Existe-t-il deux matrices \((A,B)\in \mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{R} \right)^2\) vérifiant \(AB-BA=I_n\)?
Si \(AB-BA=I_n\), en prenant la trace, on obtiendrait \(\mathop{\mathrm{Tr}}(AB)-\mathop{\mathrm{Tr}}(BA)= \mathop{\mathrm{Tr}}(I_n)\) et alors \(\mathop{\mathrm{Tr}}(I_n)=0\) ce qui est faux.
Soit \((A,B)\in \mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{R} \right)^2\) vérifiant \(AB-BA=B\).
Démontrer que \(\forall k\in\mathbb{N}^*,\; \mathop{\mathrm{Tr}}(B^k) = 0\).
On démontre par récurrence : \(H_k : AB^k - B^kA = kB^k\). On a \(H_1\) par hypothèse. D’autre part \[AB^{k+1}-B^{k+1}A = (AB^k - B^kA)B + B^k(AB-BA) = kB^kB + B^kB = (k+1)B^{k+1}.\] En prenant la trace, on obtient le résultat.
Soit deux matrices \(A, B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{K})\). On suppose que \[\forall X \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{K}) \quad\mathop{\mathrm{Tr}}(AX)=\mathop{\mathrm{Tr}}(BX)\] Montrer que \(A=B\).
Si \(A=((a_{i,j})\) et \(X=((x_{i,j}))\), on calcule \[\mathop{\mathrm{Tr}}(AX) = \sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^n a_{i,k}x_{k,i}\] En prenant \(X= E_{pq}\), on a \(x_{k,i}=\delta_{k,p}\delta_{i,q}\), \(\mathop{\mathrm{Tr}}(AX)= a_{q,p}\), donc \(\forall q,p\in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]\), \(a_{q,p}=b_{q,p}\) et par suite \(A=B\).
On se donne deux matrices \(A, B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\). Trouver toutes les matrices \(X \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) vérifiant : \[X + \mathop{\mathrm{Tr}}(X)A =B.\]
Soit une matrice \(X\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })\) solution. Alors \(\mathop{\mathrm{Tr}}(X)+ \mathop{\mathrm{Tr}}(X)\mathop{\mathrm{Tr}}(A)=\mathop{\mathrm{Tr}}(B)\). Il faut étudier deux cas :
Si \(\mathop{\mathrm{Tr}}(A)\neq -1\), alors \(\mathop{\mathrm{Tr}}(X)=\dfrac{\mathop{\mathrm{Tr}}(B)}{1+\mathop{\mathrm{Tr}}(A)}\) et alors \(X=B-\dfrac{\mathop{\mathrm{Tr}}(B)}{1+\mathop{\mathrm{Tr}}(A)} A\). Réciproquement, on vérifie que cette matrice convient.
Si \(\mathop{\mathrm{Tr}}(A)=-1\), alors en prenant la trace dans l’égalité \(X + \mathop{\mathrm{Tr}}(X)A =B\) on déduit \(\mathop{\mathrm{Tr}}(X) + \mathop{\mathrm{Tr}}(X)\mathop{\mathrm{Tr}}(A) = \mathop{\mathrm{Tr}}(B)\) soit \(\mathop{\mathrm{Tr}}(B) = 0\). Donc si \(\mathop{\mathrm{Tr}}(B) \neq 0\), il n’y a pas de solution.
Conclusion : Si \(\mathop{\mathrm{Tr}}(A)\neq -1\), \(\mathcal{S}=\left\lbrace B-\dfrac{\mathop{\mathrm{Tr}}(B)}{1+\mathop{\mathrm{Tr}}(A)}A \right\rbrace\). Si \(\mathop{\mathrm{Tr}}(A)=-1\) et \(\mathop{\mathrm{Tr}}(B)\neq 0\), \(\mathcal{S}= \varnothing\). Si \(\mathop{\mathrm{Tr}}(A)=-1\) et \(\mathop{\mathrm{Tr}}(B)=0\), alors \(\mathcal{S}=\{ B+\lambda A; \lambda \in \mathbb{R} \}\).
Trouver toutes les formes linéaires \(\varphi\) sur \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\) vérifiant \[\forall (A,B) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} }) ^2, \quad\varphi(AB) = \varphi(BA)\]
Soit \(\varphi\) une telle forme linéaire. Avec des matrices élémentaires, il vient pour tout \(i,j,k,\ell\in\llbracket 1,n\rrbracket\), \(\varphi\left(E_{ij}E_{kl}-E_{kl}E_{ij}\right)=0\) soit \(\varphi\left(\delta_{jk}E_{il}-\delta_{\ell i}E_{kj}\right)=0\). Si \(j=k\) et \(i\neq \ell\) il s’ensuit que \(\varphi\left(E_{i\ell}\right)=0\). Et si \(j=k\) et \(i= \ell\) alors \(\varphi\left(E_{ii}-E_{jj}\right)=0\). Donc \(\varphi\) est nulle sur tous les vecteurs \(E_{i\ell}\) de la base canonique tel que \(i\neq \ell\) et constante sur ceux tels que \(i=\ell\). On en déduit que pour une matrice \(A=\left(a_{ij}\right)\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\) alors \(\varphi\left(A\right)= \gamma \sum_{i=1}^n a_{ii}=\gamma \mathop{\mathrm{Tr}}\left(A\right)\) où \(\gamma=\varphi\left(E_{11}\right)\). Donc \(\varphi\in\mathop{\mathrm{Vect}}\left(\mathop{\mathrm{Tr}}\right)\). Réciproquement, si \(\varphi\) est proportionnelle à la trace, alors \(\varphi\) vérifie \(\forall (A,B) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} }) ^2, \quad\varphi(AB) = \varphi(BA)\).
Soient deux matrices \(A,B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\). On note \[= \mathop{\mathrm{Tr}}(A{B}^{\mathrm{T}})\]
Calculer \(\) en fonction des coefficients de \(A\) et \(B\).
Vérifier que \(=<B,A>\)
On note \(\left\| A \right\| = \sqrt{ <A,A> }\). Montrer que \(\left\| A \right\| = 0 \Longleftrightarrow A=0\).
Montrer que \(A\mapsto <A,B>\) et \(B\mapsto <A,B>\) sont des formes linéaires sur \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\).
Montrer que \(\left| <A,B> \right| \leqslant\left\| A \right\| \left\| B \right\|\).
On a prouvé que \(\) est un produit scalaire sur \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\), voir le chapitre [chap_prod_scal]. L’inégalité prouvée dans la dernière question n’est autre que celle de Cauchy-Schwarz. Voir le théorème [Cauchy-Schwarz] page [Cauchy-Schwarz].
On utilise la formule du produit matriciel. Si \(A=\left(a_{ij}\right)\) et si \(B=\left(b_{ij}\right)\) Pour tout \(i,j\in\llbracket 1,n\rrbracket\), \(\left[A {B}^{\mathrm{T}}\right]_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{jk}\) donc \(\boxed{<A,B>=\mathop{\mathrm{Tr}}\left(A {B}^{\mathrm{T}}\right)=\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{ik}}\).
C’est évident d’après la formule précédente.
On utilise à nouveau la formule précédente : \(\left\|A\right\|^2=\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^n a_{ik}^2\). Le résultat en découle immédiatement.
On montre facilement la linéarité de \(A\mapsto <A,B>\) en utilisant la linéarité de \(\mathop{\mathrm{Tr}}\). D’après la question 2., \(B\mapsto <A,B>\) est aussi linéaire.
Pour tout \(t\in\mathbb{R}\), \[0\leqslant\left\|A+tB\right\|^2=<A+tB,A+tB>=\left\|B\right\|^2 t^2 +2<A,B>t+\left\|A\right\|^2 .\] On obtient ainsi un trinôme du second degré en \(t\). Son discriminant est \(\Delta= <A,B>^2-\left\|A\right\|^2\left\|B\right\|^2\). Comme ce trinôme est positif, il admet au plus une racine réelle et donc \(\Delta\leqslant 0\). On en déduit que \(^2-\left\|A\right\|^2\left\|B\right\|^2\leqslant 0\) et donc que \(\left| <A,B> \right| \leqslant\left\| A \right\| \left\| B \right\|\).