Calcul de déterminants de taille $2$ ou $3$

Exercices du dossier Calcul de déterminants de taille $2$ ou $3$

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Exercice 112
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:36
  1. On peut opérer sur les lignes : \(L_3 \longleftarrow L_3-2L_1\) et \(\begin{vmatrix} 1&2&0\\ 0&1&6 \\ 2&4&2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1&2&0\\ 0&1&6 \\ 0&0&2 \end{vmatrix} = 2\).

  2. En développant par rapport à la deuxième ligne :
    \(\begin{vmatrix} -3&2&9 \\ -1&0&-1 \\ 11&-5&-12 \end{vmatrix} = -1\times (-1)\times \begin{vmatrix} 2 & -9 \\ -5 & -12 \end{vmatrix} + (-1)\times (-1)\times \begin{vmatrix} -3 & 2 \\ 11 & -5 \end{vmatrix} = (-24 + 45) + (15 - 22) = 21 - 7 = 14\).

  3. La présence des trois \(1\) à la première ligne incite à soustraire la première colonne aux deux autres :
    \(\begin{vmatrix} 1&1&1 \\ 5&8&3 \\ 2&-1&2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1&0&0 \\ 5&3&-2 \\ 2&-3&0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ -3 & 0 \end{vmatrix} = -6\).

  4. En additionnant les colonnes : \(C_2 \longleftarrow C_2 + C_1\)
    \(\begin{vmatrix} 1&-1&0\\ 5&-5&5\\ 2&1&3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1&0&0\\ 5&0&5\\ 2&3&3 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 1&0&0\\ 5&5&0\\ 2&3&3 \end{vmatrix} = -15\).

  5. Avec la règle de Sarrus, alors ? \(\begin{vmatrix} 3&4&-2 \\ 2&3&1 \\ 1&2&3 \end{vmatrix} = 27 + 4 + 6 - 8 - 24 - 6 = -1\).

  6. \(L_2 \longleftarrow L_2+L_1\) et \(L_3 \longleftarrow L_3+L_1\) \(\begin{vmatrix} 1&1&-2\\ -1&3&4\\ -1&1&8 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1&1&-2\\ 0&4&2\\ 0&2&6 \end{vmatrix} = 24 - 4 = 20\).


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Exercice 128
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:36
  1. Une colonne de \(\Delta_1\) est nulle donc \(\Delta_1=0\).

  2. Les deux premières colonnes de \(\Delta_2\) sont proportionnelles, donc \(\Delta_2=0\).

  3. La première colonne de \(\Delta_3\) est somme des deux autres donc \(\Delta_3=0\).

  4. \(\Delta_4\) étant diagonale, le déterminant \(\Delta_4\) est égal au produit de ces termes diagonaux. Un de ceux-ci étant nul, il en est de même de \(\Delta_4\).

  5. \(\Delta_5 \xlongequal{C_3 \rightarrow C_2+C_3} \left| \begin{array}{ccc} 1 & a &a+b+c \\ 1 & b &a+b+c \\ 1 & c &a+b+c \end{array} \right|\) et les première et troisième colonnes de \(\Delta_5\) sont proportionnelles. Il vient \(\Delta_5=0\).

  6. La dernière colonne de \(\Delta_6\) est somme des deux autres donc \(\Delta_6=0\).


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Exercice 98
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:36
  1. \(\left|\begin{array}{ccc} a-b-c&2a&2a\\ 2b&b-c-a&2b\\ 2c&2c&c-a-b \end{array}\right| \xlongequal{L_1\leftarrow L_1+L_2+L_3} \left|\begin{array}{ccc} a+b+c&a+b+c&a+b+c\\ 2b&b-c-a&2b\\ 2c&2c&c-a-b \end{array}\right| =\)
    \(\left(a+b+c\right)\left|\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 2b&b-c-a&2b\\ 2c&2c&c-a-b \end{array}\right| \xlongequal{\begin{array}{c}C_2\leftarrow C_2-C_1\\C_3\leftarrow C_3-C_1\end{array} } \left(a+b+c\right)\left|\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 2b&-b-c-a&0\\ 2c&0&-c-a-b \end{array}\right| =\boxed{\left(a+b+c\right)^3}\)

  2. \(\left|\begin{array}{ccc} 0&a&b\\ a&0&c \\ b&c&0 \end{array} \right|=\boxed{2abc}\) par application de la règle de Sarrus.

  3. \(\left|\begin{array}{ccc} 1+a&a&a\\ b&1+b&b\\ c&c&1+c \end{array}\right| \xlongequal{L_1 \leftarrow L_1+L_2+L_3 } \left|\begin{array}{ccc} 1+a+b+c&1+a+b+c&1+a+b+c\\ b&1+b&b\\ c&c&1+c \end{array}\right| =\)
    \(\left(1+a+b+c\right)\left|\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ b&1+b&b\\ c&c&1+c \end{array}\right| \xlongequal{\begin{array}{c}C_2\leftarrow C_2-C_1\\C_3\leftarrow C_3-C_1\end{array} } \left(1+a+b+c\right)\left|\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ b&1&0\\ c&0&1 \end{array}\right| =\boxed{{1+a+b+c}}\)

  4. \(\left|\begin{array}{ccc} a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a \end{array}\right|\xlongequal{C_1 \leftarrow C1+C2+C_3} \left|\begin{array}{ccc} a+b+c&b&c\\ a+b+c&a&b\\ a+b+c&c&a \end{array}\right|=\)
    \(\left(a+b+c\right)\left|\begin{array}{ccc} 1&b&c\\ 1&a&b\\ 1&c&a \end{array}\right|\xlongequal{\begin{array}{c}L_2\leftarrow L_2-L_1\\L_3\leftarrow L_3-L_1\end{array} } \left(a+b+c\right)\left|\begin{array}{ccc} 1&b&c\\ 0&a-b&b-c\\ 0&c-b&a-c \end{array}\right|=\)
    \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)=\boxed{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\left( a+b+c \right) \left( \left( a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\right)}\)

  5. \(\left|\begin{array}{ccc} 1&a&a^2\\ 1&b&b^2\\ 1&c&c^2 \end{array}\right| \xlongequal{\begin{array}{c}L_2\leftarrow L_2-L_1\\L_3\leftarrow L_3-L_1\end{array} } \left|\begin{array}{ccc} 1&a&a^2\\ 0&b-a&b^2-a^2\\ 0&c-a&c^2-a^2 \end{array}\right| =\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left|\begin{array}{ccc} 1&a&a^2\\ 0&1&b+a\\ 0&1&c+a \end{array}\right|\)
    \(\xlongequal{L_3\leftarrow L_3-L_2} \left(b-a\right)\left(c-a\right)\left|\begin{array}{ccc} 1&a&a^2\\ 0&1&b+a\\ 0&0&c-b \end{array}\right| =\boxed{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)

  6. \(\left|\begin{array}{ccc} a+b&b+c&c+a\\ a^2+b^2&b^2+c^2&c^2+a^2 \\ a^3+b^3&b^3+c^3&c^3+a^3 \end{array} \right| \xlongequal{C_1\leftarrow C_1-C_2-C_3} \left|\begin{array}{ccc} -2c&b+c&c+a\\ -2c^2&b^2+c^2&c^2+a^2 \\ -2c^3&b^3+c^3&c^3+a^3 \end{array} \right| = -2\left|\begin{array}{ccc} c&b+c&c+a\\ c^2&b^2+c^2&c^2+a^2 \\ c^3&b^3+c^3&c^3+a^3 \end{array} \right|\)
    \(\xlongequal{\begin{array}{c}C_2\leftarrow C_2-C_1\\C_3\leftarrow C_3-C_1\end{array} } -2\left|\begin{array}{ccc} c&b&a\\ c^2&b^2&a^2 \\ c^3&b^3&a^3 \end{array} \right| = -2abc\left|\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ c&b&a \\ c^2&b^2&a^2 \end{array} \right| = \boxed{-2abc\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\) car on reconnaît un déterminant de Vandermonde.

  7. \(\left|\begin{array}{ccc} 1&\sin a&\cos a\\ 1&\sin b&\cos b\\ 1&\sin c&\cos c \end{array}\right| \xlongequal{\begin{array}{c}L_2\leftarrow L_2-L_1\\L_3\leftarrow L_3-L_1\end{array} } \left|\begin{array}{ccc} 1&\sin a&\cos a\\ 0&\sin b-\sin a&\cos b-\cos a\\ 0&\sin c-\sin a&\cos c-\cos a \end{array}\right| =\)
    \(\left|\begin{array}{ccc} 1&\sin a&\cos a\\ 0&2\cos{\scriptstyle b+a\over\scriptstyle 2}\sin{\scriptstyle b-a\over\scriptstyle 2}&-2\sin{\scriptstyle b+a\over\scriptstyle 2}\sin{\scriptstyle b-a\over\scriptstyle 2}\\ 0&2\cos{\scriptstyle c+a\over\scriptstyle 2}\sin{\scriptstyle c-a\over\scriptstyle 2}&-2\sin{\scriptstyle c+a\over\scriptstyle 2}\sin{\scriptstyle c-a\over\scriptstyle 2} \end{array}\right| = -4\sin{\scriptstyle b-a\over\scriptstyle 2}\sin{\scriptstyle c-a\over\scriptstyle 2} \left|\begin{array}{ccc} 1&\sin a&\cos a\\ 0&\cos{\scriptstyle b+a\over\scriptstyle 2}&\sin{\scriptstyle b+a\over\scriptstyle 2}\\ 0&\cos{\scriptstyle c+a\over\scriptstyle 2}&\sin{\scriptstyle c+a\over\scriptstyle 2} \end{array}\right| =\)
    \(-4\sin{\scriptstyle b-a\over\scriptstyle 2}\sin{\scriptstyle c-a\over\scriptstyle 2}\left(\sin{\scriptstyle c+a\over\scriptstyle 2}\cos{\scriptstyle b+a\over\scriptstyle 2} - \sin{\scriptstyle b+a\over\scriptstyle 2} \cos{\scriptstyle c+a\over\scriptstyle 2} \right) = -4\sin{\scriptstyle b-a\over\scriptstyle 2}\sin{\scriptstyle c-a\over\scriptstyle 2}\sin\left({\scriptstyle c+a\over\scriptstyle 2}-{\scriptstyle b+a\over\scriptstyle 2} \right) =\boxed{-4\sin{\scriptstyle b-a\over\scriptstyle 2}\sin{\scriptstyle c-a\over\scriptstyle 2}\sin{\scriptstyle c-b\over\scriptstyle 2}}\)


Exercice 319 *

29 mars 2021 18:36 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Montrer que :

\[\left| \begin{array}{ccc} 3 & 0 &0 \\ 0 & 4 &0 \\ 0 & 0 &5 \end{array} \right| = -\left|\begin{array}{ccc} 0 & 0 &3 \\ 0 & 4 &0 \\ 5 & 0 &0 \end{array} \right| = 60\]



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Exercice 319
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:36

Facile par permutations des colonnes.


Exercice 274 *

29 mars 2021 18:36 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Les nombres \(119\), \(153\) et \(289\) sont tous divisibles par \(17\). Montrer, sans le développer que le déterminant \(\left| \begin{matrix} 1&1&9\\1&5&3\\2&8&9 \end{matrix} \right|\) est divisible par 17.



[ID: 1577] [Date de publication: 29 mars 2021 18:36] [Catégorie(s): Calcul de déterminants de taille $2$ ou $3$ ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 274
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:36

Notons \(\Delta\) ce déterminant. On a : \(1000\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 100&10&9\\100&50&3\\200&80&9 \end{array} \right|\xlongequal{C_1\rightarrow C_1+C_2+C_3 } \left|\begin{array}{ccc} 119&10&9\\153&50&3\\289&80&9 \end{array}\right| = 17\left|\begin{array}{ccc} a&10&9\\b&50&3\\c&80&9 \end{array}\right|\)\(a\), \(b\) et \(c\) désignent respectivement le quotient de \(119\), \(153\) et \(289\) par \(17\). On obtient  :\(\Delta = 17m\) avec \(m=\left|\begin{array}{ccc} a&10&9\\b&50&3\\c&80&9 \end{array}\right|\) qui est un entier. Comme \(17\) est premier avec \(1000\), appliquant le lemme de Gauss, \(17\) divise \(\Delta\).


Exercice 19 *

29 mars 2021 18:36 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(\left(a,b,c\right)\in \mathbb{R}^3\). Considérons les polynômes \(P_a=\left(X-a\right)^2, P_b=\left(X-b\right)^2,P_c=\left(X-c\right)^2\). Déterminer pour quelles valeurs de \(\left(a,b,c\right)\) la famille \(\mathscr P=\left(P_a,P_b,P_c\right)\) forme une base de \(\mathbb{R}_2\left[X\right]\)?



[ID: 1579] [Date de publication: 29 mars 2021 18:36] [Catégorie(s): Calcul de déterminants de taille $2$ ou $3$ ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 19
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:36

La matrice de la famille \(\mathscr P\) dans la base canonique \(\left(1,X,X^2\right)\) de \(\mathbb{R}_2\left[X\right]\) est \(M=\left(\begin{array}{ccc} a^2&b^2&c^2 \\ -2a&-2b&-2c\\ 1&1&1 \end{array} \right)\). Utilisant les déterminants de Vandermonde, on trouve \(\mathop{\rm det} M=-2\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)\). La famille \(\mathscr P\) forme une base de \(\mathbb{R}_2\left[X\right]\) si et seulement si les scalaires \(a\), \(b\) et \(c\) sont deux à deux distincts.


Exercice 70 ***

29 mars 2021 18:36 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Montrer que \[\Delta=\left| \begin{array}{ccc} \cos\left(a-b\right)&\cos\left(b-c\right)&\cos\left(c-a\right)\\ \cos\left(a+b\right)&\cos\left(b+c\right)&\cos\left(c+a\right) \\ \sin\left(a+b\right)&\sin\left(b+c\right)&\sin\left(c+a\right) \end{array} \right|=-2\sin\left(a-b\right)\sin\left(b-c\right)\sin\left(c-a\right)\]



[ID: 1581] [Date de publication: 29 mars 2021 18:36] [Catégorie(s): Calcul de déterminants de taille $2$ ou $3$ ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 70
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:36

On développe suivant la première ligne et on reconnaît les formules d’addition : \[\begin{aligned} \begin{split} \Delta= \cos\left(a-b\right)\left[\cos\left(b+c\right)\sin\left(c+a\right)-\cos\left(c+a\right) \sin\left(b+c\right)\right] - \cos\left(b-c\right) \left[\cos\left(a+b\right)\sin\left(c+a\right)-\cos\left(c+a\right)\sin\left(a+b\right)\right] +\\ \cos\left(c-a\right)\left[\cos\left(a+b\right)\sin\left(b+c\right)-\cos\left(b+c\right)\sin\left(a+b\right)\right] =\\ \cos\left(a-b\right) \sin \left(a-b\right) + \cos\left(b-c\right) \sin\left(b-c\right) + \cos\left(c-a\right) \sin\left(c-a\right)={\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\left(\sin 2\left(a-b\right)+\sin 2\left(b-c\right)+\sin 2\left(c-a\right)\right) \end{split} \end{aligned}\] puis on utilise les deux formules \(\sin p+\sin q=2\sin{\scriptstyle p+q\over\scriptstyle 2}\cos{\scriptstyle p-q\over\scriptstyle 2}\) et \(\cos p-\cos q=-2\sin{\scriptstyle p+q\over\scriptstyle 2}\sin{\scriptstyle p-q\over\scriptstyle 2}\) : \[\begin{aligned} \begin{split} \Delta={\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\left(2\sin\left(a-c\right)\cos\left(a+c-2b\right)+\sin 2\left(c-a\right)\right) \\={\sin\left(a-c\right)\cos\left(a+c-2b\right)+\sin\left(c-a\right)\cos\left(c-a\right)} =\sin\left(a-c\right)\left(\cos\left(a+c-2b\right)-\cos\left(c-a\right)\right)\\ =-2\sin\left(a-b\right)\sin\left(b-c\right)\sin\left(c-a\right) \end{split} \end{aligned}\]


Exercice 354 *

29 mars 2021 18:36 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \[P_1=2X^2-X+1, \quad P_2=X^2+2X,\quad P_3=X^2-1\] Montrer que la famille \(\mathscr P=\left(P_1,P_2,P_3\right)\) est une base de \(\mathbb{R}_2\left[X\right]\).



[ID: 1583] [Date de publication: 29 mars 2021 18:36] [Catégorie(s): Calcul de déterminants de taille $2$ ou $3$ ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 354
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:36

Notant \(e=\left(X^2,X,1\right)\) la base canonique de \(\mathbb{R}_2\left[X\right]\), on a : \[\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(\mathscr P\right)= \left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right)\] qui est inversible. La famille \(\mathscr P\) est donc une base de \(\mathbb{R}_2\left[X\right]\).


Exercice 600 *

29 mars 2021 18:36 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Á quelle condition sur le réel \(a\) la famille \(e=\left(e_1,e_2,e_3\right)\) : \[{e_1} = \left(a,1,1\right)\quad {e_2}=\left(1,a,1\right)\quad {e_3}=\left(1,1,a\right)\] forme-t-elle une base de \(\mathbb{R}^3\)?



[ID: 1585] [Date de publication: 29 mars 2021 18:36] [Catégorie(s): Calcul de déterminants de taille $2$ ou $3$ ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 600
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:36

La famille \(e\) forme une base de \(\mathbb{R}^3\) si et seulement si \(\left|\begin{array}{ccc} a&1&1\\ 1&a&1\\ 1&1&a \end{array} \right|\neq 0\). Ce déterminant vaut : \(\left(a-1\right)^2 \left(a+2\right)\). La famille \(e\) est donc libre si et seulement si \(a\neq 1\) et \(a\neq -2\).


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