Trace d'une matrice

Exercices du dossier Trace d'une matrice

Exercice 584 *

29 mars 2021 18:25 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Existe-t-il deux matrices \((A,B)\in \mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{R} \right)^2\) vérifiant \(AB-BA=I_n\)?



[ID: 1547] [Date de publication: 29 mars 2021 18:25] [Catégorie(s): Trace d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 584
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:26

Si \(AB-BA=I_n\), en prenant la trace, on obtiendrait \(\mathop{\mathrm{Tr}}(AB)-\mathop{\mathrm{Tr}}(BA)= \mathop{\mathrm{Tr}}(I_n)\) et alors \(\mathop{\mathrm{Tr}}(I_n)=0\) ce qui est faux.


Exercice 527 *

29 mars 2021 18:26 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \((A,B)\in \mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{R} \right)^2\) vérifiant \(AB-BA=B\).

Démontrer que \(\forall k\in\mathbb{N}^*,\; \mathop{\mathrm{Tr}}(B^k) = 0\).



[ID: 1549] [Date de publication: 29 mars 2021 18:26] [Catégorie(s): Trace d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 527
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:26

On démontre par récurrence : \(H_k : AB^k - B^kA = kB^k\). On a \(H_1\) par hypothèse. D’autre part \[AB^{k+1}-B^{k+1}A = (AB^k - B^kA)B + B^k(AB-BA) = kB^kB + B^kB = (k+1)B^{k+1}.\] En prenant la trace, on obtient le résultat.


Exercice 177 *

29 mars 2021 18:26 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit deux matrices \(A, B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{K})\). On suppose que \[\forall X \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{K}) \quad\mathop{\mathrm{Tr}}(AX)=\mathop{\mathrm{Tr}}(BX)\] Montrer que \(A=B\).



[ID: 1551] [Date de publication: 29 mars 2021 18:26] [Catégorie(s): Trace d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 177
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:26

Si \(A=((a_{i,j})\) et \(X=((x_{i,j}))\), on calcule \[\mathop{\mathrm{Tr}}(AX) = \sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^n a_{i,k}x_{k,i}\] En prenant \(X= E_{pq}\), on a \(x_{k,i}=\delta_{k,p}\delta_{i,q}\), \(\mathop{\mathrm{Tr}}(AX)= a_{q,p}\), donc \(\forall q,p\in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]\), \(a_{q,p}=b_{q,p}\) et par suite \(A=B\).


Exercice 608 **

29 mars 2021 18:26 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On se donne deux matrices \(A, B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\). Trouver toutes les matrices \(X \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) vérifiant : \[X + \mathop{\mathrm{Tr}}(X)A =B.\]

Si \(X\) est une solution, prendre la trace de l’équation puis discuter.


[ID: 1553] [Date de publication: 29 mars 2021 18:26] [Catégorie(s): Trace d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 608
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:26

Soit une matrice \(X\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })\) solution. Alors \(\mathop{\mathrm{Tr}}(X)+ \mathop{\mathrm{Tr}}(X)\mathop{\mathrm{Tr}}(A)=\mathop{\mathrm{Tr}}(B)\). Il faut étudier deux cas :

  1. Si \(\mathop{\mathrm{Tr}}(A)\neq -1\), alors \(\mathop{\mathrm{Tr}}(X)=\dfrac{\mathop{\mathrm{Tr}}(B)}{1+\mathop{\mathrm{Tr}}(A)}\) et alors \(X=B-\dfrac{\mathop{\mathrm{Tr}}(B)}{1+\mathop{\mathrm{Tr}}(A)} A\). Réciproquement, on vérifie que cette matrice convient.

  2. Si \(\mathop{\mathrm{Tr}}(A)=-1\), alors en prenant la trace dans l’égalité \(X + \mathop{\mathrm{Tr}}(X)A =B\) on déduit \(\mathop{\mathrm{Tr}}(X) + \mathop{\mathrm{Tr}}(X)\mathop{\mathrm{Tr}}(A) = \mathop{\mathrm{Tr}}(B)\) soit \(\mathop{\mathrm{Tr}}(B) = 0\). Donc si \(\mathop{\mathrm{Tr}}(B) \neq 0\), il n’y a pas de solution.
    Réciproquement, si on suppose \(\mathop{\mathrm{Tr}}(B) = 0\), alors en posant \(X = B+ \lambda A\), on a bien \(\mathop{\mathrm{Tr}}X = \mathop{\mathrm{Tr}}B + \lambda \mathop{\mathrm{Tr}}A = -\lambda\), et par conséquent \(X + \mathop{\mathrm{Tr}}(X)A = X - \lambda A = B+ \lambda A - \lambda A = B\).
    Dans le cas où \(\mathop{\mathrm{Tr}}(A)=-1\) et \(\mathop{\mathrm{Tr}}(B) = 0\), l’ensemble des solutions est \(\mathcal{S}= \left\lbrace B+ \lambda A, \lambda\in\mathbb R \right\rbrace\).

Conclusion : Si \(\mathop{\mathrm{Tr}}(A)\neq -1\), \(\mathcal{S}=\left\lbrace B-\dfrac{\mathop{\mathrm{Tr}}(B)}{1+\mathop{\mathrm{Tr}}(A)}A \right\rbrace\). Si \(\mathop{\mathrm{Tr}}(A)=-1\) et \(\mathop{\mathrm{Tr}}(B)\neq 0\), \(\mathcal{S}= \varnothing\). Si \(\mathop{\mathrm{Tr}}(A)=-1\) et \(\mathop{\mathrm{Tr}}(B)=0\), alors \(\mathcal{S}=\{ B+\lambda A; \lambda \in \mathbb{R} \}\).


Exercice 907 **

29 mars 2021 18:26 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver toutes les formes linéaires \(\varphi\) sur \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\) vérifiant \[\forall (A,B) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} }) ^2, \quad\varphi(AB) = \varphi(BA)\]



[ID: 1555] [Date de publication: 29 mars 2021 18:26] [Catégorie(s): Trace d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 907
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:26

Soit \(\varphi\) une telle forme linéaire. Avec des matrices élémentaires, il vient pour tout \(i,j,k,\ell\in\llbracket 1,n\rrbracket\), \(\varphi\left(E_{ij}E_{kl}-E_{kl}E_{ij}\right)=0\) soit \(\varphi\left(\delta_{jk}E_{il}-\delta_{\ell i}E_{kj}\right)=0\). Si \(j=k\) et \(i\neq \ell\) il s’ensuit que \(\varphi\left(E_{i\ell}\right)=0\). Et si \(j=k\) et \(i= \ell\) alors \(\varphi\left(E_{ii}-E_{jj}\right)=0\). Donc \(\varphi\) est nulle sur tous les vecteurs \(E_{i\ell}\) de la base canonique tel que \(i\neq \ell\) et constante sur ceux tels que \(i=\ell\). On en déduit que pour une matrice \(A=\left(a_{ij}\right)\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\) alors \(\varphi\left(A\right)= \gamma \sum_{i=1}^n a_{ii}=\gamma \mathop{\mathrm{Tr}}\left(A\right)\)\(\gamma=\varphi\left(E_{11}\right)\). Donc \(\varphi\in\mathop{\mathrm{Vect}}\left(\mathop{\mathrm{Tr}}\right)\). Réciproquement, si \(\varphi\) est proportionnelle à la trace, alors \(\varphi\) vérifie \(\forall (A,B) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} }) ^2, \quad\varphi(AB) = \varphi(BA)\).


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Un produit scalaire sur l’espace des matrices carrées
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:26
  1. On utilise la formule du produit matriciel. Si \(A=\left(a_{ij}\right)\) et si \(B=\left(b_{ij}\right)\) Pour tout \(i,j\in\llbracket 1,n\rrbracket\), \(\left[A {B}^{\mathrm{T}}\right]_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{jk}\) donc \(\boxed{<A,B>=\mathop{\mathrm{Tr}}\left(A {B}^{\mathrm{T}}\right)=\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{ik}}\).

  2. C’est évident d’après la formule précédente.

  3. On utilise à nouveau la formule précédente : \(\left\|A\right\|^2=\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^n a_{ik}^2\). Le résultat en découle immédiatement.

  4. On montre facilement la linéarité de \(A\mapsto <A,B>\) en utilisant la linéarité de \(\mathop{\mathrm{Tr}}\). D’après la question 2., \(B\mapsto <A,B>\) est aussi linéaire.

  5. Pour tout \(t\in\mathbb{R}\), \[0\leqslant\left\|A+tB\right\|^2=<A+tB,A+tB>=\left\|B\right\|^2 t^2 +2<A,B>t+\left\|A\right\|^2 .\] On obtient ainsi un trinôme du second degré en \(t\). Son discriminant est \(\Delta= <A,B>^2-\left\|A\right\|^2\left\|B\right\|^2\). Comme ce trinôme est positif, il admet au plus une racine réelle et donc \(\Delta\leqslant 0\). On en déduit que \(^2-\left\|A\right\|^2\left\|B\right\|^2\leqslant 0\) et donc que \(\left| <A,B> \right| \leqslant\left\| A \right\| \left\| B \right\|\).


;
Success message!