Soient \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs du plan. Développer :
\(\left\|\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\right\|^2-\left\|\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}\right\|^2\).
\(\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v},\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}\right)\)
Comme le produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique, on a, pour tous vecteurs \(\overrightarrow{a}\) et \(\overrightarrow{b}\) du plan :
De même, comme le déterminant est une forme bilinéaire anti-symétrique alternée, il vient : \[\begin{aligned} \mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v},\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}\right)&=&2\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\end{aligned}\]
Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points du plan. Montrer que : \[\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}\right)=\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)\]
En raisonnant géométriquement.
En utilisant la bilinéarité et l’antisymétrie du produit scalaire
Orientons le triangle \(ABC\) dans le sens direct. On peut choisir une détermination dans \(\left[0,\pi\right]\) pour les trois angles \(\left(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}}\right)\), \(\left(\widehat{\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}}\right)\), \(\left(\widehat{\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}}\right)\). Les trois déterminants sont alors positifs et sont de plus chacun égaux au double de l’aire du triangle \(ABC\), ce qui prouve les égalités.
D’après la relation de Chasles et en utilisant la bilinéarité et l’antisymétrie du produit scalaire : \[\begin{aligned} \mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)&=&\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)\\ &=&\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AB}\right)+\mathop{\rm det}\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)\\ &=&-\mathop{\rm det}\left( \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)\\ &=&\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}\right).\end{aligned}\] On prouve de même la dernière égalité.
Dans le plan, on considère un parallélogramme \(ABCD\). On note \(E\) le pied de la perpendiculaire menée de \(C\) à \((AB)\). On note \(F\) le pied de la perpendiculaire menée de \(C\) à \((BD)\). Montrer que \(\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BF} = \lVert \overrightarrow{BC} \rVert_{ }^2 + \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BE}\).
Faire un dessin ! Calculons \[\begin{aligned} \overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BF}-\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BE} &= \overrightarrow{BD}.(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CF}) - \overrightarrow{BA}.(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}) \\ &= \overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} \\ &= (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}).\overrightarrow{BC} \\ &= \overrightarrow{AD} . \overrightarrow{BC} \\ &= \overrightarrow{BC} . \overrightarrow{BC} \end{aligned}\]
Soit \(ABCD\) un parallélogramme. Montrer que \[AC^2+BD^2 = AB^2+BC^2+CD^2+DA^2.\]
Soit \(I\) le milieu de \([AC]\) et donc aussi le milieu de \([BD]\). \[\begin{aligned} AB^2+BC^2+CD^2+DA^2 &= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DA}\\ &= \left( \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}\right).\left( \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}\right) + \left( \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC}\right).\left( \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC}\right) + \left( \overrightarrow{CI}+\overrightarrow{ID}\right).\left( \overrightarrow{CI}+\overrightarrow{ID}\right) + \left( \overrightarrow{DI}+\overrightarrow{IA}\right).\left( \overrightarrow{DI}+\overrightarrow{IA}\right)\\ &= AI^2 + IB^2 + {\red 2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{IB}} + BI^2 + IC^2 + {\green 2\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{IC}} + CI^2 + ID^2 + {\green 2\overrightarrow{CI}.\overrightarrow{ID}} + DI^2 + IA^2 + {\red 2\overrightarrow{DI}.\overrightarrow{IA}}\\ &= 4AI^2 + 4BI^2 + {\red 2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{ID}} + {\green 2\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{IC}+2\overrightarrow{DI}.\overrightarrow{IC}}\\ &= AC^2+BD^2 + {\red 2\overrightarrow{AI}.\left( \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{ID}\right) } + {\green 2\left( \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{DI}\right) .\overrightarrow{IC}}\\ &= AC^2+BD^2\end{aligned}\]