Soit l’ensemble \[{\mathcal{J}=\left\{ \left ( \begin{array}{ll} x&x\\ x&x \end{array} \right )\in \mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)~\mid~ x\in \mathbb{R}\setminus\left\{0\right\} \right\}.}\] Montrer que, muni de la multiplication usuelle des matrices, \(\mathcal{J}\) est un groupe abélien.
Soit \(J(x) = \begin{pmatrix} x & x \\ x & x \end{pmatrix}\) et \(J = J(1)\) . On a \(J^2 = 2J\) et \(J(x)J(y) = 2xyJ = J(2xy)\). On a donc la stabilité et la commutativité. On a aussi \(J(x)J({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}) = J(x)\) donc \(J({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2})\) est élément neutre et \(J(x)J(y) = J({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2})\) lorsque \(2xy = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\) soit \(y = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 4x}\). Tout élément admet bien un symétrique.
Pour la multiplication usuelles des matrices carrées, les ensembles suivants sont-ils des groupes : \[{ \textrm{ GL}(2,\mathbb{R})\cap\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{Z}\right),\quad \left\{M\in\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{Z}\right)~\mid~\mathop{\rm det}M=1\right\} \textrm{ ?} }\]
Le premier ensemble n’est pas un groupe car, par exemple, la matrice \(\begin{pmatrix}2&0\\0&2\\ \end{pmatrix}\) ne peut avoir pour inverse que \(\begin{pmatrix} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}&0\\0&{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\\ \end{pmatrix}\) qui n’appartient pas à l’ensemble.
Notons \(G = \{ M \in \mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{Z}\right) ~\mid~ \mathop{\rm det}M = 1 \}\) et montrons que \(G\) est un sous-groupe de \(GL_{2}\left(\mathbb{R}\right)\).
la matrice identité appartient à \(G\).
si \(A,B \in G\) alors \(AB \in \mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{Z}\right)\) et \(\mathop{\rm det}AB = \mathop{\rm det}A \times \mathop{\rm det}B = 1\times 1 =1\), et donc \(AB \in G\).
Si \(A = \begin{pmatrix} a&b\\c&d\\ \end{pmatrix}\) (\(a,b,c,d \in \mathbb{Z}\)) alors \({\scriptstyle 1\over\scriptstyle\mathop{\rm det}A}\begin{pmatrix} d&-b\\-c&a\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} d&-b\\-c&a\\ \end{pmatrix}\) appartient à \(G\) et est l’inverse de \(A\).
L’ensemble \(E=\left\{\left(\begin{smallmatrix} a&0\\0&0 \end{smallmatrix}\right) :a\in \mathbb{R}\setminus\left\{0\right\}\right\}\) muni de la loi de multiplication usuelle des matrices de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\) est-il un groupe ?
L’ensemble \(\mathcal{S}_2(\mathbb{R})\) des matrices symétriques réelles d’ordre \(2\) muni de la loi de multiplication usuelle des matrices de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\) est-il un groupe ?
Oui. \(\begin{pmatrix} a&0\\0&0\\ \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} b&0\\0&0\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ab&0\\0&0\\ \end{pmatrix}\). On a un groupe abélien.
Non. Le produit de deux matrices symétriques n’a aucune raison d’être symétrique : \(\begin{pmatrix} 1&1\\1&0\\ \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0&0\\0&1\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&1\\0&0\\ \end{pmatrix}\). La loi n’est pas interne.
L’ensemble des matrices \(\begin{pmatrix} a & c \cr b & d \cr \end{pmatrix}\) avec \(a,b,c,d\in {\mathbb{R}}\) tels que \(ad-bc\not = 0\) et \(a^2-b^2-c^2-d^2 \leqslant 1\) est il un sous-groupe de \(Gl_2({\mathbb{R}})\) ?
L’ensemble des matrices \(\begin{pmatrix} a & b \cr 0 & a^{-1} \cr \end{pmatrix}\) avec \(a\in {\mathbb{R}}^*\) et \(b\in {\mathbb{R}}\) est-il un sous-groupe de \(Gl_2({\mathbb{R}})\) ?
Existe-t-il une valeur \(M\in {\mathbb{R}}\) telle que l’ensemble des matrices \(\begin{pmatrix} a & c \cr b & d \cr \end{pmatrix}\) avec \(a,b,c,d\in {\mathbb{R}}\) tels que \(ad-bc\not = 0\) et \(a\leqslant M\) forme un sous-groupe de \(Gl_2({\mathbb{R}})\) ?
L’ensemble \(G\) des matrices \(\begin{pmatrix} a & c \cr b & d \cr \end{pmatrix}\) avec \(a,b,c,d\in {\mathbb{R}}\) tels que \(ad-bc\not = 0\) et \(a^2-b^2-c^2-d^2 \leqslant 1\) n’est pas un sous-groupe de \(Gl_2({\mathbb{R}})\). En effet les deux matrices \(\begin{pmatrix} 1 & 1\cr 0 & 1/2 \cr \end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \cr 1 & 1/2\cr \end{pmatrix}\) appartiennent à \(G\) et leur produit \(\begin{pmatrix} 2 & 1/2 \cr 1/2 & 1/4\cr \end{pmatrix}\) n’appartient pas à \(G\).
L’ensemble \(H\) des matrices \(\begin{pmatrix} a & b \cr 0 & a^{-1} \cr \end{pmatrix}\) avec \(a\in {\mathbb{R}}^*\) et \(b\in {\mathbb{R}}\) est un sous-groupe de \(Gl_2({\mathbb{R}})\). En effet,
\(\bullet\) \(I_2\) élément neutre de \(Gl_2({\mathbb{R}})\) appartient à \(H\).
\(\bullet\) Soient \(M=\begin{pmatrix} a & b \cr 0 & a^{-1} \cr \end{pmatrix}\) et \(M'=\begin{pmatrix} c & d \cr 0 & c^{-1} \cr \end{pmatrix}\) deux éléments de \(H\) alors \(MM'=\begin{pmatrix} ac & ad+bc^{-1} \cr 0 & (ac)^{-1} \cr \end{pmatrix}\) donc le produit de deux éléments de \(H\) appartient à \(H\).
\(\bullet\) Soit \(M=\begin{pmatrix} a & b \cr 0 & a^{-1} \cr \end{pmatrix}\). Alors \(M^{-1} =\begin{pmatrix} a^{-1} &- b \cr 0 & a \cr \end{pmatrix}\) appartient à \(H\).
Soit \(K_M\) l’ensemble des matrices \(\begin{pmatrix} a & c \cr b & d \cr \end{pmatrix}\) avec \(a,b,c,d\in {\mathbb{R}}\) tels que \(ad-bc\not = 0\) et \(a\leqslant M\). Nous allons montrer, en raisonnant par l’absurde, qu’il n’existe pas de valeur \(M\in {\mathbb{R}}\) telle que \(K_M\) forme un sous-groupe de \(Gl_2({\mathbb{R}})\).
Soit \(M\in {\mathbb{R}}\) tel que \(K_M\) forme un sous-groupe de \(Gl_2({\mathbb{R}})\). Alors \(I_2\) appartient à \(K_M\) donc \(M\geqslant 1\). Ainsi, les matrices \(A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \cr 0 & 1 \cr \end{pmatrix}\) et, pour tout \(n\in {\mathbb{N}}\), \(A_n=\begin{pmatrix} 1 & 1 \cr n & 1 \cr \end{pmatrix}\) appartiennent à \(K_n\) donc le produit \(AA_n=\begin{pmatrix} 1+n & 2 \cr n & 1 \cr \end{pmatrix}\) appartient à \(K_n\). En conséquence, pour tout \(n\in {\mathbb{N}}\), on a : \(1+n\leqslant M\), ce qui est absurde.
Soient les ensembles \[{L=\left\{ \left ( \begin{array}{ll} x&0\\ 0&0 \end{array} \right )\in \mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)~\mid~ x\in \mathbb{R} \right\}\textrm{ et } M=\left\{ \left ( \begin{array}{ll} x&x\\ -x&-x \end{array} \right )\in \mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)~\mid~x\in \mathbb{R} \right\}}.\]
Étudier si, munis des lois usuelles, \(L\) et \(M\) sont des anneaux, des corps.
Soit \(A(x) = \left ( \begin{array}{ll} x&0\\ 0&0 \end{array} \right )\). On a \(A(x)+A(y)=A(x+y)\) et \(A(x)+A(y)=A(x+y)\). On vérifie ainsi que \(M\) est un anneau et même un corps. De fait, \(A~: x\in\mathbb{R} \longmapsto A(x)\) est un morphisme d’anneaux.
Soit la matrice \(A=\begin{pmatrix} 1&1 \\ -1&1 \end{pmatrix}\). On note \(\mathcal{C}\) l’ensemble des matrices qui commutent avec \(A\).
\(\mathcal{C}\) est le noyau de \(f_A : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathfrak{M}_{2}(\mathbb{\mathbb{R} }) & \longrightarrow & \mathfrak{M}_{2}(\mathbb{\mathbb{R} }) \\ X & \longmapsto & AX - XA \end{array} \right.\) et en tant que tel est un sous-espace vectoriel de \(\mathfrak{M}_{2}(\mathbb{R})\). On a clairement \(A\in\mathcal{C}\) et \(I_2\in\mathcal{C}\). Remarquons aussi que les matrices de \(\mathcal{C}\) commutent aussi avec \(S = A - I_2 = \begin{pmatrix} 0&1 \\ -1&0 \end{pmatrix}\). Soit \(M = \begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix}\in\mathcal{C}\), on a \(SM = \begin{pmatrix} c&d \\ -a&-b \end{pmatrix}\) et \(MS = \begin{pmatrix} -b&a \\ -d&c \end{pmatrix}\). On a donc \(-b=c\) et \(a=d\). Donc \(\mathcal{C}\) est bien le sous-espace vectoriel de \(\mathfrak{M}_{2}(\mathbb{R})\) engendré par \(A\) et \(I_2\) (ou par \(S\) et \(I_2\).)
Posons : \[I=\left(\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array}\right) \quad \textrm{ et} \quad J=\left(\begin{array}{cc} 0&-1\\ 1&0 \end{array}\right)\] et \(E=\left\{xI+yJ ~|~ \left(x,y\right)\in \mathbb{R}^2\right\}\). Vérifier que \(J^2=-I\) et montrer que l’application \(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{C} & \longrightarrow & E \\ x+iy & \longmapsto & xI+yJ \end{array} \right.\) est un isomorphisme de corps.
\(\theta\) est linéaire, et \(\theta(x+iy)=xI+yJ=0\) n’est vérifié que pour \(x=y=0\). \(\theta\) est donc un isomorphisme linéaire entre \(E\) et \(\mathbb{C}\).
Soit \(c>0\). \[M(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - {\scriptstyle x^2\over\scriptstyle c^2}}} \left(\begin{array}{cc} 1 & \dfrac xc \\ \dfrac xc & 1 \end{array}\right) \;;\; x \in ]-c;c[.\] Démontrer que cet ensemble de matrices est un sous-groupe. (de quoi ?)
On pose \(\varphi =\)argth\(\left( {\scriptstyle x\over\scriptstyle c} \right)\); Soit \(x = c.\)th\(\varphi\). Or \(1 -\) th\(^2\varphi = \dfrac{1}{\textrm{ch}^2\varphi}\). Donc \(\dfrac{1}{\sqrt{1 - {\scriptstyle x^2\over\scriptstyle c^2}}} = \textrm{ch}\varphi\), et \(\dfrac{{\scriptstyle x\over\scriptstyle c}}{\sqrt{1 - {\scriptstyle x^2\over\scriptstyle c^2}}} = \textrm{sh}\varphi\). Donc \(M(x) = \left(\begin{array}{cc} \textrm{ch}\varphi & \textrm{sh}\varphi\\ \textrm{sh}\varphi & \textrm{ch}\varphi \end{array} \right)\). En posant \(\vartheta =\)argth\(\left( {\scriptstyle y\over\scriptstyle c} \right)\),
On considère le sous-espace vectoriel \(V\) de \(\mathfrak{M}_{3}(\mathbb{\mathbb{R} })\) engendré par les matrices \[A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1\end{pmatrix} \quad\textrm{ et } \quad B = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}\] Montrez qu’aucun élément de \(V\) n’est inversible. Montrez que \((V, +, \times)\) est un corps isomorphe à \(\mathbb{C}\).
Soit \(M = \lambda A + \mu B\) et \(X = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). On a \(MX = 0\). Donc \(M\) n’est pas inversible.
Pour tout \(\forall \vartheta \in \mathbb R\), on pose \(\Gamma _{\vartheta }= \left(\begin{array}{ccc} \cos^{2}\vartheta &-\sin2\vartheta &\sin^{2}\vartheta \\ \cos\vartheta .\sin\vartheta &\cos2\vartheta &-\sin\vartheta .\cos\vartheta \\ \sin^{2}\vartheta &\sin2\vartheta &\cos^{2}\vartheta \end{array}\right)\)
Démontrer que \(\Gamma = \{ \Gamma _{\vartheta }, \vartheta \in \mathbb R \}\) est un groupe.
Calculer \(\mathop{\rm det}\Gamma _{\vartheta }\).
Soit \(A =\Gamma _{\vartheta }.\Gamma _{\varphi}= (a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant 3}\). On a
\(\begin{array}{lll} a_{1,1} & = & \cos^2 \vartheta.\cos^2 \varphi - \sin2\vartheta.\cos\varphi.\sin\varphi + \sin^2 \vartheta.\sin^2 \varphi\\ & = & \cos^2 \vartheta.\cos^2 \varphi - 2\sin\vartheta.\sin\varphi\cos\varphi.\sin\varphi + \sin^2 \vartheta.\sin^2 \varphi\\ & = & \left( \cos\vartheta.\cos\varphi - \sin\vartheta.\sin\varphi \right)^2 = \cos^2( \vartheta + \varphi). \end{array}\)
\(\begin{array}{lll} a_{1,2} & = & -\cos^2 \vartheta.\sin2\varphi - \sin2\vartheta.\cos2\varphi + \sin^2 \vartheta.\sin2\varphi\\ & = & -\sin2\varphi.(\cos^2 \vartheta-\sin^2 \vartheta) - \sin2\vartheta.\cos2\varphi = -(\cos2\vartheta\sin2\varphi+\sin2\vartheta.\cos2\varphi) \\ & = & -\sin2(\vartheta+\varphi). \end{array}\)
\(\begin{array}{lll} a_{1,3} & = & \cos^2 \vartheta.\sin^2 \varphi + \sin2\vartheta.\cos\varphi.\sin\varphi + \sin^2 \vartheta.\cos^2 \varphi\\ & = & \cos^2 \vartheta.\sin^2 \varphi + 2\sin\vartheta.\sin\varphi\cos\varphi.\sin\varphi + \sin^2 \vartheta.\cos^2 \varphi\\ & = & \left( \cos\vartheta.\sin\varphi + \sin\vartheta.\cos\varphi \right)^2 = \sin^2( \vartheta + \varphi). \end{array}\)
\(\begin{array}{lll} a_{2,1} & = & \cos\vartheta.\sin\vartheta.\cos^2 \varphi + \cos2\vartheta.\cos\varphi.\sin\varphi -\sin\vartheta.\cos\vartheta\sin^2 \varphi\\ & = & \sin\vartheta.\cos\vartheta.(\cos^2 \varphi - \sin^2 \varphi)+ \cos2\vartheta.\cos\varphi.\sin\varphi\\ & = & {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}(\sin2\vartheta.\cos2\varphi + \cos2\vartheta.\sin2\varphi) = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\sin(2\vartheta+2\varphi)\\ & = & \sin(\vartheta+\varphi).\cos(\vartheta+\varphi). \end{array}\)
\(\begin{array}{lll} a_{2,2} & = & -\cos\vartheta.\sin\vartheta.\sin2\varphi + \cos2\vartheta.\cos2\varphi -\sin\vartheta.\cos\vartheta\sin2\varphi\\ & = & \cos2\vartheta.\cos2\varphi -2\cos\vartheta.\sin\vartheta.\sin2\varphi = \cos2\vartheta.\cos2\varphi -\sin2\vartheta.\sin2\varphi\\ & = & \cos2(\vartheta+\varphi). \end{array}\)
\(\begin{array}{lll} a_{2,3} & = & \cos\vartheta.\sin\vartheta.\sin^2 \varphi - \cos2\vartheta.\cos\varphi.\sin\varphi - \sin\vartheta.\cos\vartheta.\cos^2 \varphi\\ & = & -a_{2,1} = -\sin(\vartheta+\varphi).\cos(\vartheta+\varphi). \end{array}\)
\(\begin{array}{lll} a_{3,1} & = & \sin^2 \vartheta.\cos^2 \varphi + \sin2\vartheta.\cos\varphi.\sin\varphi + \cos^2 \vartheta.\sin^2 \varphi\\ & = & a_{1,3} = \sin^2( \vartheta + \varphi). \end{array}\)
\(\begin{array}{lll} a_{3,2} & = & -\sin^2 \vartheta.\sin2\varphi + \sin2\vartheta.\cos2\varphi + \cos^2 \vartheta.\sin2\varphi\\ & = & -a_{1,2} = \sin2(\vartheta+\varphi). \end{array}\)
\(\begin{array}{lll} a_{3,3} & = & \sin^2 \vartheta.\sin^2\varphi - \sin2\vartheta.\sin\varphi.\cos\varphi + \cos^2 \vartheta.\cos^2\varphi\\ & = & a_{1,1} = \cos^2( \vartheta + \varphi). \end{array}\)
Finalement \(\Gamma _{\vartheta }.\Gamma _{\varphi}=\Gamma _{\vartheta+\varphi}\). On a donc un morphisme de \(\mathbb R\) sur \(\Gamma\), qui fait donc de \(\Gamma\) un groupe.
Un calcul avec la règle de Sarrus n’est jamais méprisable :
Pour chacun des sous-ensembles suivants :
Montrer que c’est un sous-espace vectoriel de \(E=\mathfrak{M}_{3}\left(\mathbb{R}\right)\).
En donner une base et la dimension.
\[F_1=\left\{\left(\begin{array}{ccc} a&-b&a\\ b&-a&b\\ a&-b&a \end{array}\right) ~|~ a,b\in \mathbb{R}\right\} \quad \textrm{ et} \quad F_2=\left\{\left(\begin{array}{ccc} 2a&c-b&a\\ 3b+c&a-b&a+2c\\ a+3c&b&-a-c \end{array}\right) ~|~ a,b,c\in \mathbb{R}\right\}\]
\(F_1=Vect\left(\begin{pmatrix} 1&0&1 \\ 0&-1&0\\1&0&1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&-1&0\\1&0&1 \\0&-1&0 \end{pmatrix} \right)\)
\(F_2=Vect\left(\begin{pmatrix} 2&0&1\\0&1&1 \\1&0&-1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&-1&0\\3&-1&0 \\0&1&0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0&1&0\\1&0&2 \\3&0&-1 \end{pmatrix} \right)\)
Soit \(E\) l’ensemble des matrices de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{K}\right)\) de la forme : \(A=\left(\begin{array}{cc} a+b & b \\ -b & a-b \end{array}\right)\) avec \(\left(a,b\right)\in\mathbb{K}^2\).
Montrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{K}\right)\). Donner une base de \(E\).
Montrer que \(E\) est un sous-anneau commutatif de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{K}\right)\).
Déterminer les éléments inversibles de \(E\).
Déterminer les diviseurs de zéro de \(E\).
L’application \(\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^2 & \longrightarrow & E \\ (a,b) & \longmapsto & \left(\begin{array}{cc} a+b & b \\ -b & a-b \end{array}\right) \end{array} \right.\) est linéaire, clairement surjective. Son noyau est réduit au vecteur nul. \(\varphi\) est donc bijective. Une base de \(E\) est donc, par exemple, \((\varphi(1,0),\varphi(0,1))\).
\(\varphi(a,b).\varphi(a',b') = \left(\begin{array}{cc} a+b & b \\ -b & a-b \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} a'+b' & b' \\ -b' & a'-b' \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} aa'+ab'+ba' & ab'+ba' \\ -ba'-ab' & aa'-ab'-ba' \end{array}\right) \phantom{\varphi(a,b).\varphi(a',b')} = \varphi(aa',ab'+ba')\). \(E\) est donc stable par multiplication. Comme il contient \(I_2 = \varphi(1,0)\), c’est un sous-anneau de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{K}\right)\).
Les éléments inversibles de \(E\) sont ceux pour lesquels \(a\neq0\). On a alors \(\varphi(a,b)^{-1} = \varphi\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle a}, -{\scriptstyle b\over\scriptstyle a^2}\right)\).
En résolvant le système \(\left\lbrace \begin{array}{rcl} aa' &=& 0 \\ ab'+ba' &=& 0 \end{array}\right.\) On obtient par exemple \(a=0\) ce qui interdit \(b=0\) et implique \(a'=0\). Donc les diviseurs de zéro sont les \((\varphi(0,b).\varphi(0,b'))\) avec \(bb'\neq0\).
Une matrice \(A=\left(a_{i,j}\right)\) de \(\mathfrak{M}_{3}\left(\mathbb{R}\right)\) est dite magique si elles vérifie les \(4\) conditions suivantes :
Pour tout \(j\in\left\{1,2,3\right\}\), on a : \(\displaystyle{\sum_{i=1}^3 a_{ij}=0}\).
Pour tout \(i\in\left\{1,2,3\right\}\), on a : \(\displaystyle{\sum_{j=1}^3 a_{ij}=0}\).
On a : \(\displaystyle{\sum_{i=1}^3 a_{ii}=0}\).
\(a_{13}+a_{22}+a_{31}=0\).
On notera \(\mathscr M\) l’ensemble des matrices magiques.
Montrer que l’ensemble des matrices magiques possède une structure de \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel.
Montrer que si \(M\in \mathscr M\) alors \({M}^{\mathrm{T}}\in \mathscr M\).
Caractériser les matrices magiques antisymétriques et les matrices symétriques. On notera \(\mathscr A\) l’ensemble des matrices magiques antisymétriques et \(\mathscr S\) l’ensemble des matrices magiques symétriques.
Prouver que \(\mathscr A\oplus \mathscr S=\mathscr M\).
Interpréter le résultat obtenu.
\(\mathscr M\) est l’intersection des noyaux de huit formes linéaires. C’est donc un sous-espace vectoriel de \(\mathfrak{M}_{3}\left(\mathbb{R}\right)\) comme intersection de sous-espaces vectoriels.
C’est clair, les rôles des formes linéaires \(A\longmapsto \displaystyle{\sum_{i=1}^3 a_{ik}}\) et \(A\longmapsto \displaystyle{\sum_{i=1}^3 a_{ki}}\) étant échangés.
Soit \(A\in \mathscr A\). On a \(a_{11} = a_{22} = a_{33} = 0\). En posant \(a = a_{13}\) on obtient \(A = \begin{pmatrix} 0 & -a & a \\ a & 0 & -a \\ -a & a & 0 \end{pmatrix}\) et
\(\mathfrak{M}_{3}\left(\mathbb{R}\right)\) est la somme directe de l’espace des matrices symétriques et de l’espace des matrices symétriques. Donc a fortiori \(\mathscr A\oplus \mathscr S=\mathscr M\). (\(A = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}(A+{A}^{\mathrm{T}}) + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}(A-{A}^{\mathrm{T}})\)).
On en déduit que \(\mathscr M = \left\lbrace \begin{pmatrix} -b & b-a & a \\ a+b & 0 & -a-b \\ -a & a-b & b \end{pmatrix}\; \mid (a,b)\in \mathbb{R}^2 \right\rbrace\).
I-Étude de deux ensembles de matrices
Soit \(\left(x,y\right)\) un élément quelconque de \(\mathbb{R}^2\). On note \(M_{x,y}\) la matrice \[\begin{pmatrix} x-y & y\\ 2 & x+y \end{pmatrix}\] Soit \(\Sigma\) le sous-ensemble de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\) tel que \(\Sigma=\left\{M_{x,y}~|~\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\right\}\).
Quelle relation doivent vérifier \(x\) et \(y\) pour que la matrice \(M_{x,y}\) ne soit pas inversible ? Calculer le produit \(M_{x,y}\times M_{-x,y}\). En déduire l’inverse de \(M_{x,y}\) lorsqu’il existe.
\(\Sigma\) est-il un sous-espace vectoriel de \(\left(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right),+,.\right)\) ? On justifiera sa réponse.
Soit \(A=\begin{pmatrix}0&0\\-2&0\end{pmatrix}\in\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\) et \(J=\left\{A+M_{x,y}~|~\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\right\}\).
Montrer que \(J\) est un sous-espace vectoriel de \(\left(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right),+,.\right)\).
Quelle est la dimension de \(J\) ? Déterminer une base de \(J\).
Montrer que la loi \(\times\) est interne dans \(J\).
II - Étude d’une application de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\)
Soit \(B\) une matrice quelconque de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\). Soit \(\varphi_B\) l’application de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\) dans \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\) qui à la matrice \(X\) associe la matrice \(\varphi_B\left(X\right)=B\times X\).
Montrer que \(\varphi_B\) est un endomorphisme de l’espace vectoriel \(\left(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right),+,.\right)\).
On suppose dans cette question que \(B=M_{2,1}=\begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix}\).
\(\varphi_B\) est elle surjective ? Bijective ?
Déterminer la matrice de \(\varphi_B\) dans la base canonique de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\).
On prend dans cette question \(B=M_{0,-2}=\begin{pmatrix}2&-2\\2&-2\end{pmatrix}\). \(\varphi_B\) est-elle surjective ? Bijective ?
I.
\(M_{x,y}\) n’est pas inversible lorsque \(x^2-y^2-2y = 0\). Dans les autres cas, \(M_{x,y}\) est inversible dans \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\), mais peut-être pas dans \(\Sigma\).
La matrice nulle n’appartient pas à \(\Sigma\). Donc \(\Sigma\) n’est pas un sous-espace vectoriel de \(\left(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right),+,.\right)\).
L’application \(\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^2 & \longrightarrow & E \\ (x,y) & \longmapsto & A+M_{x,y} \end{array} \right.\) est linéaire, clairement surjective. Son noyau est réduit au vecteur nul. \(\varphi\) est donc bijective.
Une base de \(E\) est donc, par exemple, \((\varphi(1,0),\varphi(0,1))\). \(J\) est de dimension \(2\).
\(\varphi(x,y).\varphi(x',y') = \left(\begin{array}{cc} x-y & y \\ 0 & x+y \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} x'-y' & y' \\ 0 & x'+y' \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} xx'-xy'-yx'+yy' & xy'+yx' \\ 0 & xx'+xy'+yx'+yy' \end{array}\right)\)
II.
On a \(B(\lambda X+\mu Y) = \lambda BX+\mu BY\). De plus \(BX\in \mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\). \(\varphi_B\) est donc un endomorphisme de \(\left(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right),+,.\right)\).
On a \(B^{-1} = \begin{pmatrix}3&-1\\-2&1\end{pmatrix}\). On a \(\varphi_{B^{-1}}\left(\varphi_B\left(X\right)\right) = B^{-1}.\varphi_B\left(X\right) = B^{-1}BX = X\). On a donc \(\varphi_{B^{-1}} = \left( \varphi_B\right)^{-1}\).
On a \(BE_{1,1}=\begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\2&0\end{pmatrix} = E_{1,1} + 2 E_{2,1}\). On obtient ainsi la première colonne de la matrice de \(\varphi_B\) dans la base canonique de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\) : \(\begin{pmatrix}1\\0\\2\\0\end{pmatrix}\). On trouve de la même façon les autres colonnes : \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\2 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}\).
Cette fois \(B\) n’est pas inversible. Puisqu’il n’est pas question d’obtenir une solution à \(\varphi_B\left(X\right) = I_2\), \(\varphi_B\) n’est pas surjective et donc pas bijective.
Soit une sous-algèbre \(\mathcal{A}\) de l’algèbre \(L(E)\). On suppose que \(\forall f \in L(E)\), \(f^2 \in \mathcal{A} \Rightarrow f \in \mathcal{A}\). Montrer que \(\mathcal{A} = L(E)\).
Raisonnons de façon équivalente sur les matrices carrées. Supposons que \(\mathcal{A}\) soit une sous-algèbre de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\) vérifiant \(\forall M \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\), \(M^2 \in \mathcal{A} \Rightarrow M \in \mathcal{A}\). Il suffit de montrer que toute matrice \(E_{ij}\) de la base canonique appartient à \(\mathcal{A}\). Comme \(\mathcal{A}\) est une sous-algèbre de \(L(E)\), \(0_{L(E)} \in \mathcal{A}\). Or si \((i, j) \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]^2\), \(E_{ij}^2 = E_{ij}E_{ij} = \delta_{ij} E_{ij}\). Par conséquent, si \(i \neq j\), \(E_{ij}^2 \in \mathcal{A}\) et donc \(E_{ij} \in \mathcal{A}\). Soit maintenant \(i \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]\). Soit \(j \neq i\). On sait que \(E_{ij}, E_{ji} \in \mathcal{A}\) et comme \(\mathcal{A}\) est une sous-algèbre de \(L(E)\), le produit \(E_{ij}E_{ji} = E_{ii}\) est encore dans \(\mathcal{A}\). Comme \(\mathcal{A}\) contient toutes les matrices de la base canonique et que c’est un sous-espace vectoriel de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\), \(\mathcal{A} = \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\).
Soit \(M = (a_{ij}) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\). On dit que \(M\) est en damier si \(a_{ij} = 0\) pour \(j-i\) impair. On note \(\mathcal D\) l’ensemble des matrices \(n\times n\) en damier. Montrer que \(\mathcal D\) est une sous-algèbre de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\). Quelle est sa dimension ?
On note \(U = \begin{pmatrix}1 &\dots&1 \\ \vdots & &\vdots \\ 1 &\dots&1\end{pmatrix} \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) et \(\mathcal A = \{ aU + bI \text{ tq }a,b \in \mathbb{R}\}\) pour \(n \geq 2\).
Montrer que \(\mathcal A\) est une sous algèbre commutative de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\).
Soit \(M = aU+bI \in \mathcal A\). Montrer que \(M\) possède un inverse dans \(\mathcal A\) si et seulement si \(b(b+na) \neq 0\), et le cas échéant, donner \(M^{-1}\).
Montrer que si \(b(b+na) = 0\), alors \(M\) n’est pas inversible dans \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\).
Trouver les matrices \(M \in \mathcal A\) vérifiant : \(M^n = I\).
\(M^{-1} = \dfrac {-a}{b(na+b)}U + \dfrac 1bI\).
\(M^n = \dfrac {(na+b)^n -b^n }nU + b^n I\). Si \(n\) est pair, \(M^n =I \Leftrightarrow M=I\) ou \(M=\pm (I-\frac2nU)\). Si \(n\) est impair, \(M^n =I \Leftrightarrow M=I\).
On suppose \(\mathop{\rm car}\nolimits(\mathbb{K})\neq 2\) et on note \((E_{ij})\) la base canonique de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\).
Montrer que \(F_{ij} = I + E_{ij}\) est inversible.
En déduire que \(\mathop{\rm vect}\nolimits(GL_n(\mathbb{K})) = \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\).
Quel est le centre de \(GL_n(\mathbb{K})\) ?
Soit \(f \in \mathcal L (E)\) ayant même matrice dans toutes les bases de \(E\). Montrer que \(f\) est une homothétie.
On note \(\mathcal G = \{ A = (a_{ij}) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) tq \(a_{ij} = 0\) si \(i>j\) et \(a_{ii} = 1\}\).
Montrer que \(\mathcal G\) est un sous-groupe de \(GL_n(\mathbb{K})\).
En utilisant la base canonique de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\), déterminer le centre de \(\mathcal G\) et montrer que c’est un groupe commutatif isomorphe à \((\mathbb{K},+)\).
Pour \(i<j\), on doit avoir \(M(I+E_{ij}) = (I+E_{ij})M\) donc \(a_{ki} = 0\) si \(k \neq i\) et \(a_{jk} = 0\) si \(k \neq j\). On obtient \(M = \begin{pmatrix}1 &0 &\dots&0 &* \\ &\ddots &\ddots & &0 \\ & &\ddots &\ddots &\vdots \\ &0 & &\ddots &0 \\ & & & &1 \\\end{pmatrix}\).
Soit \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) et \(\mathcal C _A = \{ M \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}}) \text{ tq }AM = MA\}\) (commutant de \(A\)).
Montrer que \(\mathcal C _A\) est une sous-algèbre de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\).
Soit \(A = \mathop{\rm diag}\nolimits(\lambda _{1}, \lambda _{2},\dots, \lambda _n)\) une matrice diagonale dont tous les \(\lambda _i\) sont distincts.
Chercher \(\mathcal C _A\).
On suppose \(\mathop{\rm card}\nolimits(\mathbb{K})\geq n\). Soit \(\varphi : \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}}) \rightarrow \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}}) , M \mapsto MA-AM.\) Montrer que \(\mathop{\rm Im}\nolimits\varphi\) est l’ensemble des matrices à diagonale nulle.
Une matrice carrée \(M\) est dite magique si les sommes des coefficients de \(M\) par ligne et par colonne sont constantes. On note \(s(M)\) leur valeur commune.
Soit \(U = \begin{pmatrix}1 &\dots&1 \\ \vdots & &\vdots \\ 1 &\dots&1 \\\end{pmatrix}\) et \(\mathcal M = \{\)matrices \(n\times n\) magiques\(\}\).
Montrer que \(\mathcal M\) est une sous-algèbre de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) et \(s:\mathcal M \to \mathbb{K}\) est un morphisme d’algèbre (calculer \(MU\) et \(UM\)).
Si \(M\) est magique inversible, montrer que \(M^{-1}\) est aussi magique.
Montrer que si \(\mathop{\rm car}\nolimits(\mathbb{K})\neq 2\), \(\mathcal M\) est la somme directe du sev des matrices magiques symétriques et du sev des matrices magiques antisymétriques.
Pour \(M \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\), on note \(\varphi _M\) l’endomorphisme de \(\mathbb{K}^n\) canoniquement associé à \(M\).
Soit \(\mathcal H = \{ (x_{1},\dots,x_n) \in \mathbb{K}^n \text{ tq }x_{1} +\dots+ x_n = 0\}\) et \(\mathcal K = \{ (x,\dots,x) \in \mathbb{K}^n \}\).
Montrer que : \(M \in \mathcal M \Leftrightarrow \mathcal H\) et \(\mathcal K\) sont stables par \(\varphi _M\).
En déduire dim(\(\mathcal M\)).
Montrer que \(\mathcal C = \left\{ M = \begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix} \in \mathcal M _2(\mathbb{R}) \right\}\) est un corps isomorphe à \(\mathbb{C}\).
Montrer que \(\mathcal H = \left\{ M = \begin{pmatrix}a&b\\-\bar b&\bar a\end{pmatrix} \in \mathcal M _2(\mathbb{C}) \right\}\) est un anneau non commutatif où tout élément non nul est inversible.
Soit \(\mathcal G \subset \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) tel que pour la multiplication, \(\mathcal G\) soit un groupe. On note \(J\) l’élément neutre et pour \(M \in \mathcal G\), \(\varphi _M\) l’endomorphisme de \(\mathbb{K}^n\) canoniquement associé à \(M\).
Montrer que \(\varphi _J\) est une projection.
Montrer que : \(\forall M \in \mathcal G\), \(\varphi _{M|\mathop{\rm Ker}\nolimits\varphi _J} = 0\) et \(\varphi _{M|\mathop{\rm Im}\nolimits\varphi _J}\) est un isomorphisme de \(\mathop{\rm Im}\nolimits\varphi _J\).
On note \(k=\mathop{\rm rg}\nolimits(J)\). Montrer que \(\mathcal G\) est isomorphe à un sous-groupe de \(GL_k(\mathbb{K})\).
\(J^2 = J\).
\(JM = MJ\).
Une partie \(\mathcal I \subset \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) est appelée idéal à droite de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) si c’est un sous-groupe additif vérifiant : \[\forall A \in \mathcal I ,\ \forall B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}}) ,\ AB \in \mathcal I .\]
Pour \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\), on note \(\mathcal H_A\) le sev de \(\mathcal M _{n,1}(\mathbb{K})\) engendré par les colonnes de \(A\), et \(\mathcal I _A\) l’idéal à droite engendré par \(A\) : \(\mathcal I _A = \{ AM \text{ tq }M \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}}) \}\).
Soient \(A,M \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\). Montrer que : \(M \in \mathcal I _A \Leftrightarrow \mathcal H_M \subset \mathcal H_A\).
Soient \(A,B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\). Montrer qu’il existe \(C \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) telle que \(\mathcal H_A + \mathcal H_B = \mathcal H_C\). Simplifier alors \(\mathcal I _A + \mathcal I _B\).
Soit \(\mathcal I\) un idéal à droite de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\). Montrer que \(\mathcal I\) est un sev de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\), puis qu’il existe \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) telle que \(\mathcal I = \mathcal I _A\).
Que peut-on dire des idéaux à gauche de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) ?
Soit \(E = \{\)matrices de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) antisymétriques\(\}\) et \(f : E \rightarrow E, M \mapsto ^tAM+MA\) où \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\).
Montrer que \(f\) est un endomorphisme.
Quelle est la trace de \(f\) ?
La base canonique de \(E\) est \((F_{ij} = E_{ij}-E_{ji})_{1\leq i<j \leq n}\) où \((E_{ij})\) est la base canonique de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) : Si \(M \in E\), la coordonnée de \(M\) suivant \(F_{ij}\) est le coefficient d’indices \(i,j\) de \(M\). En particulier, en notant \(A = (a_{ij})\), la coordonnée de \(f(F_{ij})\) suivant \(F_{ij}\) est \(a_{ii}+a_{jj}\), donc : \[\mathop{\rm tr}\nolimits f = \sum_{i,j} (a_{ii} + a_{jj}) = (n-1)\mathop{\rm tr}\nolimits A.\]
Soit \(A = \begin{pmatrix}a_{1} &1 &0 &\dots&0 \\ a_{2} &0 &1 &\ddots &\vdots \\ \vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0 \\ \vdots &\vdots & &\ddots &1 \\ a_n &0 &\dots&\dots&0 \\\end{pmatrix} \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) et \(\mathcal C (A)\) son commutant.
Montrer que pour \(M,N \in \mathcal C (A)\) on a : \(M=N \Leftrightarrow M\) et \(N\) ont la même dernière colonne. En déduire que \(\mathcal C (A) = \mathbb{K}_{n-1}[A]\).
Pour \(M = \begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix} \in GL_{2}(\mathbb{R}\), on note \(f_M : \mathbb{R}\cup \{ \infty \} \rightarrow \mathbb{R}\cup \{ \infty \} , x \mapsto \dfrac {ax+b}{cx+d}.\)
Montrer que \(M \mapsto f_M\) est un morphisme de groupes de \(GL_{2}(\mathbb{R})\) dans \(\mathcal S _{\mathbb{R}\cup \{ \infty \} }\). Quel est son noyau ?
Soit \(P \in GL_n(\mathbb{K})\). Montrer que l’application \(\varphi _P : \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}}) \rightarrow \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}}) , M \mapsto P^{-1}MP\) est un isomorphisme d’algèbre.
Soit \(\varphi\) : \(A = (a_{ij}) \mapsto A' = (a_{n+1-i,n+1-j})\).
Montrer que \(\varphi\) est un isomorphisme d’algèbre de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\).
Trouver une matrice \(P \in GL_n(\mathbb{K})\) telle que \(\varphi = \varphi _P\).