


Exercice 428 **

12 mai 2021 12:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer \[I=\int_2^3 \dfrac{dx}{x+\sqrt{x-1}}\]



[ID: 1862] [Date de publication: 12 mai 2021 12:20] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 428
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:20

Par le changement de variables \(y=\sqrt{x-1}\), \[I= \ln\dfrac{3+\sqrt{2}}{3} - \dfrac{2}{\sqrt{3}}\operatorname{arctan} \dfrac{3-2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\]


Exercice 16 **

12 mai 2021 12:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer \[I=\int_a^b x\sqrt{(x-a)(b-x)} dx\]



[ID: 1864] [Date de publication: 12 mai 2021 12:20] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 16
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:20

On écrit \((x-a) + (x-b) = 2x - (a+b)\).
Or \(\displaystyle\int_a^b \left( (x-a) + (x-b)\right) \sqrt{(x-a)(b-x)}\,\textrm dx = \int_a^b (x-a)^{3/2}(b-x)^{1/2}\,\textrm dx - \int_a^b (x-a)^{1/2}(b-x)^{3/2}\,\textrm dx = 0\).
D’où \(2\displaystyle\int_a^b x \sqrt{(x-a)(b-x)}\,\textrm dx = (a+b)\int_a^b x \sqrt{(x-a)(b-x)}\,\textrm dx = \dfrac{\pi}{2}\left( \dfrac{b-a}{2}\right) ^2\) grâce à l’aire du demi-disque. Le résultat \[\boxed{ I= \dfrac{\pi}{16}(a+b)(b-a)^2 }\] en découle.


Exercice 479 **

12 mai 2021 12:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer \[\int \dfrac{\tan x}{1+\sin^2 x} dx\]



[ID: 1866] [Date de publication: 12 mai 2021 12:20] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 479
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:20

On écrit \(\displaystyle\int \dfrac{\sin x\,\textrm dx}{\cos x(1+\sin^2x)} = \int \dfrac{\sin x\cos x\,\textrm dx}{(1-\sin^2x)(1+\sin^2x)}\) et là le changement de variable \(u = \sin^2x\) parait naturel,
\(\dfrac12 \displaystyle\int \dfrac{\textrm du}{(1-u)(1+u)} = \dfrac14 \ln \left( \dfrac{1+u}{1-u}\right) + C = \dfrac14 \ln \left( \dfrac{1+\sin^2x}{1-\sin^2x}\right) + C\).


Exercice 229 **

12 mai 2021 12:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer \[I=\int_0^1 (x-2)\sqrt{x^2+2x} dx\]



[ID: 1868] [Date de publication: 12 mai 2021 12:20] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 229
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:20

Par les changements de variables \(y=x+1\) et \(y=\mathop{\mathrm{ch}}z\), \[\boxed{ I=\dfrac{3}{2}\ln(2+\sqrt{3})-2\sqrt{3} }\]


Exercice 557 **

12 mai 2021 12:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer une primitive de \[F = \int (x+1)^2\sqrt{-x^2-2x+1} dx\] (préciser l’intervalle )



[ID: 1870] [Date de publication: 12 mai 2021 12:20] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 557
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:20

La fonction à primitiver est continue sur le l’intervalle \(I=[-1-\sqrt{2},\sqrt{2}-1]\). On cherche une primitive sur cet intervalle. C’est une primitive d’une fraction rationnelle en \(x\) et la racine d’un trinôme. On commence par réduire le trinôme sous forme canonique : \[-x^2-2x+1 = -( (x+1)^2-2) = 2( 1 - \left( \dfrac{ x+1}{\sqrt{2}} \right) ^2 )\] et après le changement de variables \(y=\dfrac{x+1}{\sqrt{2}}\), on se ramène au calcul d’une primitive sur \(J=[-1,1]\) : \[G = 4\int y^2 \sqrt{ 1 - y^2} dy\] En posant alors \(y=\sin t\), (pour éliminer la racine), on se ramène au calcul d’une primitive sur l’intervalle \(J'=[-\pi/2,\pi/2]\) : \[H = 4 \int \sin^2 t \cos^2 t dt = \int \sin^2 (2t) dt\] qui se calcule en linéarisant. Remplacer ensuite en fonction de \(x\). Terminer le calcul !

Une autre méthode consiste à écrire (\(a\) et \(b\) sont les racines du trinôme avec \(a<b\)) : \[\sqrt{ -x^2-2x+1 } = \sqrt{ (x-a)(b-x)} = (x-a)\sqrt{ \dfrac{b-x}{x-a}}\] et à se ramener au calcul d’une primitive d’une fraction rationnelle en \(x\) et en la racine d’une homographie. Poser alors \(t\) la racine de l’homographie.


Exercice 445 **

12 mai 2021 12:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer l’intégrale \[I = \int_1^2 \sqrt{\dfrac{t-1}{t+1} } \dfrac{dt}{t}\]



[ID: 1872] [Date de publication: 12 mai 2021 12:20] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 445
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:20

C’est une fraction rationnelle en \(t\) et en la racine \(n\)-ième d’une homographie. Posons donc \(u=\sqrt{\dfrac{t-1}{t+1}}\): \[t = \dfrac{u^2+1}{-u^2+1} \quad dt = \dfrac{4u}{(1-u^2)} du\] Donc \[I = \int_0^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sqrt{3}}} \dfrac{4u^2}{(1-u^2)(1+u^2)} du\] et en décomposant en éléments simples cette fraction rationnelle, \[\dfrac{4u^2}{(1-u^2)(1+u^2)} = \dfrac{1}{1+u} -\dfrac{1}{u-1} - \dfrac{2}{u^2+1}\] on trouve finalement : \[I = \ln \left( \dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\right) - \dfrac{\pi}{3}\]


;
Success message!