Systèmes linéaires

Exercices du dossier Systèmes linéaires

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Exercice 977
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:57
  1. En remontant, on trouve successivement : \(z = 4;\; y = 2;\; x = -1\).

  2. \(\left\lbrace \begin{array}{rrrrrrr} x &-& y &+& 2z &=& 1 \\ 2x&-& 3y &+& z &= & 4 \\ x &-& 3y &-& 4z &= & 5 \end{array}\right. \begin{array}{ccc} \phantom{L_1}&&\\ L_2 & \longleftarrow & L_2 - 2L_1 \\ L_3 & \longleftarrow & L_3 - L_1 \end{array} \left\lbrace \begin{array}{rrrrrrr} x &-& y &+& 2z &=& 1 \\ & -&y &-& 3z &= & 2 \\ & -&2y &-& 6z &= & 4 \end{array}\right.\).
    Les deux dernières équations sont équivalentes. Le système est de rang \(2\) et compatible. En prenant \(z\) comme paramètre, l’ensemble des solutions est \(\left\lbrace(-5z-1,-3z-2,z)\mid z\in \mathbb{K}\right\rbrace\).

  3. Système de Cramer : \(\left\lbrace \left( -{\scriptstyle 5\over\scriptstyle 2},1,{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\right) \right\rbrace\).

  4. Système de rang \(2\) et compatible. \(\left\lbrace(2,-3z,z)\mid z\in \mathbb{K}\right\rbrace\).

  5. Système de Cramer : \(\left\lbrace \left( -2,1,2\right) \right\rbrace\).

  6. Système de rang \(2\) mais pas compatible. Pas de solution.

  7. \(\left\{ \begin{aligned} 2x&-y&+3z&=&0\cr x&+y&+2z&=&0 \end{aligned}\right.\) soit \(\left\{ \begin{aligned} 2x&-y&+3z&=&0\cr 3x&&+5z&=&0 \end{aligned}\right.\). Le système est de rang \(2\), donc compatible. En prenant \(z\) comme paramètre, l’ensemble des solutions est \(\left\lbrace\left( -{\scriptstyle 5\over\scriptstyle 3}z,-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}z,z\right) \mid z\in \mathbb{K}\right\rbrace\).

  8. Le système est clairement de rang \(1\) et compatible (on a trois fois la même équation). L’ensemble des solutions est le plan d’équation \(x + y - z = 1\).


Accordéon
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Exercice 658
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:57

Premier système : Matrice de rang \(3\) (inversible) donc une unique solution \((0,0,0)\).
Deuxième système : Matrice de rang \(2\), système non compatible, pas de solution.
Troisième système : Matrice de rang \(2\), système non compatible, pas de solution.


Exercice 954 *

1 avril 2021 11:57 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Discuter, suivant la valeur de \(m\), la dimension de l’espace des solutions des systèmes suivants :

  1. \(\left\{ \begin{aligned} x&+my&+z&=&0\cr mx&+y&+mz&=&0 \end{aligned}\right.\)

  2. \(\left\{ \begin{aligned} x&+y&+mz&=&0\cr x&+my&+z&=&0\cr mx&+y&+z&=&0 \end{aligned}\right.\)



[ID: 1756] [Date de publication: 1 avril 2021 11:57] [Catégorie(s): Systèmes linéaires ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 954
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:57
  1. Si \(m=1\) ou \(m=-1\), alors le système est de rang \(1\). L’espace des solutions est de dimension \(2\). Sinon le système est de rang \(2\) et l’espace des solutions est de dimension \(1\). Dans ce dernier cas, l’ensemble des solutions est \(\{(x,0,-x), x \in\mathbb R\}\).

  2. Si \(m=1\), alors le système est de rang \(1\). L’espace des solutions est de dimension \(2\). Si \(m=-2\), alors le système est de rang \(2\). L’espace des solutions est de dimension \(1\). Sinon le système est de Cramer. L’espace des solutions est de dimension \(0\).


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Exercice 305
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:57
  1. Que \(m\) soit égal à \(1\) ou non, \(\dim F = 1\) car le rang de \(\begin{pmatrix} 1 &m &1 \\ m & 1 & -m \end{pmatrix}\) égale \(2\). \(\dim G = 2\).

  2. \(\begin{vmatrix} 1 &m &1 \\ m & 1 & -m \\ 1 & -m & 1 \end{vmatrix} = -4m^2\). Si \(m=0\), alors \(F\cap G\) est de dimension \(1\), et de dimension \(0\) sinon.


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Exercice 122
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:57

\((S_1)\) : solution unique quels que soient \(b_1,b_2,b_3,b_4\).
\((S_2)\) : solutions si \(b_2=b_1+b_3\).
\((S_3)\) : solutions si \(b_1+b_2-2b_4=0\) et \(2b_1-b_3-2b_4=0\).
\((S_4)\) : solutions si \(b_2=-2b_1\) et \(b_3=-b_1\) et \(b_4=3b_1\).


Exercice 475 *

1 avril 2021 11:57 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Résoudre les systèmes suivants à l’aide du déterminant : \[\left\{ \begin{aligned} x&+y&-z&=& 0 \cr x&+3y&+z&=&0 \cr 2x&+y&-3z&=&0\cr -x&+2y&+4z&=&0 \end{aligned}\right. \quad \textrm{ et} \quad \left\{ \begin{aligned} x&+y&+2z&=&1 \cr 2x&+y&+z&=&2 \cr -x&-2y&-5z&=&-1 \end{aligned}\right.\]



[ID: 1762] [Date de publication: 1 avril 2021 11:57] [Catégorie(s): Systèmes linéaires ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 475
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:57

Premier système : \(\begin{vmatrix} 1 &1 &-1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = 0\) et \(\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ -1 & 2 & 4\end{vmatrix} = 0\) donc le système est de rang \(\leqslant 2\). Comme \(\begin{vmatrix} 1 &1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} \neq0\) le système est de rang \(2\). On a une droite de solution, l’intersection des deux plans \(x+y-z= 0\) et \(x+3y+z=0\), autrement dit la droite vectorielle engendrée par \((-2,1,-1)\).
Deuxième système : \(\begin{vmatrix} 1 &1 & 2 \\ 2& 1 & 1 \\ -1 & -2 & -5 \end{vmatrix} = 0\) donc le système est de rang \(\leqslant 2\). Comme \(\begin{vmatrix} 1 &2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \neq0\) le système est de rang \(2\) et on peut choisir \(x\) comme paramètre. On résout alors en \(y\) et \(z\) le système des deux premières équations en fonction de \(x\). Soit \(y = 3 - 3x\) et \(z = x-1\). On vérifie enfin avec la troisième équation : \(-x-6+6x-5x+5 = -1\).


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Exercice 434
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:57

Après permutation des deuxièmes et troisièmes lignes, on effectue des oel sur le tableau :
\[\begin{array}{rrr|rcrrr|c} -1 & -1 & m & a & &-1 & -1 & m & a \\ 1 & -1 & -m & c & L_2\leftarrow L_2+L_1 & 0 & -2 & 0 & a+c \\ -m& 1 & m & b & L_3\leftarrow L_3-mL_1 & 0 & 1+m& m-m^2 & b-ma \\ m & 1 & 1 & d & L_4\leftarrow L_4+mL_1 & 0 & 1-m& 1 + m^2 & d+ma \end{array}\] \[\begin{array}{crrr|c} &-1 & -1 & m & a \\ & 0 & -2 & 0 & a+c\\ L_3\leftarrow L_3+{\scriptstyle 1+m\over\scriptstyle 2}L_2&0&0&m-m^2 &b-ma+{\scriptstyle 1+m\over\scriptstyle 2}(a+c)\\ L_4\leftarrow L_4+{\scriptstyle 1-m\over\scriptstyle 2}L_2&0&0&1 + m^2&d+ma+{\scriptstyle 1-m\over\scriptstyle 2}(a+c) \end{array}\] En prenant les lignes \(L_1\), \(L_2\) et \(L_4\) on voit que le rang du système égale \(3\). Donc s’il existe une solution, alors elle est unique.

On résout donc le système (triangulaire) en \(x,y\) et \(z\) grâce aux lignes \(L_1\), \(L_2\) et \(L_4\). La ligne \(L_3\) sert de vérification : Si \[\left(m-m^2\right)z = \dfrac{m-m^2}{1 + m^2} \left(d+ma+{\scriptstyle 1-m\over\scriptstyle 2}(a+c)\right) = b-ma+{\scriptstyle 1+m\over\scriptstyle 2}(a+c),\] alors le système est compatible et admet une solution unique. Sinon il n’admet pas de solution.


Exercice 33 **

1 avril 2021 11:57 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer suivant les valeurs des réels \(m,a,b,c\) les solutions du système : \[\left\{ \begin{aligned} mx&+my&+mz&=&a \cr x&+my&+z&=&b \cr x&+y&+mz&=&c \end{aligned}\right.\]



[ID: 1766] [Date de publication: 1 avril 2021 11:57] [Catégorie(s): Systèmes linéaires ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 33
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:57

La matrice de ce système linéaire est \(A=\left(\begin{array}{ccc}m&m&m\\1&m&1\\1&1&m \end{array}\right)\) et \(\mathop{\mathrm{rg}}\left(A\right)=\begin{cases} 2 &\textrm{ si } m=0 \\ 1 &\textrm{ si } m=1 \\ 3 &\textrm{ sinon } \end{cases}\).

  • Si \(m=0\) le système devient : \(\left\{ \begin{aligned} &&0&=&a \cr x&&+z&=&b \cr x&+y&&=&c \end{aligned}\right.\). Il n’est compatible que si \(a=0\). Dans ce cas, l’ensemble de ses solutions est : \(\left(b,c-b,0\right)+Vect\left(-1,1,1\right)\).

  • Si \(m=1\) le système est : \(\left\{ \begin{aligned} x&+y&+z&=&a \cr x&+y&+z&=&b \cr x&+y&+z&=&c \end{aligned}\right.\). Il n’est compatible que si \(a=b=c\). Dans ce cas, l’ensemble solution est \(\left(a,0,0\right)+Vect\left(\left(-1,1,0\right),\left(0,1,-1\right)\right)\)

  • Le système est de Cramer si \(m\neq 0\) et \(m\neq 1\). Il admet une et une seule solution donnée par: \[\left( {{\scriptstyle\left(m+1\right)a-cm-mb\over\scriptstyle m \left( m-1 \right) }},-{{\scriptstyle-mb+a\over\scriptstyle m \left( m-1 \right) }},-{{\scriptstyle a-cm\over\scriptstyle m \left( m-1 \right) }}\right)\]


Exercice 832 **

1 avril 2021 11:57 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer suivant les valeurs des réels \(m,a,b,c\) les solutions du système : \[\left\{ \begin{array}{*8{c@{\;}}} x&-& y&-&m z&=&a\\ x&+&2y&+& z&=&b\\ x&+& y&-& z&=&c \end{array} \right.\]



[ID: 1768] [Date de publication: 1 avril 2021 11:57] [Catégorie(s): Systèmes linéaires ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 832
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:57

La matrice de ce système linéaires est \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&-1&-m\\1&2&1\\1&1&-1 \end{array}\right)\) et \(\mathop{\mathrm{rg}}\left(A\right)=\begin{cases} 2 &\textrm{ si } m=5 \\ 3 &\textrm{ sinon } \end{cases}\).

  • Si \(m=5\) le système devient : \(\left\{ \begin{aligned} x&-y&-5z&=&a \cr x&+2y&+z&=&b \cr x&+y&-z&=&c \end{aligned}\right.\) qui est équivalent à : \(\left\{ \begin{aligned} x&-y&-5z&=&a \cr &y+&2z&=&\dfrac{b-a}{3} \cr &y&+2z&=&\dfrac{c-a}{2} \end{aligned}\right.\). Il n’est compatible que si \(\dfrac{b-a}{3}= \dfrac{c-a}{2}\). Dans ce cas, l’ensemble de ses solutions est : \(\left(\dfrac{2a+b}{3},\dfrac{b-a}{3},0\right)+Vect\left(3,-2,1\right)\).

  • Le système est de Cramer si \(m\neq 5\). Il admet une et une seule solution donnée par: \[\left(-{{\scriptstyle 3\,a+\left(m+1\right)b+\left(1-2m\right)c\over\scriptstyle m-5}}, {\scriptstyle 2\,a-(m+1)c+(m-1)b\over\scriptstyle m-5} ,-{{\scriptstyle a+2\,b-3\,c\over\scriptstyle m-5}}\right)\]


Exercice 589 **

1 avril 2021 11:57 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Résoudre le système : \[\left\{ \begin{matrix} ax+by+z & = & 1 \\ x+by+z & = & b \\ x+by+az & = & 1 \end{matrix}\right.\]



[ID: 1770] [Date de publication: 1 avril 2021 11:57] [Catégorie(s): Systèmes linéaires ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 589
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:57

Le déterminant de la matrice vaut \((a-1)^2b\).

  1. \(a\neq 1, b\neq 0\), \(\mathcal{S}=\left\lbrace \left( \dfrac{1-b}{a-1},\dfrac{ab+b-2}{(a-1)b},\dfrac{1-b}{a-1}\right) \right\rbrace\).

  2. \(a=1\), le système est compatible si et seulement si \(b=1\) et dans ce cas, \(\mathcal{S}=(1,0,0)+\mathop{\mathrm{Vect}}( (-1,1,0), (-1,0,1) )\).

  3. \(b=0, a\neq 1\): le système est incompatible.


Exercice 888 **

1 avril 2021 11:57 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Résoudre le système : \[\left\{ \begin{matrix} ax+by+z=1\\ x+aby+z=b\\ x+by+az=1\end{matrix} \right.\]



[ID: 1772] [Date de publication: 1 avril 2021 11:57] [Catégorie(s): Systèmes linéaires ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 888
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:57

Le déterminant du système égale \(b(a+2)(a-1)^2\).

Si \(b=0\), le système est toujours incompatible. Sinon,

  1. \(a\neq -2,1\): \[\left( \dfrac{a-b}{(a-1)(a+2)}, \dfrac{ab+b-2}{(a-1)(a+2)b}, \dfrac{a-b}{(a-1)(a+2)}\right)\]

  2. \(a=-2,b\neq-2\), \(\varnothing\).

  3. \(a=1,b\neq 1\), \(\varnothing\).

  4. \(a=-2\) et \(b=-2\), \((-1-2y,y,-1-x-y)\).

  5. \(a=1\) et \(b=1\), \((x,y,x-y)\).


Exercice 890 **

1 avril 2021 11:57 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Résoudre le système : \[\left\{ \begin{matrix} x+ay+bz=a \\ x-2ay+bz=b\end{matrix} \right.\]



[ID: 1774] [Date de publication: 1 avril 2021 11:57] [Catégorie(s): Systèmes linéaires ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 890
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:57

On soustrait les deux lignes pour obtenir \(\left\{ \begin{matrix} x+ay+bz=a \\ -3ay=b-a\end{matrix} \right.\).
Si \(a=0\), deux cas se présentent : Si \(b=0\) alors le système est de rang \(1\) et les solutions sont \((0,y,z)\). Si \(b\neq0\) alors le système n’est pas compatible.
Si \(a\neq0\), alors \(y={\scriptstyle a-b\over\scriptstyle 3a}\) et \(x+bz= {\scriptstyle 2a+b\over\scriptstyle 3}\) qui est une équation de droite dans le plan \(y={\scriptstyle a-b\over\scriptstyle 3a}\).


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Exercice 768
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:57

\((1,1,1,1)\) est la solution du premier système. \((9,2;-12,6;4,5;-1,1)\) est la solution du deuxième système. Dans cet exemple, une petite perturbation \((0,1;-0,1;0,1;-0,1)\) du vecteur de données entraîne une grosse perturbation du vecteur de solutions.


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