Changement de base

  1. Les exercices
  2. Vue compacte

Exercices du dossier Changement de base

Exercice 471 *

1 avril 2021 11:53 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère l’espace vectoriel \(\mathbb{R}^2\) muni de sa base canonique \(e=\left(e_1,e_2\right)\). On considère l’endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^2\) donné par : \[f\left(e_1\right)=e_1+e_2 \quad \textrm{ et} \quad f\left(e_2\right)=-e_1+2e_2\]

  1. Déterminer la matrice \(A\) de \(f\) dans la base canonique \(e\).

  2. Soit \(v=xe_1+ye_2\in\mathbb{R}^2\). Calculer les composantes \(x'\) et \(y'\) de \(f\left(v\right)\) dans la base canonique \(e\).

  3. On pose : \(\varepsilon_1=e_2\) et \(\varepsilon_2=e_1+e_2\). Prouver que \(\varepsilon=\left(\varepsilon_1,\varepsilon_2\right)\) est une base de \(E\).

  4. Déterminer \(P_{e\rightarrow \varepsilon}\) ainsi que \(P_{\varepsilon\rightarrow e}\).

  5. En déduire la matrice \(B\) de \(f\) dans la base \(\varepsilon\) et en déduire les expressions de \(f\left(\varepsilon_1\right)\) et \(f\left(\varepsilon_2\right)\) en fonction de \(\varepsilon_1\) et \(\varepsilon_2\).


[ID: 1708] [Date de publication: 1 avril 2021 11:53] [Catégorie(s): Changement de base ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 471
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 1 avril 2021 11:53

  1. \(A= \left( \begin {array}{cc} 1&-1\\1&2\end {array} \right)\)

  2. Par linéarité de \(f\) : \(f\left(v\right)=\left(x-y,x+2y\right)\)

  3. Comme \(\mathop{\mathrm{Mat}}_{e}\left(\varepsilon\right)=\begin{pmatrix} 0&1\\1&1 \end{pmatrix}\) et que cette matrice est inversible, la famille \(\varepsilon\) est une base de \(\mathbb{R}^2\).

  4. Comme \(P_{e\rightarrow \varepsilon}=\mathop{\mathrm{Mat}}_{e}\left(\varepsilon\right)\) alors \(P_{\varepsilon \rightarrow e}=\left(P_{e\rightarrow \varepsilon}\right)^{-1}=\left( \begin {array}{cc} -1&1\\1&0\end {array} \right)\)

  5. La formule de changement de base amène \(B=\mathop{\mathrm{Mat}}_\varepsilon\left(f\right)=P_{\varepsilon\rightarrow e}\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(f\right)P_{e\rightarrow \varepsilon}\). Après calcul, on trouve : \(B= \left( \begin {array}{cc} 3&3\\-1&0\end {array} \right)\). De plus, par lecture de cette matrice, on trouve que \(f(\varepsilon_1)=3\varepsilon_1-\varepsilon_2\) et \(f(\varepsilon_2)=3\varepsilon_1\)


Exercice 130 *

1 avril 2021 11:53 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(\left(e_1,e_2,e_3\right)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^3\). On pose : \[f_1=e_1-e_2+2e_3,\quad f_2=e_2+e_3,\quad f_3=e_1+2e_3\]

  1. Prouver que \(\left(f_1,f_2,f_3\right)\) forme une base de \(\mathbb{R}^3\).

  2. Écrire la matrice de passage de la base \(e\) à la base \(f\).

  3. Déterminer la matrice de passage de la base \(f\) à la base \(e\).

  4. On considère le vecteur \(u\) de coordonnées \(\left(-1,0,2\right)\) dans la base canonique. Quelles sont ses coordonnées dans la base \(f\)?

  5. On considère l’endomorphisme \(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^3 & \longrightarrow & \mathbb{R}^3 \\ \left(x,y,z\right) & \longmapsto & \left(x+y-2z,-x-z,-x+2y\right) \end{array} \right.\). Déterminer la matrice de \(\theta\) dans la base \(f\).


[ID: 1710] [Date de publication: 1 avril 2021 11:53] [Catégorie(s): Changement de base ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 130
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 1 avril 2021 11:53

  1. On a : \(\mathop{\mathrm{Mat}}_{e}\left(f\right)=\left( \begin {array}{ccc} 1&0&1\\-1&1&0 \\2&1&2\end {array} \right)\). Le déterminant de cette matrice est \(-1\). On en déduit que la famille \(f\) est libre et comme elle est de cardinal égal à la dimension de \(\mathbb{R}^3\), que c’est une base de \(\mathbb{R}^3\).

  2. Par définition : \(P_{e\rightarrow f}=\mathop{\mathrm{Mat}}_{e}\left(f\right)\).

  3. De même \(P_{f\rightarrow e}=\left(P_{e\rightarrow f}\right)^{-1}=\left( \begin {array}{ccc} -2&-1&1\\-2&0&1 \\3&1&-1\end {array} \right)\)

  4. D’après la formule de changement de base \(\mathop{\mathrm{Mat}}_f{u}=P_{f\rightarrow e} \mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(u\right)=\left( \begin {array}{c} 4\\4\\-5 \end {array} \right)\).

  5. On a : \(\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(\theta\right)=\left( \begin {array}{ccc} 1&1&-2\\-1&0&-1 \\-1&2&0\end {array} \right)\). En utilisant la formule de changement de base \(\mathop{\mathrm{Mat}}_f\left(\theta\right)=P_{f\rightarrow e}\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(\theta\right)P_{e\rightarrow f}\), on trouve \(\mathop{\mathrm{Mat}}_f\left(\theta\right)=\left( \begin {array}{ccc} 8&5&8\\5&4&5 \\-12&-6&-11\end {array} \right)\)


Exercice 1039 *

1 avril 2021 11:53 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient : \[P_1=X^2+1, \quad P_2=X +1\quad \textrm{ et} \quad P_3=2X^2-X\] On note \(\mathscr B=\left(1,X,X^2\right)\) la base canonique de \(\mathbb{R}_2\left[X\right]\).

  1. Montrer que \(\mathscr B'=\left(P_1,P_2,P_3\right)\) forme une base de \(\mathbb{R}_2\left[X\right]\).

  2. Écrire la matrice de passage de \(\mathscr B\) à \(\mathscr B'\), puis celle de \(\mathscr B'\) à \(\mathscr B\).

  3. Soit \(P\left(X\right)=X^2-X+2\). Donner les composantes de \(P\) dans la base \(\mathscr B'\).

  4. On considère l’endomorphisme de \(\mathbb{R}_2\left[X\right]\) donné par \(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_2\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{R}_2\left[X\right] \\ P & \longmapsto & XP' \end{array} \right.\). Déterminer la matrice de \(\theta\) dans la base \(\mathscr B'\).


[ID: 1712] [Date de publication: 1 avril 2021 11:53] [Catégorie(s): Changement de base ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 1039
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 1 avril 2021 11:53

  1. On a \(\mathop{\mathrm{Mat}}_{\mathscr B}\left(\mathscr B'\right)= \left( \begin {array}{ccc} 1&1&0\\0&1&-1 \\1&0&2\end {array} \right)\) et \(\mathop{\rm det}\mathop{\mathrm{Mat}}_{\mathscr B}\left(\mathscr B'\right)=1\) donc la famille \(\mathscr B'\) est libre. Cette famille est de plus de cardinal égal à la dimension de \(\mathbb{R}_2\left[X\right]\) ce qui prouve que c’est une base de \(\mathbb{R}_2\left[X\right]\).

  2. On a \(P_{\mathscr B \rightarrow \mathscr B'}=\mathop{\mathrm{Mat}}_{\mathscr B}\left(\mathscr B'\right)\) et \(P_{\mathscr B' \rightarrow \mathscr B}=\left(P_{\mathscr B \rightarrow \mathscr B'}\right)^{-1}=\left( \begin {array}{ccc} 2&-2&-1\\-1&2&1 \\-1&1&1\end {array} \right)\)

  3. On a \(\mathop{\mathrm{Mat}}_{\mathscr B'}\left(P\right) = P_{\mathscr B' \rightarrow \mathscr B} \mathop{\mathrm{Mat}}_{\mathscr B}\left(P\right)= \left( \begin {array}{ccc} 2&-2&-1\\-1&2&1 \\-1&1&1\end {array} \right) \times \left( \begin {array}{c} 2\\-1\\1 \end {array} \right) =\left( \begin {array}{c} 5\\-3\\-2 \end {array} \right)\).

  4. On a \(\mathop{\mathrm{Mat}}_{\mathscr B}\left(\theta\right)=\left( \begin {array}{ccc} 0&0&0\\0&1&0 \\0&0&2\end {array} \right)\) et \(\mathop{\mathrm{Mat}}_{\mathscr B'}\left(\theta\right)=P_{\mathscr B' \rightarrow \mathscr B} \mathop{\mathrm{Mat}}_{\mathscr B}\left(\theta\right)P_{\mathscr B \rightarrow \mathscr B'}=\left( \begin{array}{ccc} -2&-2&-2\\2&2&2\\2&1&3\end{array} \right)\)


Exercice 741 *

1 avril 2021 11:53 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère \(E=\mathbb{R}^3\) et \(F=\mathbb{R}^2\) tous deux munis de leurs bases canoniques respectives qu’on notera \(e=\left(e_1,e_2,e_3\right)\) et \(f=\left(f_1,f_2\right)\). Soit \(u: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^3 & \longrightarrow & \mathbb{R}^2 \\ \left(x,y,z\right) & \longmapsto & \left(x+y,y-z\right) \end{array} \right.\).

  1. Prouver que \(u\in\mathcal L\left(E,F\right)\) et écrire la matrice de \(u\) relativement aux bases \(e\) et \(f\).

  2. On considère les familles de vecteurs \(e'=\left(e'_1,e'_2,e'_3\right)\) avec \(e'_1=\left(0,1,-1\right)\), \(e'_2=\left(1,0,2\right)\),\(e'_3=\left(1,1,0\right)\) et \(f'=\left(f_1',f_2'\right)\) avec \(f_1'=\left(1,0\right)\), \(f_2'=\left(1,1\right)\). Montrer que \(e'\) et \(f'\) sont des bases de respectivement \(E\) et \(F\) et écrire les matrices de changement de base de \(e\) vers \(e'\) et de \(f\) vers \(f'\).

  3. En déduire la matrice de \(u\) relativement aux bases \(e'\) et \(f'\).


[ID: 1714] [Date de publication: 1 avril 2021 11:53] [Catégorie(s): Changement de base ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 741
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 1 avril 2021 11:53

  1. On vérifie facilement que \(u\) est linéaire. De plus \(\mathop{\mathrm{Mat}}_{f\leftarrow e}\left(u\right)= \left( \begin {array}{ccc} 1&1&0\\0&1&-1 \end {array} \right)\).

  2. On écrit \(\mathop{\mathrm{Mat}}_e{e'}=\left( \begin {array}{ccc} 0&1&1\\1&0&1 \\-1&2&0\end {array} \right)\) et comme \(\mathop{\rm det}\left(\mathop{\mathrm{Mat}}_e{e'}\right)=1\) on en déduit que \(e'\) est une base de \(E\). De même \(\mathop{\mathrm{Mat}}_{f}\left(f'\right)=\left( \begin {array}{cc} 1&1\\0&1\end {array} \right)\) et \(\mathop{\rm det}\left(\mathop{\mathrm{Mat}}_{f}\left(f'\right)\right)=1\). La famille \(f'\) est donc une base de \(F\). De plus \(P_{e\rightarrow e'}=\mathop{\mathrm{Mat}}_e{e'}\) et \(P_{f\rightarrow f'}=\mathop{\mathrm{Mat}}_{f}{f'}\).

  3. La formule de changement de bases est \(\mathop{\mathrm{Mat}}_{f'\leftarrow e'}\left(u\right)=P_{f'\rightarrow f} \mathop{\mathrm{Mat}}_{f\leftarrow e}\left(u\right)P_{e\rightarrow e'}\) et comme \(P_{f'\rightarrow f} = \left(P_{f\rightarrow f'}\right)^{-1}=\left( \begin {array}{cc} 1&-1\\0&1\end {array} \right)\) on a \(\mathop{\mathrm{Mat}}_{f'\leftarrow e'}\left(u\right)=\left( \begin {array}{ccc} -1&3&1\\2&-2&1 \end {array} \right)\).


Exercice 681 *

1 avril 2021 11:53 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Dans le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel  \(E=\mathbb{R}^3\) muni de sa base canonique \(e\), on considère la famille de vecteurs \(\varepsilon=\left(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3\right)\) donnés par \(\varepsilon_1=\left(1,0,2\right)\), \(\varepsilon_2=\left(0,1,1\right)\), \(\varepsilon_3=\left(1,0,1\right)\). Posons \(F=Vect\left(\varepsilon_1,\varepsilon_2\right)\) et \(G=Vect\left(\varepsilon_3\right)\).

  1. Montrer que \(F\) et \(G\) sont supplémentaires dans \(E\). Donner une base de \(E\) adaptée à la supplémentarité de ces deux sous-espaces vectoriels.

  2. Écrire, dans la base \(e\), la matrice de la projection \(p\) de \(E\) sur \(F\) parallèlement à \(G\).

  3. En déduire les matrices, dans la base \(e\) de :

    1. la projection \(p'\) de \(E\) sur \(G\) parallèlement à \(F\).

    2. la symétrie \(s\) par rapport à \(F\) parallèlement à \(G\).


[ID: 1716] [Date de publication: 1 avril 2021 11:53] [Catégorie(s): Changement de base ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 681
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 1 avril 2021 11:53

  1. On a \(\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(\varepsilon\right)=\left( \begin {array}{ccc} 1&0&1\\0&1&0 \\2&1&1\end {array} \right)\) et \(\mathop{\rm det}A=-1\). La famille \(\varepsilon\) est donc une base de \(E\). On en déduit que \(\left(\varepsilon_1,\varepsilon_2\right)\) forme une base de \(F\) et que \(\left(\varepsilon_3\right)\) forme une base de \(G\). Ces deux sous-espaces sont de plus clairement supplémentaires et la base \(\varepsilon\) est adaptée à cette supplémentarité.

  2. On a : \(\mathop{\mathrm{Mat}}_\varepsilon\left(p\right)=\left( \begin {array}{ccc} 1&0&0\\0&1&0 \\0&0&0\end {array} \right)\) et, en utilisant les formules de changement de base \(\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(p\right)=P_{e\rightarrow \varepsilon} \mathop{\mathrm{Mat}}_\varepsilon\left(p\right) P_{\varepsilon\rightarrow e}\) avec \(P_{e\rightarrow \varepsilon}=\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(\varepsilon\right)\) et \(P_{{\varepsilon\rightarrow e}}=\left(P_{e\rightarrow \varepsilon}\right)^{-1}\). Après calculs, on trouve \(\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(p\right)=\left( \begin {array}{ccc} -1&-1&1\\0&1&0 \\-2&-1&2\end {array} \right)\)

    1. On sait que \(p+p'=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\). Donc \(\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(p'\right)=I_3-\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(p\right)=\left( \begin {array}{ccc} 2&1&-1\\0&0&0 \\2&1&-1\end {array} \right)\)

    2. On sait aussi que \(s=2p-\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\). Donc \(\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(s\right)=2\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(p\right)-I_3=\left( \begin {array}{ccc} -3&-2&2\\0&1&0 \\-4&-2&3\end {array} \right)\).


Exercice 585 *

1 avril 2021 11:53 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E=\mathbb{R}^3\), \(\varepsilon_1=\left(0,0,1\right)\), \(\varepsilon_2=\left(1,1,1\right)\) et \(\varepsilon_3=\left(0,1,1\right)\). On pose : \(F=Vect\left(\varepsilon_1,\varepsilon_2\right)\) et \(G=Vect\left(\varepsilon_3\right)\).

  1. Prouver que \(\varepsilon=\left(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3\right)\) est une base de \(E\) et en déduire que \(E=F\oplus G\).

  2. Déterminer la matrice dans la base canonique \(e\) de \(E\) de la projection \(p\) sur \(F\) parallèlement à \(G\).

  3. En déduire, dans la base canonique de \(E\), la matrice de la symétrie \(s\) par rapport à \(F\) parallèlement à \(G\) et la matrice de la projection \(p'\) sur \(G\) parallèlement à \(F\).


[ID: 1718] [Date de publication: 1 avril 2021 11:53] [Catégorie(s): Changement de base ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 585
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 1 avril 2021 11:53

  1. Comme la matrice \(\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(\varepsilon\right)=\begin{pmatrix} 0&1&0\\0&1&1\\1&1&1 \end{pmatrix}\) est inversible, la famille \(\varepsilon\) est une base de \(\mathbb{R}^3\). Comme \(\left(\varepsilon_1,\varepsilon_2\right)\) est une base de \(F\) et que \(\left(\varepsilon_3\right)\) est une base de \(G\), on en déduit que \(E=F\oplus G\).

  2. On sait que \(\mathop{\mathrm{Mat}}_\varepsilon\left(p\right)=\left( \begin {array}{ccc} 1&0&0\\0&1&0 \\0&0&0\end {array} \right)\) donc grâce aux formules de changement de base \(\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(p\right)=P_{e\rightarrow \varepsilon} \mathop{\mathrm{Mat}}_\varepsilon\left(p\right) P_{\varepsilon\rightarrow e}\) avec \(P_{e\rightarrow \varepsilon}=\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(\varepsilon\right)\) et \(P_{{\varepsilon\rightarrow e}}=\left(P_{e\rightarrow \varepsilon}\right)^{-1}=\begin{pmatrix} 0&-1&1\\1&0&0\\-1&1&0 \end{pmatrix}\). On effectue les calculs et on trouve \(\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(p\right)=\begin{pmatrix} 1&0&0\\1&0&0\\1&-1&1 \end{pmatrix}\)

  3. On sait que \(s=2p-\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\) et que \(p+p'=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\) donc \(\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(s\right)=\begin{pmatrix} 1&0&0\\2&-1&0\\2&-2&1 \end{pmatrix}\) et \(\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(p'\right)=\begin{pmatrix} 0&0&0\\-1&1&0\\-1&1&0 \end{pmatrix}\).


Exercice 858 *

1 avril 2021 11:53 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(A=\left( \begin {array}{ccc} 2&1&-2\\0&1&0 \\4&1&-4\end {array} \right)\) et \(e=\left(e_1,e_2,e_3\right)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^3\). Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) représenté par \(A\) dans la base \(e\). On pose \(\varepsilon_1=\left(1,0,1\right), \quad \varepsilon_2=\left(0,1,0\right),\quad \varepsilon_3=\left(1,0,2\right) \quad \textrm{ et} \quad \varepsilon=\left(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3\right)\).

  1. Montrer que \(\varepsilon\) est une base de \(\mathbb{R}^3\).

  2. Écrire la matrice de \(f\) dans cette base.

  3. Déterminer une base de \(\operatorname{Ker}f\) et de \(\mathop{\mathrm{Im}}f\).


[ID: 1720] [Date de publication: 1 avril 2021 11:53] [Catégorie(s): Changement de base ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 858
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 1 avril 2021 11:53

  1. On vérifie que \(\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(\varepsilon\right)=\begin{pmatrix} 1&0&1\\0&1&0\\1&0&2 \end{pmatrix}\) est inversible donc \(\varepsilon\) est une base de \(\mathbb{R}^3\).

  2. D’après la formule de changement de base \(\mathop{\mathrm{Mat}}_\varepsilon\left(f\right)=P_{\varepsilon\rightarrow e} \mathop{\mathrm{Mat}}_e \left(f\right) P_{e\rightarrow \varepsilon}\) avec \(P_{e\rightarrow \varepsilon}=\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(\varepsilon\right)\) et \(P_{{\varepsilon\rightarrow e}}=\left(P_{e\rightarrow \varepsilon}\right)^{-1}=\begin{pmatrix} 2&0&-1\\0&1&0\\-1&0&1 \end{pmatrix}\). Il vient \(\mathop{\mathrm{Mat}}_\varepsilon\left(f\right)=\begin{pmatrix} 0&1&0\\0&1&0\\0&0&-2 \end{pmatrix}\).

  3. Les deux derniers vecteurs colonnes de \(\mathop{\mathrm{Mat}}_\varepsilon\left(f\right)\) sont non colinéaires et le premier est nul donc \(\mathop{\mathrm{rg}}f=2\) et \(\dim \mathop{\mathrm{Im}}f=2\). Les vecteurs \(f\left(\varepsilon_2\right)=\left(1,1,0\right)\) et \(f\left(\varepsilon_3\right)=\left(0,0,-2\right)\) sont non colinéaires et dans l’image de \(f\). Il forment donc une base de \(\mathop{\mathrm{Im}}f\). La formule du rang permet d’affirmer que \(\dim \operatorname{Ker}f=1\). Comme \(f\left(\varepsilon_1\right)=0\), une base de \(\operatorname{Ker}f\) est \(\left(\varepsilon_1\right)\).


Exercice 793 *

1 avril 2021 11:53 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel muni d’une base \(e=\left(e_1,e_2,e_3\right)\). On considère \(f\) l’endomorphisme de \(E\) dont la matrice dans la base \(e\) est \(A=\left( \begin {array}{ccc} 3&-2&-4\\1&0&-2 \\1&-1&-1\end {array} \right)\)

  1. Calculer \(A^2\). Que peut-on en déduire au sujet de \(f\)?

  2. Déterminer une base de \(\mathop{\mathrm{Im}}f\) et de \(\operatorname{Ker}f\).

  3. Prouver de deux façons différentes que \(\mathop{\mathrm{Im}}f\) et \(\operatorname{Ker}f\) sont supplémentaires dans \(E\).

  4. Quelle est la matrice de \(f\) relativement à une base adaptée à la supplémentarité de \(\mathop{\mathrm{Im}}f\) et de \(\operatorname{Ker}f\).


[ID: 1722] [Date de publication: 1 avril 2021 11:53] [Catégorie(s): Changement de base ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 793
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 1 avril 2021 11:53

  1. On vérifie facilement que \(A^2=A\). On a alors \(f^2=f\) et \(f\) est donc un projecteur de \(E\).

  2. Soit \(X=\left( \begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\). On a : \(AX=0\) si et seulement si \(\begin{cases}3x-2y-4z&=0 \\x-2z&=0\\x-y-z&=0 \end{cases}\) c’est-à-dire si et seulement si \(X\in\mathop{\mathrm{Vect}}{\left( \begin{array}{c}2\\1 \\1\end{array}\right)}\). On en déduit que \({\rm Ker}\,f=Vect\left(\varepsilon_1\right)\) où \(\varepsilon_1=2e_1+e_2+e_3\). Par ailleurs, posons \(\varepsilon_2=f\left(e_1\right)\) et \(\varepsilon_3=f\left(e_2\right)\). On vérifie, par un calcul matriciel facile que \(\varepsilon_2=3e_1+e_2+e_3\) et que \(\varepsilon_3=-2e_1+e_3\). Les vecteurs \(\varepsilon_2\) et \(\varepsilon_3\) sont dans \(\mathop{\mathrm{Im}}f\) et sont non colinéaires. Ils forment donc une famille libre. En appliquant la formule du rang, on montre que \(\dim \mathop{\mathrm{Im}}f=2\). Il s’ensuit que cette famille est une base de \(\mathop{\mathrm{Im}}f\).

  3. Comme \(f\) est un projecteur, \(\mathop{\mathrm{Im}}f\) et \(\operatorname{Ker}f\) sont nécessairement supplémentaires dans \(E\).

  4. Utilisant la question précédente, la famille \(\varepsilon\) est adaptée à la supplémentarité de \(\mathop{\mathrm{Im}}f\) et de \(\operatorname{Ker}f\). On obtient facilement : \(\mathop{\mathrm{Mat}}_\varepsilon\left(f\right)= \left( \begin {array}{ccc} 0&0&0\\0&1&0 \\0&0&1\end {array} \right)\).


Exercice 94 *

1 avril 2021 11:53 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(e=\left(e_1,e_2,e_3\right)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^3\) et soit \(A= \left( \begin {array}{ccc} 2&4&4\\0&4&2 \\0&-4&-2\end {array} \right)\). Notons \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) dont la matrice dans la base \(e\) est \(A\).

  1. Déterminer \(\operatorname{Ker}f\) et \(\mathop{\mathrm{Im}}f\). Démontrer que ces sous-espaces sont supplémentaires dans \(\mathbb{R}^3\).

  2. Déterminer une base à la supplémentarité de \(\mathop{\mathrm{Im}}f\) et de \(\operatorname{Ker}f\) et écrire la matrice de \(f\) dans cette base.

  3. Écrire \(f\) comme composée de transformations vectorielles élémentaires.


[ID: 1724] [Date de publication: 1 avril 2021 11:53] [Catégorie(s): Changement de base ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 94
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 1 avril 2021 11:53

  1. Pour tout \(\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3\), on vérifie facilement que \(f\left(x,y,z\right)=\left(2x+4y+4z,4y+2z,-4y-2z\right)\). On en déduit que \(\operatorname{Ker} f=\mathop{\mathrm{Vect}}\left(\varepsilon_1\right)\) où \(\varepsilon_1=\left(2,1,-2\right)\)et que \(\mathop{\mathrm{Im}} f=Vect\left(\varepsilon_2,\varepsilon_3\right)\) où \(\varepsilon_2=\left(1,0,0\right)\) et \(\varepsilon_3=\left(0,1,-1\right)\). On vérifie facilement que la famille \(\varepsilon=\left(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3\right)\) est une base de \(E\). Comme \(\left(\varepsilon_1\right)\) est une base de \(\operatorname{Ker}f\) et que \(\left(\varepsilon_2,\varepsilon_3\right)\) est une base de \(\mathop{\mathrm{Im}}f\), on sait que \(\mathop{\mathrm{Im}}f\) et \(\operatorname{Ker}f\) sont supplémentaires dans \(E\).

  2. La famille \(\varepsilon\) est adaptée à la supplémentarité de \(\mathop{\mathrm{Im}}f\) et de \(\operatorname{Ker}f\). Utilisant la formule de changement de base : \(\mathop{\mathrm{Mat}}_\varepsilon\left(f\right)=P_{\varepsilon\rightarrow e} \mathop{\mathrm{Mat}}_e \left(f\right) P_{e \rightarrow \varepsilon}\) où \(P_{e \rightarrow \varepsilon}=\left( \begin {array}{ccc} 2&1&0\\1&0&1 \\-2&0&-1\end {array} \right)\) et où \(P_{\varepsilon\rightarrow e}={P_{e \rightarrow \varepsilon}}^{-1}=\left( \begin {array}{ccc} 0&-1&-1\\1&2&2\\0&2&1\end {array} \right)\), on obtient \[\mathop{\mathrm{Mat}}_\varepsilon\left(f\right)= \left( \begin {array}{ccc} 0&-1&-1\\1&2&2\\0&2&1\end {array} \right) \times \left( \begin {array}{ccc} 2&4&4\\0&4&2 \\0&-4&-2\end {array} \right) \times \left( \begin {array}{ccc} 2&1&0\\1&0&1 \\-2&0&-1\end {array} \right) = \left( \begin {array}{ccc} 0&0&0\\0&2&0 \\0&0&2\end {array} \right)\]

  3. \(f\) est alors la composée de l’homothétie vectorielle de rapport \(2\) et de la projection de \(\mathbb{R}^3\) sur le plan \(\mathop{\mathrm{Im}}f\) parallèlement au plan \(\operatorname{Ker}f\).


Exercice 15 *

1 avril 2021 11:53 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel  muni d’une base \(e=\left(e_1,e_2,e_3\right)\). On considère \(u\in\mathfrak{L}\left(E\right)\) représenté dans la base \(e\) par la matrice \(A= \left( \begin {array}{ccc} 1&0&0\\1&2&0 \\-1&0&2\end {array} \right)\).

  1. Montrer que la famille \(\varepsilon=\left(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3\right)\) avec \(\varepsilon_1=-e_1+e_2-e_3\), \(\varepsilon_2=e_2\) et \(\varepsilon_3=e_2+e_3\) est une base de \(E\). Écrire la matrice de passage de la base \(e\) à la base \(\varepsilon\).

  2. Calculer la matrice de \(u\) dans la base \(\varepsilon\).

  3. En déduire la matrice de \(u^n\) dans la base \(e\).


[ID: 1726] [Date de publication: 1 avril 2021 11:53] [Catégorie(s): Changement de base ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 15
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 1 avril 2021 11:53

  1. Comme \(\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(\varepsilon\right)=\left( \begin {array}{ccc} -1&0&0\\1&1&1 \\-1&0&1\end {array} \right)\) et que \(\mathop{\rm det}\left(\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(\varepsilon\right)\right)=1\), la famille \(\varepsilon\) est de rang \(3\) et forme donc une base de \(E\). De plus \(P_{e\rightarrow \varepsilon}=\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(\varepsilon\right)\).

  2. Appliquant les formules de changement de bases : \(\mathop{\mathrm{Mat}}_\varepsilon\left(u\right)=P_{\varepsilon\rightarrow e} \mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(u\right)P_{e\rightarrow \varepsilon}\) avec \(P_{\varepsilon\rightarrow e}=\left(P_{e\rightarrow \varepsilon}\right)^{-1}=\left( \begin {array}{ccc} -1&0&0\\2&1&-1 \\-1&0&1\end {array} \right)\) et \(\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(u\right)=A\). On en déduit que \(\mathop{\mathrm{Mat}}_\varepsilon\left(u\right)=\left( \begin {array}{ccc} 1&0&0\\0&2&0 \\0&0&2\end {array} \right)\).

  3. Notons \(P=P_{e\rightarrow \varepsilon}\) et \(A_0=\mathop{\mathrm{Mat}}_\varepsilon\left(u\right)\). On a donc : \(\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(u^n\right)=A^n=\left(PA_0P^{-1}\right)^n=PA_0^nP^{-1}=\left( \begin {array}{ccc} 1&0&0\\-1+{2}^{n}&{2}^{n }&0\\1-{2}^{n}&0&{2}^{n}\end {array} \right)\)


Votre première diagonalisation *

1 avril 2021 11:53 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère le \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel  \(E=\mathbb{R}^3\) muni de sa base canonique \(e=\left(e_1,e_2,e_3\right)\). Soit \(u\) l’endomorphisme de \(E\) représenté dans la base \(e\) par la matrice \(A=\left( \begin {array}{ccc} 0&-2&1\\-3&-1&3 \\-2&-2&3\end {array} \right)\). Le but de cet exercice est de trouver une base \(\varepsilon\) de \(E\) tel que dans cette base la matrice de \(u\) est diagonale. On dira alors qu’on a diagonalisé \(u\).

  1. Développer le polynôme \(P\left(\lambda\right)=\mathop{\rm det}\left(A-\lambda I_3\right)\). \(P\) est appelé polynôme caractéristique de \(u\).

  2. Calculer les racines de \(P\). Les trois réels trouvés sont appelées valeurs propres de \(u\).

  3. Déterminer des vecteurs \(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3\) de \(E\) en sorte que \(\left(\varepsilon_1\right)\) forme une base de \({\rm Ker}\,\left(u-id\right)\), \(\left(\varepsilon_2\right)\) forme une base de \(\operatorname{Ker}\left(u-2id\right)\) et \(\left(\varepsilon_3\right)\) forme une base de \(\operatorname{Ker} \left(u+id\right)\). Ces trois vecteurs sont des vecteurs propres de \(u\).

  4. Montrer que \(\varepsilon=\left(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3\right)\) est une base de \(E\).

  5. Vérifier que la matrice de \(u\) dans la base \(\varepsilon\) est diagonale.


[ID: 1728] [Date de publication: 1 avril 2021 11:53] [Catégorie(s): Changement de base ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Votre première diagonalisation
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 1 avril 2021 11:54

  1. On a : \(P\left(\lambda\right)=\mathop{\rm det}\left(A-\lambda I_3\right)=\left\vert \begin {array}{ccc} -\lambda&-2&1\\-3&-1- \lambda&3\\-2&-2&3-\lambda\end {array} \right\vert\). En effectuant les opérations élémentaires \(C_1 \leftarrow C_1 + C_3\) puis \(L_3 \leftarrow L_3 - L_1\), on a \(P\left(\lambda\right)=\left\vert \begin {array}{ccc} -\lambda+1&-2&1\\0&-1- \lambda&3\\0&0&2-\lambda\end {array} \right\vert = \left(-\lambda+1\right)\left(-1-\lambda\right)\left(2-\lambda\right)\).

  2. Les valeurs propres de \(u\) sont \(1\), \(-1\) et \(2\).

  3. Soit \(\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3\). Posons \(X=\left( \begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\). On a : \(u\left(x\right)-x=0\) si et seulement si \(AX-X=0\) qui est équivalent au système \(\begin{cases}-2\,y+z-x=0\\-3\,x-2\,y+3\,z=0\\-2\,x-2\,y+2\,z=0 \end{cases}\) On vérifie que l’ensemble des solution de ce système est donné par \(Vect\left(\varepsilon_1\right)\) avec \(\varepsilon_1=\left(1,0,1\right)\). Donc \({\rm Ker}\,\left(u-id\right)=Vect\left(\varepsilon_1\right)\) On montre de même que \({\rm Ker}\,\left(u-2id\right)=Vect\left(\varepsilon_2\right)\) avec \(\varepsilon_2=\left(-1,1,0\right)\) et que \({\rm Ker}\,\left(u+id\right)=Vect\left(\varepsilon_3\right)\) avec \(\varepsilon_3=\left(1,1,1\right)\).

  4. Comme \(P = \mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(\varepsilon\right)=\left( \begin {array}{ccc} 1&-1&1\\0&1&1 \\1&0&1\end {array} \right)\) et que \(\mathop{\rm det}\left(P\right)=_1\), la famille \(\varepsilon\) est de rang \(3\) et forme une base de \(E\).

  5. Par la formule de changement de base, \(\mathop{\mathrm{Mat}}_\varepsilon\left(u\right)=P_{\varepsilon\rightarrow e} \mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(u\right) P_{e\rightarrow \varepsilon}\) avec \(P_{\varepsilon\rightarrow e}=\left(\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(\varepsilon\right)\right)^{-1}=\left( \begin {array}{ccc} -1&-1&2\\-1&0&1 \\1&1&-1\end {array} \right)\) et donc :
    \(\mathop{\mathrm{Mat}}_\varepsilon\left(u\right)=\left( \begin {array}{ccc} 1&0&0\\0&-1&0 \\0&0&2\end {array} \right)\). Mais il est bien mieux d’utiliser que \(u(\varepsilon_1)=\varepsilon_1\), \(u\left(\varepsilon_2\right)=-\varepsilon_2\) , \(u\left(\varepsilon_3\right)=2\varepsilon_3\) et d’en déduire direcement la matrice.


Exercice 613 **

1 avril 2021 11:54 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E=\mathbb{R}^{2}\). Déterminer tous les endomorphismes \(u \in L(E)\) tels que : \[\operatorname{Ker}(u)=\mathop{\mathrm{Vect}}(1,2), \textrm{ et } \mathop{\mathrm{Im}}u=\mathop{\mathrm{Vect}}(1,1)\]


[ID: 1730] [Date de publication: 1 avril 2021 11:54] [Catégorie(s): Changement de base ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 613
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 1 avril 2021 11:54

Posons \(f_1=(1,2)\) et \(f_2=\left(0,1\right)\). Comme \(f_1\) et \(f_2\) ne sont pas colinéaires, \(u\left(f_2\right)\) est non nul et élément de \(\mathop{\mathrm{Im}}u\). Il existe donc \(\alpha\neq 0\) tel que \(u\left(f_2\right)=\left(\alpha,\alpha\right) \alpha e_1 + \alpha e_2 = \alpha f_1 - \alpha f_2 =\). On vérifie facilement que \(f=\left(f_1,f_2\right)\) forme une base de \(\mathbb{R}^2\). Il est clair que \(\textrm{ Mat}_{f}\left(u\right)= \begin{pmatrix} 0&\alpha\\ 0&-\alpha \end{pmatrix}\). De plus, \(P_{e\rightarrow f}=\begin{pmatrix} 1&0\\2&1 \end{pmatrix}\) et \(P_{f\rightarrow e}=P_{e\rightarrow f}^{-1}=\begin{pmatrix} 1&0\\-2&1 \end{pmatrix}\). On en déduit que \(\textrm{ Mat}_{e}\left(u\right)=P_{e\rightarrow f} \textrm{ Mat}_{f}\left(u\right) P_{f\rightarrow e}=\begin{pmatrix} -2\alpha&\alpha\\-2\alpha&\alpha \end{pmatrix}\). On en déduit que \(u\left(x,y\right)=\alpha\left(-2x+y,-2x+y\right)\). Réciproquement, on vérifie facilement que tous les endomorphismes de cette forme satisfont l’hypothèse.


Exercice 571 **

1 avril 2021 11:54 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

  1. Soit un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie et un endomorphisme \(u \in L(E)\) de rang \(1\). Montrer qu’il existe \(\lambda \in \mathbb{K}\) tel que \(u^2 = \lambda u\).

  2. Soit \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\). Montrer que \({\mathop{\mathrm{rg}}(A) = 1} \Leftrightarrow {\exists (X, Y) \in {\mathfrak{M}_{n1}(\mathbb{\mathbb{K} }) ^*}^2~ A = X {Y}^{\mathrm{T}}}\).


[ID: 1732] [Date de publication: 1 avril 2021 11:54] [Catégorie(s): Changement de base ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 571
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 1 avril 2021 11:54

  1. Comme \(\mathop{\mathrm{rg}}\left(u\right)=1\), d’après la formule du rang, \(\operatorname{Ker}u\) est de dimension \(n-1\) où \(n=\dim E\). Soit \(e'\) une base de \(\operatorname{Ker}u\). On applique le théorème de base incomplète pour compléter par un vecteur \(e_n\in E\) en une base \(e\) de \(E\). Comme \(\mathop{\mathrm{Vect}}\left(e_n\right)=\mathop{\mathrm{Im}}u\), il existe \(\lambda \in\mathbb{K}^*\) tel que \(u\left(e_n\right)=\lambda e_n\). Soit \(x=\sum_{i=1}^n x_i e_i\in E\) alors \(u\left(x\right)= x_n u\left(e_n\right)=x_n \lambda e_n\) et \(u^2\left(x\right)=x_n \lambda^2 {e_n}=\lambda u\left(x\right)\) et la propriété est prouvée.

    • Supposons que \(\mathop{\mathrm{rg}}\left(A\right)=1\). Soit \(b\) la base canonique de \(\mathbb{K}^n\). Il existe \(u\in L\left(\mathbb{K}^n\right)\) tel que \(\textrm{ Mat}_{b}\left(u\right)=A\). Comme \(\mathop{\mathrm{rg}}\left(u\right)=\mathop{\mathrm{rg}}\left(A\right)=1\), d’après la question \(1\), on sait qu’il existe une base \(e\) de \(\mathbb{K}^n\) tel que \(u\left(e_i\right)=0\) pour tout \(i\in\llbracket 1,n-1\rrbracket\) et \(u\left(e_n\right)=\lambda e_n\) où \(\lambda\in\mathbb{K}^*\). Donc \[\textrm{ Mat}_{e}\left(u\right)=\begin{pmatrix} 0&\dots&0&0\\ \vdots&&\vdots&\vdots\\ \vdots&&\vdots&0\\equ 0&\dots&0&\lambda\\ \end{pmatrix}=\lambda X_0 {X_0}^{\mathrm{T}}\] avec \(X_0= {\left(0,\dots,0,1\right)}^{\mathrm{T}}\in \mathfrak{M}_{n1}(\mathbb{\mathbb{K} })\). Si \(P=P_{b\rightarrow e}\) alors \(A=P X_0 {X_0}^{\mathrm{T}} P^{-1}=X{Y}^{\mathrm{T}}\) avec \(X=\lambda P X_0 \in \mathfrak{M}_{n1}(\mathbb{\mathbb{K} })\) et \(Y={P^{-1}}^{\mathrm{T}}X_0\in \mathfrak{M}_{n1}(\mathbb{\mathbb{K} })\). Remarquons que \(X\) et \(Y\) sont non nuls car c’est le cas de \(X_0\) et que \(P\) est inversible.

    • Réciproquement, si \(A=X {Y}^{\mathrm{T}}\) avec \(X={\left(x_1,\dots,x_n\right)}^{\mathrm{T}}\in \mathfrak{M}_{n1}(\mathbb{\mathbb{K} }) ^*\) et \(Y= {\left(y_1,\dots,y_n\right)}^{\mathrm{T}}\in \mathfrak{M}_{n1}(\mathbb{\mathbb{K} }) ^*\) alors \[A=\begin{pmatrix} x_1 y_1&\dots&x_1 y_n\\ \vdots & &\vdots\\ x_n y_1& \dots&x_n y_n \end{pmatrix}.\] Toutes les colonnes de \(A\) sont colinéaires donc \(\mathop{\mathrm{rg}}\left(A\right)=\mathop{\mathrm{rg}} \begin{pmatrix} x_1 &0&\dots&0\\ \vdots&\vdots & &\vdots\\ x_n &0& \dots&0 \end{pmatrix}=1\) car \(X\) est non nul.


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