Calcul de primitives

  1. Les exercices
  2. Vue compacte

Exercices du dossier Calcul de primitives

Exercice 4 *

12 mai 2021 12:01 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer les primitives suivantes:

  1. \(\int_{}^{} {\scriptstyle x^2\over\scriptstyle 1+x^3}\,\textrm{d}x\)

  2. \(\int_{}^{} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\left(2x+1\right)^3}\,\textrm{d}x\)

  3. \(\int_{}^{} \sqrt{1-x}\,\textrm{d}x\)

  4. \(\int_{}^{} \cos x \sin x \,\textrm{d}x\)

  5. \(\int_{}^{} \dfrac{1}{x\ln x}\,\textrm{d}x\)

  6. \(\int_{}^{} x\sqrt{1+x^2}\,\textrm{d}x\)


[ID: 1778] [Date de publication: 12 mai 2021 12:01] [Catégorie(s): Calcul de primitives ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 4
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 12:01

On utilise à chaque fois, là où elle est valide, la formule :\(\int u' u^a=\begin{cases} \dfrac{1}{a+1} u^{a+1} +C &\textrm{ si } a\in\mathbb{R}\setminus\left\{-1\right\}\newline \ln \vert u\vert +C&\textrm{ si } a=-1\end{cases}\).

  1. \(\int_{}^{} {\scriptstyle x^2\over\scriptstyle 1+x^3}\,\textrm{d}x = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}\ln \left|1+x^3\right|+C^{te}\) sur \(\mathbb{R}\)

  2. \(\int_{}^{} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\left(2x+1\right)^3}\,\textrm{d}x= -\dfrac{1}{4\left(2x+1\right)^2}+C^{te}\) sur \(\mathbb{R}\setminus \left\{-1/2\right\}\)

  3. \(\int_{}^{} \sqrt{1-x}\,\textrm{d}x=-\dfrac{2}{3}\left(1-x\right)^{{\scriptstyle 3\over\scriptstyle 2}}+C^{te}\) sur \(\left]-\infty,1\right]\).

  4. \(\int_{}^{} \cos x \sin x \,\textrm{d}x = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\sin^2 x + C^{te}\) sur \(\mathbb{R}\).

  5. \(\int_{}^{} \dfrac{1}{x\ln x}\,\textrm{d}x=\ln \left|\ln x\right| + C^{te}\) sur \(\mathbb{R}_+^*\setminus\left\{1\right\}\).

  6. \(\int_{}^{} x\sqrt{1+x^2}\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{3}\left(1+x^2\right)^{{\scriptstyle 3\over\scriptstyle 2}}+C^{te}\) sur \(\mathbb{R}\).


Exercice 213 *

12 mai 2021 12:01 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer les primitives suivantes:

  1. \(\int_{}^{} \tan x\,\textrm{d}x\)

  2. \(\int_{}^{} \dfrac{x^2}{1+x^2}\,\textrm{d}x\)

  3. \(\int_{}^{} \dfrac{\ln x}{ x}\,\textrm{d}x\)

  4. \(\int_{}^{} x e^{x^2}\,\textrm{d}x\)

  5. \(\int_{}^{} \dfrac{\sin 2x}{1+\cos^2 x}\,\textrm{d}x\)

  6. \(\int_{}^{} \operatorname{th} x\,\textrm{d}x\)


[ID: 1780] [Date de publication: 12 mai 2021 12:01] [Catégorie(s): Calcul de primitives ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 213
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 12:01

  1. \(\int_{}^{} \tan x\,\textrm{d}x= -\ln \left|\cos x\right|+ C^{te}\) sur \(\mathbb{R}\setminus {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\mathbb{Z}\).

  2. \(\int_{}^{} \dfrac{x^2}{1+x^2}\,\textrm{d}x= \int_{}^{} \dfrac{1+x^2}{1+x^2}\,\textrm{d}x - \int_{}^{} \dfrac{1}{1+x^2}\,\textrm{d}x= x- \operatorname{arctan} x + C^{te}\) sur \(\mathbb{R}\).

  3. \(\int_{}^{} \dfrac{\ln x}{ x}\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}\left(\ln x\right)^2 +C^{te}\) sur \(\mathbb{R}_+^*\).

  4. \(\int_{}^{} x e^{x^2}\,\textrm{d}t = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}e^{x^2} + C^{te}\) sur \(\mathbb{R}\).

  5. \(\int_{}^{} \dfrac{\sin 2x}{1+\cos^2 x}\,\textrm{d}x=\int_{}^{} \dfrac{2\sin x \cos x}{1+\cos^2 x}\,\textrm{d}x= -\ln\left(1+\cos^2 x\right)+C^{te}\) sur \(\mathbb{R}\).

  6. \(\int_{}^{} \operatorname{th} x\,\textrm{d}x=\int_{}^{} \dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}x}{\mathop{\mathrm{ch}}x}\,\textrm{d}x=\ln\mathop{\mathrm{ch}}x + C^{te}\) sur \(\mathbb{R}\).


Exercice 307 *

12 mai 2021 12:01 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer les primitives suivantes:

  1. \(\int_{}^{} \dfrac{1}{x\left(\ln x\right)^4}\,\textrm{d}x\)

  2. \(\int_{}^{} \dfrac{1}{\cos^2 x}\,\textrm{d}x\)

  3. \(\int_{}^{} \dfrac{1}{\operatorname{th} x}\,\textrm{d}x\)

  4. \(\int_{}^{} \cos x \sin^3 x\,\textrm{d}x\)

  5. \(\int_{}^{} {\scriptstyle x\over\scriptstyle 1+x^2}\,\textrm{d}x\)

  6. \(\int_{}^{} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\left(1-x\right)^2}\,\textrm{d}x\)


[ID: 1782] [Date de publication: 12 mai 2021 12:01] [Catégorie(s): Calcul de primitives ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 307
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 12:01

  1. \(\int_{}^{} \dfrac{1}{x\left(\ln x\right)^4}\,\textrm{d}x= -\dfrac{\left(\ln x\right)^{-3}}{3} +C^{te}\) sur \(\mathbb{R}_+^*\setminus\left\{1\right\}\).

  2. \(\int_{}^{} \dfrac{1}{\cos^2 x}\,\textrm{d}x= \tan x +C^{te}\) sur \(\mathbb{R}\setminus {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\mathbb{Z}\).

  3. \(\int_{}^{} \dfrac{1}{\operatorname{th} x}\,\textrm{d}x= \int_{}^{} \dfrac{\mathop{\mathrm{ch}}x}{\mathop{\mathrm{sh}}x}\,\textrm{d}x=\ln\left|\mathop{\mathrm{sh}} x\right| +C^{te}\) sur \(\mathbb{R}^*\).

  4. \(\int_{}^{} \cos x \sin^3 x\,\textrm{d}x= \dfrac{\sin^4 x}{4} +C^{te}\) sur \(\mathbb{R}\).

  5. \(\int_{}^{} {\scriptstyle x\over\scriptstyle 1+x^2}\,\textrm{d}x= \dfrac{\ln\left(1+x^2\right)}{2} +C^{te}\) sur \(\mathbb{R}\).

  6. \(\int_{}^{} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\left(1-x\right)^2}\,\textrm{d}x= \dfrac{1}{1-x} +C^{te}\) sur \(\mathbb{R}\setminus\left\{1\right\}\).


Exercice 843 *

12 mai 2021 12:01 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer les primitives suivantes:

  1. \(\int_{}^{} \dfrac{\sin x}{1+\cos^2 x}\,\textrm{d}x\)

  2. \(\int_{}^{} \dfrac{1}{1+e^x}\,\textrm{d}x\)

  3. \(\int_{}^{} {\scriptstyle x\over\scriptstyle\sqrt{1+x^2}}\,\textrm{d}x\)

  4. \(\int_{}^{} \tan^2 x\,\textrm{d}x\)

  5. \(\int_{}^{} {\scriptstyle x\over\scriptstyle 1+x^4}\,\textrm{d}x\)

  6. \(\int_{}^{} \left(2x-1\right)^2\left(x+1\right)\,\textrm{d}x\)


[ID: 1784] [Date de publication: 12 mai 2021 12:01] [Catégorie(s): Calcul de primitives ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 843
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 12:01

  1. \(\int_{}^{} \dfrac{\sin x}{1+\cos^2 x}\,\textrm{d}x=-\operatorname{arctan} {\cos x} +C^{te}\) sur \(\mathbb{R}\).

  2. \(\int_{}^{} \dfrac{1}{1+e^x}\,\textrm{d}x=\int_{}^{} \dfrac{1+e^x}{1+e^x}\,\textrm{d}x -\int_{}^{} \dfrac{e^x}{1+e^x}\,\textrm{d}x=x+\ln\left(1+e^x\right) +C^{te}\) sur \(\mathbb{R}\).

  3. \(\int_{}^{} {\scriptstyle x\over\scriptstyle\sqrt{1+x^2}}\,\textrm{d}x = \sqrt{1+x^2}+C^{te}\) sur \(\mathbb{R}\).

  4. \(\int_{}^{} \tan^2 x\,\textrm{d}x= \tan x - x +C^{te}\) sur \(\mathbb{R}\setminus {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\mathbb{Z}\).

  5. \(\int_{}^{} {\scriptstyle x\over\scriptstyle 1+x^4}\,\textrm{d}t = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\operatorname{arctan} x^2 + C^{te}\) sur \(\mathbb{R}\).

  6. \(\int_{}^{} \left(2x-1\right)^2\left(x+1\right)\,\textrm{d}x= x^4-\dfrac{3}{2}x^2 +x+C^{te}\) sur \(\mathbb{R}\).


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