Produit scalaire et déterminant

Exercices du dossier Produit scalaire et déterminant

Exercice 138 *

4 janvier 2021 18:21 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs du plan. Développer :

  1. \(\left\|\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\right\|^2-\left\|\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}\right\|^2\).

  2. \(\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v},\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}\right)\)



[ID: 112] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:21] [Catégorie(s): Produit scalaire et déterminant ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 138
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:21
  1. Comme le produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique, on a, pour tous vecteurs \(\overrightarrow{a}\) et \(\overrightarrow{b}\) du plan :
    \(\left\|\overrightarrow{a}\right\|^2-\left\|\overrightarrow{b}\right\|^2=\left<\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right>\) donc \[\begin{aligned} \left\|\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\right\|^2-\left\|\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}\right\|^2&=&\left<2\overrightarrow{u}|2\overrightarrow{b}\right>\\ &=&4\left<\overrightarrow{u}|\overrightarrow{v}\right> \end{aligned}\]

  2. De même, comme le déterminant est une forme bilinéaire anti-symétrique alternée, il vient : \[\begin{aligned} \mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v},\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}\right)&=&2\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\end{aligned}\]


Exercice 956 *

4 janvier 2021 18:21 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points du plan. Montrer que : \[\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}\right)=\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)\]

  1. En raisonnant géométriquement.

  2. En utilisant la bilinéarité et l’antisymétrie du produit scalaire



[ID: 114] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:21] [Catégorie(s): Produit scalaire et déterminant ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 956
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:22
  1. Orientons le triangle \(ABC\) dans le sens direct. On peut choisir une détermination dans \(\left[0,\pi\right]\) pour les trois angles \(\left(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}}\right)\), \(\left(\widehat{\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}}\right)\), \(\left(\widehat{\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}}\right)\). Les trois déterminants sont alors positifs et sont de plus chacun égaux au double de l’aire du triangle \(ABC\), ce qui prouve les égalités.

  2. D’après la relation de Chasles et en utilisant la bilinéarité et l’antisymétrie du produit scalaire : \[\begin{aligned} \mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)&=&\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)\\ &=&\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AB}\right)+\mathop{\rm det}\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)\\ &=&-\mathop{\rm det}\left( \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)\\ &=&\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}\right).\end{aligned}\] On prouve de même la dernière égalité.


Exercice 290 *

4 janvier 2021 18:22 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Dans le plan, on considère un parallélogramme \(ABCD\). On note \(E\) le pied de la perpendiculaire menée de \(C\) à \((AB)\). On note \(F\) le pied de la perpendiculaire menée de \(C\) à \((BD)\). Montrer que \(\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BF} = \lVert \overrightarrow{BC} \rVert_{ }^2 + \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BE}\).



[ID: 116] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:22] [Catégorie(s): Produit scalaire et déterminant ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 290
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:22

Faire un dessin ! Calculons \[\begin{aligned} \overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BF}-\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BE} &= \overrightarrow{BD}.(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CF}) - \overrightarrow{BA}.(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}) \\ &= \overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} \\ &= (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}).\overrightarrow{BC} \\ &= \overrightarrow{AD} . \overrightarrow{BC} \\ &= \overrightarrow{BC} . \overrightarrow{BC} \end{aligned}\]


Exercice 335 **

4 janvier 2021 18:22 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(ABCD\) un parallélogramme. Montrer que \[AC^2+BD^2 = AB^2+BC^2+CD^2+DA^2.\]



[ID: 118] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:22] [Catégorie(s): Produit scalaire et déterminant ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 335
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:22

Soit \(I\) le milieu de \([AC]\) et donc aussi le milieu de \([BD]\). \[\begin{aligned} AB^2+BC^2+CD^2+DA^2 &= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DA}\\ &= \left( \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}\right).\left( \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}\right) + \left( \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC}\right).\left( \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC}\right) + \left( \overrightarrow{CI}+\overrightarrow{ID}\right).\left( \overrightarrow{CI}+\overrightarrow{ID}\right) + \left( \overrightarrow{DI}+\overrightarrow{IA}\right).\left( \overrightarrow{DI}+\overrightarrow{IA}\right)\\ &= AI^2 + IB^2 + {\red 2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{IB}} + BI^2 + IC^2 + {\green 2\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{IC}} + CI^2 + ID^2 + {\green 2\overrightarrow{CI}.\overrightarrow{ID}} + DI^2 + IA^2 + {\red 2\overrightarrow{DI}.\overrightarrow{IA}}\\ &= 4AI^2 + 4BI^2 + {\red 2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{ID}} + {\green 2\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{IC}+2\overrightarrow{DI}.\overrightarrow{IC}}\\ &= AC^2+BD^2 + {\red 2\overrightarrow{AI}.\left( \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{ID}\right) } + {\green 2\left( \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{DI}\right) .\overrightarrow{IC}}\\ &= AC^2+BD^2\end{aligned}\]


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