Structure formée de matrices

Exercices du dossier Structure formée de matrices

Exercice 235 *

1 avril 2021 11:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit l’ensemble \[{\mathcal{J}=\left\{ \left ( \begin{array}{ll} x&x\\ x&x \end{array} \right )\in \mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)~\mid~ x\in \mathbb{R}\setminus\left\{0\right\} \right\}.}\] Montrer que, muni de la multiplication usuelle des matrices, \(\mathcal{J}\) est un groupe abélien.



[ID: 1678] [Date de publication: 1 avril 2021 11:48] [Catégorie(s): Structure formée de matrices ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 235
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:48

Soit \(J(x) = \begin{pmatrix} x & x \\ x & x \end{pmatrix}\) et \(J = J(1)\) . On a \(J^2 = 2J\) et \(J(x)J(y) = 2xyJ = J(2xy)\). On a donc la stabilité et la commutativité. On a aussi \(J(x)J({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}) = J(x)\) donc \(J({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2})\) est élément neutre et \(J(x)J(y) = J({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2})\) lorsque \(2xy = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\) soit \(y = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 4x}\). Tout élément admet bien un symétrique.


Exercice 236 *

1 avril 2021 11:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Pour la multiplication usuelles des matrices carrées, les ensembles suivants sont-ils des groupes : \[{ \textrm{ GL}(2,\mathbb{R})\cap\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{Z}\right),\quad \left\{M\in\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{Z}\right)~\mid~\mathop{\rm det}M=1\right\} \textrm{ ?} }\]



[ID: 1680] [Date de publication: 1 avril 2021 11:48] [Catégorie(s): Structure formée de matrices ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 236
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:48

Le premier ensemble n’est pas un groupe car, par exemple, la matrice \(\begin{pmatrix}2&0\\0&2\\ \end{pmatrix}\) ne peut avoir pour inverse que \(\begin{pmatrix} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}&0\\0&{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\\ \end{pmatrix}\) qui n’appartient pas à l’ensemble.

Notons \(G = \{ M \in \mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{Z}\right) ~\mid~ \mathop{\rm det}M = 1 \}\) et montrons que \(G\) est un sous-groupe de \(GL_{2}\left(\mathbb{R}\right)\).

  • la matrice identité appartient à \(G\).

  • si \(A,B \in G\) alors \(AB \in \mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{Z}\right)\) et \(\mathop{\rm det}AB = \mathop{\rm det}A \times \mathop{\rm det}B = 1\times 1 =1\), et donc \(AB \in G\).

  • Si \(A = \begin{pmatrix} a&b\\c&d\\ \end{pmatrix}\) (\(a,b,c,d \in \mathbb{Z}\)) alors \({\scriptstyle 1\over\scriptstyle\mathop{\rm det}A}\begin{pmatrix} d&-b\\-c&a\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} d&-b\\-c&a\\ \end{pmatrix}\) appartient à \(G\) et est l’inverse de \(A\).


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Exercice 107
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:48
  1. Oui. \(\begin{pmatrix} a&0\\0&0\\ \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} b&0\\0&0\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ab&0\\0&0\\ \end{pmatrix}\). On a un groupe abélien.

  2. Non. Le produit de deux matrices symétriques n’a aucune raison d’être symétrique : \(\begin{pmatrix} 1&1\\1&0\\ \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0&0\\0&1\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&1\\0&0\\ \end{pmatrix}\). La loi n’est pas interne.


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Exercice 618
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:48
  1. L’ensemble \(G\) des matrices \(\begin{pmatrix} a & c \cr b & d \cr \end{pmatrix}\) avec \(a,b,c,d\in {\mathbb{R}}\) tels que \(ad-bc\not = 0\) et \(a^2-b^2-c^2-d^2 \leqslant 1\) n’est pas un sous-groupe de \(Gl_2({\mathbb{R}})\). En effet les deux matrices \(\begin{pmatrix} 1 & 1\cr 0 & 1/2 \cr \end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \cr 1 & 1/2\cr \end{pmatrix}\) appartiennent à \(G\) et leur produit \(\begin{pmatrix} 2 & 1/2 \cr 1/2 & 1/4\cr \end{pmatrix}\) n’appartient pas à \(G\).

  2. L’ensemble \(H\) des matrices \(\begin{pmatrix} a & b \cr 0 & a^{-1} \cr \end{pmatrix}\) avec \(a\in {\mathbb{R}}^*\) et \(b\in {\mathbb{R}}\) est un sous-groupe de \(Gl_2({\mathbb{R}})\). En effet,

    \(\bullet\) \(I_2\) élément neutre de \(Gl_2({\mathbb{R}})\) appartient à \(H\).

    \(\bullet\) Soient \(M=\begin{pmatrix} a & b \cr 0 & a^{-1} \cr \end{pmatrix}\) et \(M'=\begin{pmatrix} c & d \cr 0 & c^{-1} \cr \end{pmatrix}\) deux éléments de \(H\) alors \(MM'=\begin{pmatrix} ac & ad+bc^{-1} \cr 0 & (ac)^{-1} \cr \end{pmatrix}\) donc le produit de deux éléments de \(H\) appartient à \(H\).

    \(\bullet\) Soit \(M=\begin{pmatrix} a & b \cr 0 & a^{-1} \cr \end{pmatrix}\). Alors \(M^{-1} =\begin{pmatrix} a^{-1} &- b \cr 0 & a \cr \end{pmatrix}\) appartient à \(H\).

  3. Soit \(K_M\) l’ensemble des matrices \(\begin{pmatrix} a & c \cr b & d \cr \end{pmatrix}\) avec \(a,b,c,d\in {\mathbb{R}}\) tels que \(ad-bc\not = 0\) et \(a\leqslant M\). Nous allons montrer, en raisonnant par l’absurde, qu’il n’existe pas de valeur \(M\in {\mathbb{R}}\) telle que \(K_M\) forme un sous-groupe de \(Gl_2({\mathbb{R}})\).

    Soit \(M\in {\mathbb{R}}\) tel que \(K_M\) forme un sous-groupe de \(Gl_2({\mathbb{R}})\). Alors \(I_2\) appartient à \(K_M\) donc \(M\geqslant 1\). Ainsi, les matrices \(A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \cr 0 & 1 \cr \end{pmatrix}\) et, pour tout \(n\in {\mathbb{N}}\), \(A_n=\begin{pmatrix} 1 & 1 \cr n & 1 \cr \end{pmatrix}\) appartiennent à \(K_n\) donc le produit \(AA_n=\begin{pmatrix} 1+n & 2 \cr n & 1 \cr \end{pmatrix}\) appartient à \(K_n\). En conséquence, pour tout \(n\in {\mathbb{N}}\), on a : \(1+n\leqslant M\), ce qui est absurde.


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Exercice 264
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:48

Soit \(A(x) = \left ( \begin{array}{ll} x&0\\ 0&0 \end{array} \right )\). On a \(A(x)+A(y)=A(x+y)\) et \(A(x)+A(y)=A(x+y)\). On vérifie ainsi que \(M\) est un anneau et même un corps. De fait, \(A~: x\in\mathbb{R} \longmapsto A(x)\) est un morphisme d’anneaux.
Soit \(B(x) = \left ( \begin{array}{ll} x&x\\ -x&-x \end{array} \right ) = xA(1)\). On a \(A(1)^2 = 0\). On en déduit que \(A(x)A(y) = 0 = A(0)\). La multiplication est donc associative, commutative, distributive par rapport à l’addition. En revanche il n’y a pas d’élément neutre. Bien entendu, \(M\) n’est pas un corps.


Exercice 806 *

1 avril 2021 11:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit la matrice \(A=\begin{pmatrix} 1&1 \\ -1&1 \end{pmatrix}\). On note \(\mathcal{C}\) l’ensemble des matrices qui commutent avec \(A\).
Montrer que \(\mathcal{C}\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathfrak{M}_{2}(\mathbb{R})\) et déterminer sa dimension.



[ID: 1688] [Date de publication: 1 avril 2021 11:48] [Catégorie(s): Structure formée de matrices ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 806
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:48

\(\mathcal{C}\) est le noyau de \(f_A : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathfrak{M}_{2}(\mathbb{\mathbb{R} }) & \longrightarrow & \mathfrak{M}_{2}(\mathbb{\mathbb{R} }) \\ X & \longmapsto & AX - XA \end{array} \right.\) et en tant que tel est un sous-espace vectoriel de \(\mathfrak{M}_{2}(\mathbb{R})\). On a clairement \(A\in\mathcal{C}\) et \(I_2\in\mathcal{C}\). Remarquons aussi que les matrices de \(\mathcal{C}\) commutent aussi avec \(S = A - I_2 = \begin{pmatrix} 0&1 \\ -1&0 \end{pmatrix}\). Soit \(M = \begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix}\in\mathcal{C}\), on a \(SM = \begin{pmatrix} c&d \\ -a&-b \end{pmatrix}\) et \(MS = \begin{pmatrix} -b&a \\ -d&c \end{pmatrix}\). On a donc \(-b=c\) et \(a=d\). Donc \(\mathcal{C}\) est bien le sous-espace vectoriel de \(\mathfrak{M}_{2}(\mathbb{R})\) engendré par \(A\) et \(I_2\) (ou par \(S\) et \(I_2\).)


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Exercice 833
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:48

\(\theta\) est linéaire, et \(\theta(x+iy)=xI+yJ=0\) n’est vérifié que pour \(x=y=0\). \(\theta\) est donc un isomorphisme linéaire entre \(E\) et \(\mathbb{C}\).
Une fois établi \(J^2=-I\), on en déduit que \(\theta((xI+yJ)(x'I+y'J)) = \theta((xx' - yy')I + (xy'+yx')J) = \theta(xI+yJ) \theta(x'I+y'J)\). Comme on a \(\theta(I) = 1\), on a bien un isomorphisme de corps.


Exercice 374 **

1 avril 2021 11:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(c>0\). \[M(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - {\scriptstyle x^2\over\scriptstyle c^2}}} \left(\begin{array}{cc} 1 & \dfrac xc \\ \dfrac xc & 1 \end{array}\right) \;;\; x \in ]-c;c[.\] Démontrer que cet ensemble de matrices est un sous-groupe. (de quoi ?)



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Exercice 374
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:48

On pose \(\varphi =\)argth\(\left( {\scriptstyle x\over\scriptstyle c} \right)\); Soit \(x = c.\)th\(\varphi\). Or \(1 -\) th\(^2\varphi = \dfrac{1}{\textrm{ch}^2\varphi}\). Donc \(\dfrac{1}{\sqrt{1 - {\scriptstyle x^2\over\scriptstyle c^2}}} = \textrm{ch}\varphi\), et \(\dfrac{{\scriptstyle x\over\scriptstyle c}}{\sqrt{1 - {\scriptstyle x^2\over\scriptstyle c^2}}} = \textrm{sh}\varphi\). Donc \(M(x) = \left(\begin{array}{cc} \textrm{ch}\varphi & \textrm{sh}\varphi\\ \textrm{sh}\varphi & \textrm{ch}\varphi \end{array} \right)\). En posant \(\vartheta =\)argth\(\left( {\scriptstyle y\over\scriptstyle c} \right)\),
on a \(M(x).M(y) = \left(\begin{array}{cc} \textrm{ch}(\varphi+\vartheta) & \textrm{sh}(\varphi+\vartheta)\\ \textrm{sh}(\varphi+\vartheta) & \textrm{ch}(\varphi+\vartheta) \end{array} \right)\). On obtient bien un sous-groupe du groupe des matrices inversibles. On l’appelle le groupe de Lorentz.


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Exercice 306
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:48

Soit \(M = \lambda A + \mu B\) et \(X = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). On a \(MX = 0\). Donc \(M\) n’est pas inversible.
Pour la suite, on a besoin de quelques calculs euphorisants : \(AB = BA = -(A+B);\; A^2 = B - 2A;\; B^2 = A - 2B\). On en déduit que \(V\) est stable par multiplication. On remarque ensuite que \((\lambda A + \mu B)(\lambda' A + \mu' B) = \left[ (\lambda - \mu)(\lambda' - \mu') - 3\lambda \lambda'\right] A + \left[ (\lambda - \mu)(\lambda' - \mu') - 3\mu \mu'\right] B\). On en déduit que la multiplication est commutative dans \(V\). On cherche l’élément neutre de \(V\) sous la forme \(\lambda' A + \mu' B\). On doit avoir \((\lambda A + \mu B)(\lambda' A + \mu' B) = \lambda A + \mu B\) pour tous \(\lambda\) et \(\mu\), donc en particulier lorsque \(\lambda-\mu = 0\), ce qui donne \(\lambda' = \mu' = -{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}\). On pose alors \(E = -{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}(A+B)\). Ensuite on vérifie que \(A(A+B)+3A = B(A+B)+3B = 0\) ce qui veut bien dire que \(AE = A\) et \(BE = B\). On en déduit par linéarité que \(E\) est élément neutre de \(V\) pour la multiplication.
Enfin \((A-B)^2 = A^2 + B^2 - 2AB = -(A+B) + 2(A+B) = -3E\). Donc en posant \(J = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sqrt 3} (A-B)\), on a \(J^2 = -E\).
Maintenant on a tout reconstitué : \((E,J)\) est une base de \(V\) et \(\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{C} & \longrightarrow & V \\ z=a+bi & \longmapsto & aE+bJ \end{array} \right.\) est un isomorphisme d’anneaux qui transporte la structure de corps de \(\mathbb{C}\) sur \(V\).


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Exercice 153
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:48
  1. Soit \(A =\Gamma _{\vartheta }.\Gamma _{\varphi}= (a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant 3}\). On a

    \(\begin{array}{lll} a_{1,1} & = & \cos^2 \vartheta.\cos^2 \varphi - \sin2\vartheta.\cos\varphi.\sin\varphi + \sin^2 \vartheta.\sin^2 \varphi\\ & = & \cos^2 \vartheta.\cos^2 \varphi - 2\sin\vartheta.\sin\varphi\cos\varphi.\sin\varphi + \sin^2 \vartheta.\sin^2 \varphi\\ & = & \left( \cos\vartheta.\cos\varphi - \sin\vartheta.\sin\varphi \right)^2 = \cos^2( \vartheta + \varphi). \end{array}\)

    \(\begin{array}{lll} a_{1,2} & = & -\cos^2 \vartheta.\sin2\varphi - \sin2\vartheta.\cos2\varphi + \sin^2 \vartheta.\sin2\varphi\\ & = & -\sin2\varphi.(\cos^2 \vartheta-\sin^2 \vartheta) - \sin2\vartheta.\cos2\varphi = -(\cos2\vartheta\sin2\varphi+\sin2\vartheta.\cos2\varphi) \\ & = & -\sin2(\vartheta+\varphi). \end{array}\)

    \(\begin{array}{lll} a_{1,3} & = & \cos^2 \vartheta.\sin^2 \varphi + \sin2\vartheta.\cos\varphi.\sin\varphi + \sin^2 \vartheta.\cos^2 \varphi\\ & = & \cos^2 \vartheta.\sin^2 \varphi + 2\sin\vartheta.\sin\varphi\cos\varphi.\sin\varphi + \sin^2 \vartheta.\cos^2 \varphi\\ & = & \left( \cos\vartheta.\sin\varphi + \sin\vartheta.\cos\varphi \right)^2 = \sin^2( \vartheta + \varphi). \end{array}\)

    \(\begin{array}{lll} a_{2,1} & = & \cos\vartheta.\sin\vartheta.\cos^2 \varphi + \cos2\vartheta.\cos\varphi.\sin\varphi -\sin\vartheta.\cos\vartheta\sin^2 \varphi\\ & = & \sin\vartheta.\cos\vartheta.(\cos^2 \varphi - \sin^2 \varphi)+ \cos2\vartheta.\cos\varphi.\sin\varphi\\ & = & {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}(\sin2\vartheta.\cos2\varphi + \cos2\vartheta.\sin2\varphi) = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\sin(2\vartheta+2\varphi)\\ & = & \sin(\vartheta+\varphi).\cos(\vartheta+\varphi). \end{array}\)

    \(\begin{array}{lll} a_{2,2} & = & -\cos\vartheta.\sin\vartheta.\sin2\varphi + \cos2\vartheta.\cos2\varphi -\sin\vartheta.\cos\vartheta\sin2\varphi\\ & = & \cos2\vartheta.\cos2\varphi -2\cos\vartheta.\sin\vartheta.\sin2\varphi = \cos2\vartheta.\cos2\varphi -\sin2\vartheta.\sin2\varphi\\ & = & \cos2(\vartheta+\varphi). \end{array}\)

    \(\begin{array}{lll} a_{2,3} & = & \cos\vartheta.\sin\vartheta.\sin^2 \varphi - \cos2\vartheta.\cos\varphi.\sin\varphi - \sin\vartheta.\cos\vartheta.\cos^2 \varphi\\ & = & -a_{2,1} = -\sin(\vartheta+\varphi).\cos(\vartheta+\varphi). \end{array}\)

    \(\begin{array}{lll} a_{3,1} & = & \sin^2 \vartheta.\cos^2 \varphi + \sin2\vartheta.\cos\varphi.\sin\varphi + \cos^2 \vartheta.\sin^2 \varphi\\ & = & a_{1,3} = \sin^2( \vartheta + \varphi). \end{array}\)

    \(\begin{array}{lll} a_{3,2} & = & -\sin^2 \vartheta.\sin2\varphi + \sin2\vartheta.\cos2\varphi + \cos^2 \vartheta.\sin2\varphi\\ & = & -a_{1,2} = \sin2(\vartheta+\varphi). \end{array}\)

    \(\begin{array}{lll} a_{3,3} & = & \sin^2 \vartheta.\sin^2\varphi - \sin2\vartheta.\sin\varphi.\cos\varphi + \cos^2 \vartheta.\cos^2\varphi\\ & = & a_{1,1} = \cos^2( \vartheta + \varphi). \end{array}\)

    Finalement \(\Gamma _{\vartheta }.\Gamma _{\varphi}=\Gamma _{\vartheta+\varphi}\). On a donc un morphisme de \(\mathbb R\) sur \(\Gamma\), qui fait donc de \(\Gamma\) un groupe.

  2. Un calcul avec la règle de Sarrus n’est jamais méprisable :
    \(\begin{array}{lll} \mathop{\rm det}\Gamma_{\vartheta } & = & \cos^2 \vartheta.\cos2\vartheta.\cos^2 \vartheta + \sin2\vartheta.\sin\vartheta.\cos\vartheta.\sin^2 \vartheta + \cos\vartheta.\sin\vartheta.\sin2\vartheta.\sin^2\vartheta \\ & & - \sin^2 \vartheta.\cos2\vartheta.\sin^2 \vartheta. + \sin2 \vartheta.\cos\vartheta.\sin\vartheta.\cos^2 \vartheta + \cos^2 \vartheta.\sin\vartheta.\cos\vartheta.\sin2\vartheta\\ & = & \cos^2 \vartheta.\cos2\vartheta.\cos^2 \vartheta + \sin2\vartheta.\sin\vartheta.\cos\vartheta + \cos\vartheta.\sin\vartheta.\sin2\vartheta - \sin^2 \vartheta.\cos2\vartheta.\sin^2 \vartheta\\ & = & \cos^2 \vartheta.\cos2\vartheta.\cos^2 \vartheta + 2.\sin2\vartheta.\sin\vartheta.\cos\vartheta - \sin^2 \vartheta.\cos2\vartheta.\sin^2 \vartheta\\ & = & \cos2\vartheta.(\cos^4\vartheta - \sin^4\vartheta) + \sin2\vartheta.\sin2\vartheta.\\ & = & \cos2\vartheta.(\cos^2\vartheta - \sin^2\vartheta).(\cos^2\vartheta + \sin^2\vartheta) + \sin2\vartheta.\sin2\vartheta.\\ & = & \cos2\vartheta.\cos2\vartheta + \sin2\vartheta.\sin2\vartheta = \cos^2(2\vartheta) + \sin^2(2\vartheta) = 1. \end{array}\).
    Si on utilise le fait que \(\Gamma = \{ \Gamma _{\vartheta }, \vartheta \in \mathbb R \}\) est un groupe, alors un argument plus savant permet d’aboutir au même résultat :
    Tous les éléments de \(\Gamma _{\vartheta }\) sont en valeur absolue inférieurs á \(1\). Donc \(\vert \mathop{\rm det}\Gamma _{\vartheta}\vert \leqslant \displaystyle\sum_{\sigma\in\mathfrak S_3} 1 \leqslant 6\).
    Or \(\vartheta \longrightarrow \mathop{\rm det}\Gamma_{\vartheta}\) est un morphisme de groupes. Son image est donc un sous-groupe borné de \(\mathbb R\). Il est donc inclus dans \(\{-1;1\}\). De plus, \(\vartheta \longrightarrow \mathop{\rm det}\Gamma_{\vartheta }\) est une application continue de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\), son image est donc un intervalle. C’est donc \(\{1\}\). Donc, \(\forall \vartheta \in \mathbb R\), \(\mathop{\rm det}\Gamma_{\vartheta } = 1\).


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Exercice 917
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:48
  1. \(F_1=Vect\left(\begin{pmatrix} 1&0&1 \\ 0&-1&0\\1&0&1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&-1&0\\1&0&1 \\0&-1&0 \end{pmatrix} \right)\)

  2. \(F_2=Vect\left(\begin{pmatrix} 2&0&1\\0&1&1 \\1&0&-1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&-1&0\\3&-1&0 \\0&1&0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0&1&0\\1&0&2 \\3&0&-1 \end{pmatrix} \right)\)


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Exercice 140
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:48
  1. L’application \(\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^2 & \longrightarrow & E \\ (a,b) & \longmapsto & \left(\begin{array}{cc} a+b & b \\ -b & a-b \end{array}\right) \end{array} \right.\) est linéaire, clairement surjective. Son noyau est réduit au vecteur nul. \(\varphi\) est donc bijective. Une base de \(E\) est donc, par exemple, \((\varphi(1,0),\varphi(0,1))\).

  2. \(\varphi(a,b).\varphi(a',b') = \left(\begin{array}{cc} a+b & b \\ -b & a-b \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} a'+b' & b' \\ -b' & a'-b' \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} aa'+ab'+ba' & ab'+ba' \\ -ba'-ab' & aa'-ab'-ba' \end{array}\right) \phantom{\varphi(a,b).\varphi(a',b')} = \varphi(aa',ab'+ba')\). \(E\) est donc stable par multiplication. Comme il contient \(I_2 = \varphi(1,0)\), c’est un sous-anneau de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{K}\right)\).

  3. Les éléments inversibles de \(E\) sont ceux pour lesquels \(a\neq0\). On a alors \(\varphi(a,b)^{-1} = \varphi\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle a}, -{\scriptstyle b\over\scriptstyle a^2}\right)\).

  4. En résolvant le système \(\left\lbrace \begin{array}{rcl} aa' &=& 0 \\ ab'+ba' &=& 0 \end{array}\right.\) On obtient par exemple \(a=0\) ce qui interdit \(b=0\) et implique \(a'=0\). Donc les diviseurs de zéro sont les \((\varphi(0,b).\varphi(0,b'))\) avec \(bb'\neq0\).


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Matrices magiques
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:48
  1. \(\mathscr M\) est l’intersection des noyaux de huit formes linéaires. C’est donc un sous-espace vectoriel de \(\mathfrak{M}_{3}\left(\mathbb{R}\right)\) comme intersection de sous-espaces vectoriels.

  2. C’est clair, les rôles des formes linéaires \(A\longmapsto \displaystyle{\sum_{i=1}^3 a_{ik}}\) et \(A\longmapsto \displaystyle{\sum_{i=1}^3 a_{ki}}\) étant échangés.

  3. Soit \(A\in \mathscr A\). On a \(a_{11} = a_{22} = a_{33} = 0\). En posant \(a = a_{13}\) on obtient \(A = \begin{pmatrix} 0 & -a & a \\ a & 0 & -a \\ -a & a & 0 \end{pmatrix}\) et
    \(\mathscr A = \left\lbrace \begin{pmatrix} 0 & -a & a \\ a & 0 & -a \\ -a & a & 0 \end{pmatrix}\; \mid a\in \mathbb{R} \right\rbrace\).
    Soit \(A\in \mathscr S\). En posant \(a = a_{13}\) on obtient \(a_{31} = a\) et \(a_{22} = -2a\). On pose \(b = a_{12}\) d’où \(a_{21} = b\), \(a_{11} = -a-b\), \(a_{33} = b+3a\), \(a_{23} = a_{32} = 2a-b\). La somme de la \(3^{\textrm{ème}}\) colonne donne \(6a=0\). Donc \(\mathscr S = \left\lbrace \begin{pmatrix} -b & b & 0 \\ b & 0 & -b \\ 0 & -b & b \end{pmatrix}\; \mid b\in \mathbb{R} \right\rbrace\).

  4. \(\mathfrak{M}_{3}\left(\mathbb{R}\right)\) est la somme directe de l’espace des matrices symétriques et de l’espace des matrices symétriques. Donc a fortiori \(\mathscr A\oplus \mathscr S=\mathscr M\). (\(A = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}(A+{A}^{\mathrm{T}}) + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}(A-{A}^{\mathrm{T}})\)).

  5. On en déduit que \(\mathscr M = \left\lbrace \begin{pmatrix} -b & b-a & a \\ a+b & 0 & -a-b \\ -a & a-b & b \end{pmatrix}\; \mid (a,b)\in \mathbb{R}^2 \right\rbrace\).


Extrait des petites Mines 2006 * Mines-Ponts

1 avril 2021 11:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

I-Étude de deux ensembles de matrices

Soit \(\left(x,y\right)\) un élément quelconque de \(\mathbb{R}^2\). On note \(M_{x,y}\) la matrice \[\begin{pmatrix} x-y & y\\ 2 & x+y \end{pmatrix}\] Soit \(\Sigma\) le sous-ensemble de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\) tel que \(\Sigma=\left\{M_{x,y}~|~\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\right\}\).

  1. Quelle relation doivent vérifier \(x\) et \(y\) pour que la matrice \(M_{x,y}\) ne soit pas inversible ? Calculer le produit \(M_{x,y}\times M_{-x,y}\). En déduire l’inverse de \(M_{x,y}\) lorsqu’il existe.

  2. \(\Sigma\) est-il un sous-espace vectoriel de \(\left(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right),+,.\right)\) ? On justifiera sa réponse.

    Soit \(A=\begin{pmatrix}0&0\\-2&0\end{pmatrix}\in\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\) et \(J=\left\{A+M_{x,y}~|~\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\right\}\).

  3. Montrer que \(J\) est un sous-espace vectoriel de \(\left(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right),+,.\right)\).

  4. Quelle est la dimension de \(J\) ? Déterminer une base de \(J\).

  5. Montrer que la loi \(\times\) est interne dans \(J\).

II - Étude d’une application de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\)

Soit \(B\) une matrice quelconque de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\). Soit \(\varphi_B\) l’application de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\) dans \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\) qui à la matrice \(X\) associe la matrice \(\varphi_B\left(X\right)=B\times X\).

  1. Montrer que \(\varphi_B\) est un endomorphisme de l’espace vectoriel \(\left(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right),+,.\right)\).

  2. On suppose dans cette question que \(B=M_{2,1}=\begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix}\).

    1. \(\varphi_B\) est elle surjective ? Bijective ?

    2. Déterminer la matrice de \(\varphi_B\) dans la base canonique de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\).
      On rappelle que la base canonique de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\) est constituée des matrices \(\left(E_{1,1},E_{1,2},E_{2,1},E_{2,2}\right)\)\[E_{1,1}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} \quad E_{1,2}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} \quad E_{2,1}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} \quad \textrm{ et} \quad E_{2,2}=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\]

  3. On prend dans cette question \(B=M_{0,-2}=\begin{pmatrix}2&-2\\2&-2\end{pmatrix}\). \(\varphi_B\) est-elle surjective ? Bijective ?



[ID: 1704] [Date de publication: 1 avril 2021 11:48] [Catégorie(s): Structure formée de matrices ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Extrait des petites Mines 2006
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:48

I.

  1. \(M_{x,y}\) n’est pas inversible lorsque \(x^2-y^2-2y = 0\). Dans les autres cas, \(M_{x,y}\) est inversible dans \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\), mais peut-être pas dans \(\Sigma\).
    \(M_{x,y}\times M_{-x,y} = (y^2-x^2+2y)I_2\). Donc, lorsque \(x^2-y^2-2y \neq 0\), \(M_{x,y}^{-1} = M\left( -{\scriptstyle x\over\scriptstyle y^2-x^2+2y}, {\scriptstyle y\over\scriptstyle y^2-x^2+2y}\right)\) qui appartient bien à \(\Sigma\).

  2. La matrice nulle n’appartient pas à \(\Sigma\). Donc \(\Sigma\) n’est pas un sous-espace vectoriel de \(\left(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right),+,.\right)\).

  3. L’application \(\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^2 & \longrightarrow & E \\ (x,y) & \longmapsto & A+M_{x,y} \end{array} \right.\) est linéaire, clairement surjective. Son noyau est réduit au vecteur nul. \(\varphi\) est donc bijective.

  4. Une base de \(E\) est donc, par exemple, \((\varphi(1,0),\varphi(0,1))\). \(J\) est de dimension \(2\).

  5. \(\varphi(x,y).\varphi(x',y') = \left(\begin{array}{cc} x-y & y \\ 0 & x+y \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} x'-y' & y' \\ 0 & x'+y' \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} xx'-xy'-yx'+yy' & xy'+yx' \\ 0 & xx'+xy'+yx'+yy' \end{array}\right)\)
    \(\phantom{\varphi(x,y).\varphi(x',y')} = \varphi(xx'+yy',xy'+yx')\). C’est bien dire que la loi \(\times\) est interne dans \(J\).

II.

  1. On a \(B(\lambda X+\mu Y) = \lambda BX+\mu BY\). De plus \(BX\in \mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\). \(\varphi_B\) est donc un endomorphisme de \(\left(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right),+,.\right)\).

    1. On a \(B^{-1} = \begin{pmatrix}3&-1\\-2&1\end{pmatrix}\). On a \(\varphi_{B^{-1}}\left(\varphi_B\left(X\right)\right) = B^{-1}.\varphi_B\left(X\right) = B^{-1}BX = X\). On a donc \(\varphi_{B^{-1}} = \left( \varphi_B\right)^{-1}\).

    2. On a \(BE_{1,1}=\begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\2&0\end{pmatrix} = E_{1,1} + 2 E_{2,1}\). On obtient ainsi la première colonne de la matrice de \(\varphi_B\) dans la base canonique de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\) : \(\begin{pmatrix}1\\0\\2\\0\end{pmatrix}\). On trouve de la même façon les autres colonnes : \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\2 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}\).

  2. Cette fois \(B\) n’est pas inversible. Puisqu’il n’est pas question d’obtenir une solution à \(\varphi_B\left(X\right) = I_2\), \(\varphi_B\) n’est pas surjective et donc pas bijective.


Exercice 773 **

1 avril 2021 11:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit une sous-algèbre \(\mathcal{A}\) de l’algèbre \(L(E)\). On suppose que \(\forall f \in L(E)\), \(f^2 \in \mathcal{A} \Rightarrow f \in \mathcal{A}\). Montrer que \(\mathcal{A} = L(E)\).



[ID: 1706] [Date de publication: 1 avril 2021 11:48] [Catégorie(s): Structure formée de matrices ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 773
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:48

Raisonnons de façon équivalente sur les matrices carrées. Supposons que \(\mathcal{A}\) soit une sous-algèbre de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\) vérifiant \(\forall M \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\), \(M^2 \in \mathcal{A} \Rightarrow M \in \mathcal{A}\). Il suffit de montrer que toute matrice \(E_{ij}\) de la base canonique appartient à \(\mathcal{A}\). Comme \(\mathcal{A}\) est une sous-algèbre de \(L(E)\), \(0_{L(E)} \in \mathcal{A}\). Or si \((i, j) \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]^2\), \(E_{ij}^2 = E_{ij}E_{ij} = \delta_{ij} E_{ij}\). Par conséquent, si \(i \neq j\), \(E_{ij}^2 \in \mathcal{A}\) et donc \(E_{ij} \in \mathcal{A}\). Soit maintenant \(i \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]\). Soit \(j \neq i\). On sait que \(E_{ij}, E_{ji} \in \mathcal{A}\) et comme \(\mathcal{A}\) est une sous-algèbre de \(L(E)\), le produit \(E_{ij}E_{ji} = E_{ii}\) est encore dans \(\mathcal{A}\). Comme \(\mathcal{A}\) contient toutes les matrices de la base canonique et que c’est un sous-espace vectoriel de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\), \(\mathcal{A} = \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\).


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