Rang d'une matrice

  1. Les exercices
  2. Vue compacte

Exercices du dossier Rang d'une matrice

Exercice 1040 *

29 mars 2021 18:32 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer le rang des matrices suivantes :

  1. \(A=\left( \begin{array}{ccc} 1&2&-1\\ 2&1&0\\ -1&1&0 \end{array} \right)\)

  2. \(B= \left( \begin{array}{cccc} 1&-1&0&2\\ 2&-1&1&-1\\ 3&2&0&1\\ 4&3&-1&1 \end{array} \right)\)

  3. \(C= \left( \begin{array}{cccccc} 2&2&1&0&1&1\\ 1&2&1&0&-1&2\\ 2&3&1&-1&0&1\\ -1&0&1&2&3&1 \end{array} \right)\)


[ID: 1559] [Date de publication: 29 mars 2021 18:32] [Catégorie(s): Rang d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 1040
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 29 mars 2021 18:32

  1. \[\begin{aligned} \begin{split} \mathop{\mathrm{rg}}\left(\begin{array}{ccc} 1&2&-1\\ 2&1&0\\ -1&1&0 \end{array} \right) \xlongequal{C_1 \leftrightarrow C_3} \mathop{\mathrm{rg}}\left(\begin{array}{ccc} -1&2&1\\ 0&1&2\\ 0&1&-1 \end{array} \right) \xlongequal{L_3 \leftarrow L_3-L_2} \mathop{\mathrm{rg}}\left(\begin{array}{ccc} -1&2&1\\ 0&1&2\\ 0&0&-3 \end{array} \right) =\boxed{3}\end{split}\end{aligned}\]

  2. \[\begin{aligned} \begin{split}\mathop{\mathrm{rg}}\left( \begin{array}{cccc} 1&-1&0&2\\ 2&-1&1&-1\\ 3&2&0&1\\ 4&3&-1&1 \end{array} \right) \xlongequal{C_1 \leftrightarrow C_3} \mathop{\mathrm{rg}}\left( \begin{array}{cccc} 0&-1&1&2\\ 1&-1&2&-1\\ 0&2&3&1\\ -1&3&4&1 \end{array} \right) \xlongequal{L_1 \leftrightarrow L_2} \mathop{\mathrm{rg}}\left( \begin{array}{cccc} 1&-1&2&-1\\ 0&-1&1&2\\ 0&2&3&1\\ -1&3&4&1 \end{array} \right) \xlongequal{L_4\leftarrow L_4+L_1 }\\ \mathop{\mathrm{rg}}\left( \begin{array}{cccc} 1&-1&2&-1\\ 0&-1&0&2\\ 0&2&3&1\\ 0&2&6&0 \end{array} \right) \xlongequal{ L_4\leftarrow L_4/2 } \mathop{\mathrm{rg}}\left( \begin{array}{cccc} 1&-1&2&-1\\ 0&-1&1&2\\ 0&2&3&1\\ 0&1&3&0 \end{array} \right) \xlongequal{\begin{array}{c}L_3\rightarrow L_3+2L_2\\L_4\rightarrow L_4+L_2\end{array} } \mathop{\mathrm{rg}}\left( \begin{array}{cccc} 1&-1&2&-1\\ 0&-1&1&2\\ 0&0&3&5\\ 0&0&5&2 \end{array} \right) \xlongequal{ L_4\leftarrow L_4-{\scriptstyle 5\over\scriptstyle 3}L_3 } \\ \mathop{\mathrm{rg}}\left( \begin{array}{cccc} 1&-1&2&-1\\ 0&-1&1&2\\ 0&0&3&5\\ 0&0&0&-{\scriptstyle 11\over\scriptstyle 3} \end{array} \right)=\boxed{4}\end{split}\end{aligned}\]

  3. \[\begin{aligned} \begin{split}\mathop{\mathrm{rg}}\left( \begin{array}{cccccc} 2&2&1&0&1&1\\ 1&2&1&0&-1&2\\ 2&3&1&-1&0&1\\ -1&0&1&2&3&1 \end{array} \right) \xlongequal{C_1 \leftrightarrow C_4} \mathop{\mathrm{rg}}\left( \begin{array}{cccccc} 0&2&1&2&1&1\\ 0&2&1&1&-1&2\\ -1&3&1&2&0&1\\ 2&0&1&-1&3&1 \end{array} \right) \xlongequal{L_1 \leftrightarrow L_3} \mathop{\mathrm{rg}}\left( \begin{array}{cccccc} -1&3&1&2&0&1\\ 0&2&1&1&-1&2\\ 0&2&1&2&1&1\\ 2&0&1&-1&3&1 \end{array} \right)\\ \xlongequal{L_4 \leftarrow L_4+2L_1} \mathop{\mathrm{rg}}\left( \begin{array}{cccccc} -1&3&1&2&0&1\\ 0&2&1&1&-1&2\\ 0&2&1&2&1&1\\ 0&6&3&3&3&3 \end{array} \right) \xlongequal{L_4 \leftarrow L_4/3} \mathop{\mathrm{rg}}\left( \begin{array}{cccccc} -1&3&1&2&0&1\\ 0&2&1&1&-1&2\\ 0&2&1&2&1&1\\ 0&2&1&1&1&1 \end{array} \right)\\ \xlongequal{\begin{array}{c}L_3\leftarrow L_3-L_2\\L_4\leftarrow L_4-L_2\end{array} } \mathop{\mathrm{rg}}\left( \begin{array}{cccccc} -1&3&1&2&0&1\\ 0&2&1&1&-1&2\\ 0&0&0&1&2&-1\\ 0&0&0&0&2&-1 \end{array} \right) = \mathop{\mathrm{rg}}\left( \begin{array}{ccccc} -1&3&0&2&1\\ 0&2&-1&1&2\\ 0&0&2&1&-1\\ 0&0&2&0&-1 \end{array} \right) =\boxed{4}\end{split}\end{aligned}\] On a supprimé la troisième colonne, combinaison linéaire des deux premières.


Exercice 593 **

29 mars 2021 18:32 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer suivant la (ou les) valeur(s) du (des) paramètre(s) le rang des matrices :

  1. \(A=\left( \begin{array}{ccc} 1-a&0&0\\ -1&2-a&1\\ 2&0&3-a \end{array} \right)\)

  2. \(B=\left(\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ b+c&c+a&a+b\\ bc&ca&ab \end{array}\right)\).

  3. \(C=\left(\begin{array}{ccc} 1&\cos \theta &\cos 2\theta\\ \cos \theta &\cos 2\theta&\cos 3\theta\\ \cos 2\theta&\cos 3\theta&\cos 4\theta \end{array}\right)\).

  4. \(D=\left(\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ a&b&c\\ a^2&b^2&c^2 \end{array}\right)\).

  5. \(E=\left(\begin{array}{ccccc} a&b&0&0&0\\ 0&a&b&0&0\\ 0&0&a&b&0\\ 0&0&0&a&b\\ b&0&0&0&a \end{array}\right)\).


[ID: 1561] [Date de publication: 29 mars 2021 18:32] [Catégorie(s): Rang d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 593
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 29 mars 2021 18:32

  1. \[\begin{aligned} \begin{split} \mathop{\mathrm{rg}}\left( \begin{array}{ccc} 1-a&0&0\\ -1&2-a&1\\ 2&0&3-a \end{array} \right) \xlongequal{\textrm{ transpo.} } \mathop{\mathrm{rg}}\begin{pmatrix} 1-a&-1&2\\0&2-a&0\\0&1&3-a \end{pmatrix} \xlongequal{\textrm{ si $a\neq 1$} } 1+\mathop{\mathrm{rg}}\begin{pmatrix} 2-a&0\\1&3-a \end{pmatrix} \xlongequal{\textrm{ transpo.}}\\ 1+\mathop{\mathrm{rg}}\begin{pmatrix} 2-a&1\\0&3-a \end{pmatrix} \xlongequal{\textrm{ si $a\neq 2$} } 2+\mathop{\mathrm{rg}}\left(3-a\right) \end{split}\end{aligned}\] De plus, on vérifie facilement que si \(a=1\) ou \(a=2\) alors \(\mathop{\mathrm{rg}}A=2\).Donc \(\mathop{\mathrm{rg}}A = \begin{cases} 2 &\textrm{ si } a =1,2 \quad \textrm{ ou} \quad 3\\ 3 &\textrm{ sinon } \end{cases}\).

  2. \[\begin{aligned} \begin{split} \mathop{\mathrm{rg}}\left(\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ b+c&c+a&a+b\\ bc&ca&ab \end{array}\right) \xlongequal{\textrm{ transpo.}} \mathop{\mathrm{rg}}\begin{pmatrix} 1&b+c&bc\\1&c+a&ca\\1&a+b&ab \end{pmatrix} \xlongequal{\begin{array}{c}L_2\leftarrow L_2-L_1\\L_3\leftarrow L_3-L_1 \end{array}} \mathop{\mathrm{rg}}\begin{pmatrix} 1&b+c&bc\\0&a-b&c\left(a-b\right)\\0&a-c&b\left(a-c\right) \end{pmatrix} =\\1+\mathop{\mathrm{rg}}\begin{pmatrix} a-b &c\left(a-b\right)\\ a-c&b\left(a-c\right) \end{pmatrix} \xlongequal{\textrm{ si $a\neq b$ et $a\neq c$}} 1+\mathop{\mathrm{rg}}\begin{pmatrix} 1&c\\1&b \end{pmatrix} =\begin{cases} 3 &\textrm{ si } b\neq c\\ 2 &\textrm{ si } b=c \end{cases} .\end{split}\end{aligned}\] En utilisant les symétries de la matrice, on en déduit que \(\mathop{\mathrm{rg}}B =\begin{cases} 1&\textrm{ si } a =b=c\\ 2&\textrm{ si deux parmi les trois nombres $a$, $b$ et $c$ sont égaux et le troisième différent } \\ 3&\textrm{ si } b\neq c \quad \textrm{ et} \quad a\neq b \quad \textrm{ et} \quad a\neq c \end{cases}\)

  3. Si \(\theta\neq 0\left[\dfrac{\pi}{2}\right]\), \[\begin{aligned} \begin{split}\mathop{\mathrm{rg}}\left(\begin{array}{ccc} 1&\cos \theta &\cos 2\theta\\ \cos \theta &\cos 2\theta&\cos 3\theta\\ \cos 2\theta&\cos 3\theta&\cos 4\theta \end{array}\right) \xlongequal{\begin{array}{c}L_2\leftarrow L_2 - \cos \theta L_1\\L_3\leftarrow L_3-\cos 2\theta L_1\end{array}} \mathop{\mathrm{rg}} \left(\begin{array}{ccc} 1&\cos \theta &\cos 2\theta\\ 0 &\cos 2\theta-\cos^2 \theta&\cos 3\theta-\cos \theta\cos 2\theta\\ 0&\cos 3\theta-\cos 2\theta\cos \theta&\cos 4\theta-\cos^2 2\theta \end{array}\right) =\\ \mathop{\mathrm{rg}}\left(\begin{array}{ccc} 1&\cos \theta &\cos 2\theta\\ 0 &-\sin^2 \theta&-\sin 2\theta\sin \theta\\ 0&-\sin 2\theta\sin \theta&-\sin^2 2\theta \end{array}\right) \xlongequal{\begin{array}{c}L_2\leftarrow \dfrac{L_2}{-\sin\theta}\\L_3\rightarrow \dfrac{L_3}{-\sin 2\theta}\end{array}} \mathop{\mathrm{rg}}\left(\begin{array}{ccc} 1&\cos \theta &\cos 2\theta\\ 0 &\sin \theta&\sin 2\theta\\ 0&\sin \theta&\sin 2\theta \end{array}\right) \xlongequal{L_3\leftarrow L_3-L_2}\\ \mathop{\mathrm{rg}}\left(\begin{array}{ccc} 1&\cos \theta &\cos 2\theta\\ 0 &\sin \theta&\sin 2\theta\\ 0&0&0 \end{array}\right)=2. \end{split}\end{aligned}\] Par ailleurs si \(\theta=0\left[\dfrac{\pi}{2}\right]\), \(rg C=2\).

  4. \[\begin{aligned} \begin{split} \mathop{\mathrm{rg}}\left(\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ a&b&c\\ a^2&b^2&c^2 \end{array}\right) = \mathop{\mathrm{rg}} \left(\begin{array}{ccc} 1&a&a^2\\ 1&b&b^2\\ 1&c&c^2 \end{array}\right) \xlongequal{\begin{array}{c}L_2\leftarrow {L_2}-L_1\\L_3\leftarrow L_3-L_1 \end{array}} \left(\begin{array}{ccc} 1&a&a^2\\ 0&b-a&b^2-a^2\\ 0&c-a&c^2-a^2 \end{array}\right) =1+\mathop{\mathrm{rg}}\begin{pmatrix} b-a&b^2-a^2\\c-a&c^2-a^2 \end{pmatrix}\\ \xlongequal{\textrm{ si $b\neq a$ et $c\neq a$}} 1+\mathop{\mathrm{rg}}\begin{pmatrix} 1&b+a\\1&c+a\end{pmatrix} \xlongequal{L_2\leftarrow L_2-L_1} 1+\mathop{\mathrm{rg}}\begin{pmatrix}1&b+a\\0&c-b\end{pmatrix} =2+\mathop{\mathrm{rg}}\left(c-b\right)=\begin{cases} 3&\textrm{ si } c\neq b\\ 2&\textrm{ si } c=b\end{cases}\end{split}\end{aligned}\] En utilisant les symétries de la matrice, on en déduit que \(\mathop{\mathrm{rg}}D =\begin{cases} 1&\textrm{ si } a =b=c\\ 2&\textrm{ si deux parmi les trois nombres $a$, $b$ et $c$ sont égaux et le troisième différent } \\ 3&\textrm{ si } b\neq c \quad \textrm{ et} \quad a\neq b \quad \textrm{ et} \quad a\neq c \end{cases}\).

  5. Supposant \(a\neq 0\) et \(b\neq 0\) : \[\begin{aligned} \begin{split}\mathop{\mathrm{rg}}\left(\begin{array}{ccccc} a&b&0&0&0\\ 0&a&b&0&0\\ 0&0&a&b&0\\ 0&0&0&a&b\\ b&0&0&0&a \end{array}\right) \xlongequal{L_5 \leftarrow aL_5-b L_1 } \mathop{\mathrm{rg}}\left(\begin{array}{ccccc} a&b&0&0&0\\ 0&a&b&0&0\\ 0&0&a&b&0\\ 0&0&0&a&b\\ 0&-b^2&0&0&a^2 \end{array}\right) \xlongequal{L_5 \leftarrow aL_5+b^2 L_2 } \mathop{\mathrm{rg}}\left(\begin{array}{ccccc} a&b&0&0&0\\ 0&a&b&0&0\\ 0&0&a&b&0\\ 0&0&0&a&b\\ 0&0&b^3&0&a^3 \end{array}\right)\\ \xlongequal{L_5 \leftarrow aL_5-b^3 L_3 } \mathop{\mathrm{rg}}\left(\begin{array}{ccccc} a&b&0&0&0\\ 0&a&b&0&0\\ 0&0&a&b&0\\ 0&0&0&a&b\\ 0&0&0&-b^4&a^4 \end{array}\right) \xlongequal{L_5 \leftarrow aL_5+b^4 L_4 } \mathop{\mathrm{rg}}\left(\begin{array}{ccccc} a&b&0&0&0\\ 0&a&b&0&0\\ 0&0&a&b&0\\ 0&0&0&a&b\\ 0&0&0&0&b^5+a^5 \end{array}\right) =\begin{cases}5 &\textrm{ si } a^5+b^5 \neq 0 \\ 4 &\textrm{ si } a^5+b^5 = 0\end{cases} \end{split}\end{aligned}\] En résumé, (et dans le cas où \(a\) et \(b\) sont réels) : \(\mathop{\mathrm{rg}}\left(E\right)=0\) si \(a\) et \(b\) sont non nuls. \(\mathop{\mathrm{rg}}\left(E\right)=5\) si \(a\) ou \(b\) est nul mais pas en même temps. \(\mathop{\mathrm{rg}}{E}=4\) si \(a=1\) et \(b=-1\) ou si \(a=-1\) et \(b=1\). Dans tous les autres cas \(\mathop{\mathrm{rg}}\left(E\right)=5\).


Exercice 656 *

29 mars 2021 18:32 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer le rang des familles de vecteurs \(v=\left(v_1,v_2,v_3\right)\) de \(\mathbb{R}^3\) suivantes avec :

  1. \(v_1=\left(1,2,0\right)\), \(v_2=\left(0,1,0\right)\), \(v_3=\left(1,1,1\right)\).

  2. \(v_1=\left(1,1,0\right)\), \(v_2=\left(0,1,1\right)\), \(v_3=\left(1,2,1\right)\).

  3. \(v_1=\left(1,1,1\right)\), \(v_2=\left(1,2,1\right)\), \(v_3=\left(1,-1,1\right)\).


[ID: 1563] [Date de publication: 29 mars 2021 18:32] [Catégorie(s): Rang d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 656
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 29 mars 2021 18:32

  1. On a très clairement une base de \(\mathbb{R}^3\). Le rang est \(3\).

  2. \(v_1\) et \(v_2\) forment une famille libre. \(v_3 = v_1 + v_2\). Le rang est \(2\).

  3. Le rang de la famille \(v\) est le rang de la matrice \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\). En opérant sur les lignes, on obtient :
    \(\begin{array}{ccc} &&\\ L_2&\leftarrow & L_2-L_1 \\ L_3&\leftarrow & L_3-L_1 \end{array} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\). Le rang est donc \(2\).


Exercice 1020 *

29 mars 2021 18:32 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer le rang des applications linéaires suivantes :

  1. \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^3 & \longrightarrow & \mathbb{R}^3 \\ \left(x,y,z\right) & \longmapsto & \left(x+y-z,x,-z\right) \end{array} \right.\).

  2. \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^2 & \longrightarrow & \mathbb{R}^3 \\ \left(s,t\right) & \longmapsto & \left(s+t,2s-t,t\right) \end{array} \right.\).

  3. \(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_{2}\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{R}_2\left[X\right] \\ P & \longmapsto & P' \end{array} \right.\).

  4. \(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_{3}\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{R}_3\left[X\right] \\ P & \longmapsto & XP'-P \end{array} \right.\).


[ID: 1565] [Date de publication: 29 mars 2021 18:32] [Catégorie(s): Rang d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 1020
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 29 mars 2021 18:32

  1. C’est le rang de la matrice \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\) qui est clairement de rang \(3\).

  2. C’est le rang de la matrice \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) qui est clairement de rang \(2\) en regardant les deux dernières lignes.

  3. L’image de la base \((1,X,X^2)\) par \(\theta\) est \((0,1,2X)\) qui est de rang \(2\). Donc \(\theta\) est de rang \(2\).

  4. L’image de la base \((1,X,X^2,X^3)\) par \(\theta\) est \((-1,0,X^2,2X^3)\) qui est de rang \(3\). Donc \(\theta\) est de rang \(3\).


Exercice 916 **

29 mars 2021 18:32 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(M = \left( \begin{array}{rrr} 8 & 2 &-2 \\ 2 & 5 & 4 \\ -2 & 4 & 5 \end{array}\right)\).

  1. Calculer \(M^2\).

  2. Déterminer le rang de \(M\).

  3. Soit \(A \in {\mathfrak M}_{3,2}(\mathbb C)\) et \(B \in {\mathfrak M}_{2,3}(\mathbb C)\) telles que \(AB = M\). Démontrer que \(BA = 9 I_2\).


[ID: 1567] [Date de publication: 29 mars 2021 18:32] [Catégorie(s): Rang d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 916
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 29 mars 2021 18:32

  1. \(M^2 = \left( \begin{array}{ccc} 64 + 4 + 4 & 16 + 10 - 8 & -16 + 8 -10 \\ 16 + 10 -8 & 4 + 25 + 16 & -4 + 20 + 20 \\ -16 + 8 -10 & -4 + 20 + 20 & 4 + 16 + 25 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{ccc} 72 & 18 & -18 \\ 18 & 45 & 36 \\ -18 & 36 & 45 \end{array}\right) = 9M\).

  2. \(M\) est de rang 2. (\(4L_2 - L_1 = 4L_3 + L_1\)).

  3. \(AB\) est de rang 2, donc \(\mathop{\mathrm{rg}}(A) \geqslant 2\), donc \(\mathop{\mathrm{rg}}(A) = 2\). De même \(\mathop{\mathrm{rg}}(B) = 2\). Donc \(A\) est la matrice d’une application linéaire injective. \(\exists A' \in {\mathfrak M}_{2,3}(\mathbb C)\), telle que \(A'A = I_2\). De même \(B\) est la matrice d’une application linéaire surjective. \(\exists B' \in {\mathfrak M}_{3,2}(\mathbb C)\), telle que \(BB' = I_2\). Comme \(ABAB = 9AB\), on en déduit que \(A'ABABB' = 9A'ABB' = 9I_2I_2 = 9I_2\).


Les-Mathematiques.net Mathématiques vivantes

Thématiques

;
Success message!