Opérations sur les matrices

  1. Les exercices
  2. Vue compacte

Exercices du dossier Opérations sur les matrices

Exercice 745 *

29 mars 2021 18:23 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient les matrices  : \[A=\left(\begin{array}{ccc} -1&0&1\\ 0&2&-1\\ -2&1&0 \end{array}\right) \quad \textrm{ et} \quad B= \left(\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ -1&0&2\\ 2&-1&2 \end{array}\right)\]

  1. Calculer : \(AB\) et \(BA\).

  2. Calculer : \({\left(AB\right)}^{\mathrm{T}}\) et \({B}^{\mathrm{T}}\), \({A}^{\mathrm{T}}\) et \({B}^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}\).

  3. Calculer : \(\mathop{\mathrm{Tr}}\left(A\right)\), \(\mathop{\mathrm{Tr}}\left(B\right)\), \(\mathop{\mathrm{Tr}}\left(AB\right)\) et \(\mathop{\mathrm{Tr}}\left(BA\right)\).

  4. Développer :\(\left(A+B\right)^2\).


[ID: 1523] [Date de publication: 29 mars 2021 18:23] [Catégorie(s): Opérations sur les matrices ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 745
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 29 mars 2021 18:23

  1. \(AB=\left( \begin {array}{ccc} 1&-2&1\\-4&1&2 \\-3&-2&0\end {array} \right)\) et \(BA=\left( \begin {array}{ccc} -3&3&0\\-3&2&-1 \\-6&0&3\end {array} \right)\). On remarque que \(AB\neq BA\).

  2. \({\left(AB\right)}^{\mathrm{T}}=\left( \begin {array}{ccc} 1&-4&-3\\-2&1&-2 \\1&2&0\end {array} \right)\), \({B}^{\mathrm{T}}=\left( \begin {array}{ccc} 1&-1&2\\1&0&-1 \\1&2&2\end {array} \right)\), \({A}^{\mathrm{T}}=\left( \begin {array}{ccc} -1&0&-2\\0&2&1 \\1&-1&0\end {array} \right)\) et \({B}^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}=\left( \begin {array}{ccc} 1&-4&-3\\-2&1&-2 \\1&2&0\end {array} \right) = {\left(AB\right)}^{\mathrm{T}}\).

  3. \(\mathop{\mathrm{Tr}}\left(A\right)=1\), \(\mathop{\mathrm{Tr}}\left(B\right)=3\), \(\mathop{\mathrm{Tr}}\left(AB\right)=2\) et \(\mathop{\mathrm{Tr}}\left(BA\right)=2\). On a bien : \(\mathop{\mathrm{Tr}}\left(AB\right)=\mathop{\mathrm{Tr}}\left(BA\right)\)

  4. \(\left(A+B\right)^2=A^2+AB+BA+B^2 \neq A^2+2AB+B^2\) car \(AB\neq BA\). De manière plus générale, la formule du binôme ne s’applique pour développer \(\left(A+B\right)^n\) que si \(A\) et \(B\) commutent.


Exercice 349 *

29 mars 2021 18:23 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer lorsque cela est possible les produits \(AB\) et \(BA\) :

  1. \[A= \left(\begin{array}{cccc} -1&0&1&1\\ 2&1&0&0 \end{array}\right) \quad \textrm{ et} \quad B= \left(\begin{array}{ccc} 1&0\\ 0&1\\ 1&2\\ -1&1 \end{array}\right)\]

  2. \[A= \left(\begin{array}{c} 1 \end{array}\right) \quad \textrm{ et} \quad B= \left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 1 \end{array}\right)\]

  3. \[A= \left(\begin{array}{cccc} 1&1&1&1 \end{array}\right) \quad \textrm{ et} \quad B= \left(\begin{array}{c} -1\\ 1\\ 0\\ 1 \end{array}\right)\]


[ID: 1525] [Date de publication: 29 mars 2021 18:23] [Catégorie(s): Opérations sur les matrices ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 349
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 29 mars 2021 18:23

  1. \(AB=\left( \begin {array}{cc} -1&3\\2&1\end {array} \right)\) et \(BA=\left( \begin {array}{cccc} -1&0&1&1\\2&1&0&0 \\3&2&1&1\\3&1&-1&-1\end {array} \right)\).

  2. Le produit \(AB\) n’est pas possible. Par contre : \(BA= B\).

  3. \(AB=\left( \begin {array}{c} 1\end {array} \right)\) et \(BA=\left( \begin {array}{cccc} -1&-1&-1&-1\\1&1&1&1 \\0&0&0&0\\1&1&1&1\end {array} \right)\)


Exercice 228 **

29 mars 2021 18:23 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

  1. Soient \(i,j,k,l\in\llbracket 1,n\rrbracket\) et \(E_{i,j}\), \(E_{k,l}\) les matrices élémentaires de \(\mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)\) correspondantes. Calculer \(E_{i,j}\times E_{k,l}\).

  2. Soit une matrice \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\). On suppose que \(A\) commute avec toutes les matrices diagonales. Montrer que \(A\) est une matrice diagonale.

  3. Trouver les matrices \(A\in\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) qui commutent avec toutes les matrices symétriques.


[ID: 1527] [Date de publication: 29 mars 2021 18:23] [Catégorie(s): Opérations sur les matrices ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 228
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 29 mars 2021 18:23

  1. On vérifie facilement que \(E_{i,j}\times E_{k,\ell}=\delta_{j,k} E_{i,\ell}\)

  2. Notons \(A=((a_{i,j}))\). Soit \(k\in \llbracket 1,n\rrbracket\). Comme \(A\) commute avec la matrice \(E_{k,k}\), on a \[AE_{k,k} = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\] et \[E_{k,k}A = a_{i,j}E_{i,j}E_{k,k}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{i,j}E_{k,k}E_{i,j}\] et donc \[\sum_{i=1}^n a_{i,k}E_{i,k}=\sum_{j=1}^n a_{k,j}E_{k,j},\] Ceci pour tout indice \(k\).

    Comme le membre de gauche est une matrice nulle sauf peut-être sur la \(k\)-ième colonne et le membre de droite, une matrice nulle sauf peut-être sur la \(k\)-ième ligne. On en déduit que pour \(i\neq k\), \(a_{i,k}=0\) et donc que \(A\) est une matrice diagonale. La réciproque est claire.

  3. Soit une matrice \(A = ((a_{i,j}))\) qui commute avec toutes les matrices symétriques. Soit \(k \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]\). La matrice \(E_{k,k}\) est symétrique, et on calcule \[AE_{kk} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i,j}E_{i,j}E_{k,k} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i,j} \delta_{j,k}E_{i,k} = \sum_{i=1}^n a_{i,k}E_{i,k}\] \[E_{kk}A = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i,j} E_{k,k}E_{i,j} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i,j} \delta_{k,i}E_{k,j} = \sum_{j=1}^n a_{k,j}E_{k,j}\] Par conséquent, les coefficients de la matrice \(AE_{k,k}\) sont nuls, sauf sur la \(k\)-ième colonne où ce sont les coefficients de la \(k\)-ième colonne de la matrice \(A\). De même, les coefficients de la matrice \(E_{kk}A\) sont tous nuls sauf sur la \(k\)-ième ligne, où l’on retrouve les coefficients de la matrice \(A\). Puisque \(AE_{k,k} = E_{k,k}A\), on en déduit que \(\forall (i, k) \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]^2\), \(i \neq k \Rightarrow a_{i,k} = a_{k,i} = 0_{\mathbb{K} }\). La matrice \(A\) est donc nécessairement une matrice diagonale : \(A = \sum_{i=1}^n d_i E_{i,i}\).

    Considérons ensuite pour \((k, \ell) \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]^2\), \(k \neq \ell\), la matrice symétrique \(S = E_{k,\ell} + E_{\ell, k}\). On calcule \[AS = \sum_{i=1}^n d_i E_{i,i}E_{k,\ell} + \sum_{i=1}^n d_i E_{i,i}E_{\ell, k} = d_k E_{k,\ell} + d_\ell E_{\ell, k}\] \[SA = \sum_{i=1}^n d_iE_{k,\ell}E_{i,i} + \sum_{i=1}^n d_iE_{\ell, k}E_{i,i} = d_\ell E_{k,\ell} + d_k E_{\ell, k}\] Puisque le système \((E_{k,\ell}, E_{\ell, k})\) est libre, on trouve que \(d_\ell = d_k\). En définitive, la matrice \(A\) doit être une matrice scalaire : \(\exists \alpha \in \mathbb{K}\) tel que \(A = \alpha I_n\). Réciproquement, une matrice scalaire commute avec toute matrice, donc avec toute matrice symétrique.


Exercice 652 **

29 mars 2021 18:23 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit une matrice \(A=((a_{i,j}))\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\) et deux indices \((k,l) \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]^2\).

  1. Déterminer les matrices \(AE_{k,l}\) et \(E_{k,l}A\).

  2. Trouver toutes les matrices \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\) vérifiant : \(\forall B\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} }) , \quad AB=BA\).


[ID: 1529] [Date de publication: 29 mars 2021 18:23] [Catégorie(s): Opérations sur les matrices ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 652
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 29 mars 2021 18:23

  1. On sait que \(A=\sum_{i,j=1\dots n} a_{i,j}E_{ij}\) donc \[AE_{k,l} = \sum_{i,j=1\dots n} a_{i,j}E_{i,j} E_{k,l}=\sum_{i,j=1\dots n} a_{i,j} \delta_{j,k}E_{i,l}= \sum_{i=1\dots n} a_{i,k}E_{i,l}\] \[E_{k,l} A= \sum_{i,j=1\dots n} a_{i,j} E_{k,l}E_{i,j}=\sum_{i,j=1\dots n} a_{i,j} \delta_{l,i}E_{k,j}= \sum_{j=1\dots n} a_{l,j}E_{k,j}\]

  2. Si pour tout \(B\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\), \(AB=BA\), alors en particulier, pour tout \(k,l\in\llbracket 1,n\rrbracket\), \(E_{k,l}A=AE_{l,k}\) et donc \(\sum_{i=1\dots n} a_{i,k}E_{i,l}=\sum_{j=1\dots n} a_{l,j}E_{k,j}\). Mais la famille \(\left(E_{i,j}\right)\) est libre donc cette égalité n’a lieu que si \(a_{i,k}=0\) pour \(i\neq k\) et si \(a_{i,i}=a_{j,j}\) pour tout \(i,j\in\llbracket 1,n\rrbracket\), autrement dit que si \(A\) est scalaire. Réciproquement, si \(A\) est scalaire alors elle commute avec toutes les matrices de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\).


Exercice 151 **

29 mars 2021 18:23 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le produit de deux matrices symétriques soit encore une matrice symétrique.


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Solution

Exercice 151
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 29 mars 2021 18:23

Soit \(C=AB\), où \(A = \left( a_{i,j}\right)_{\substack{ 1\leqslant i \leqslant n\\ 1\leqslant j \leqslant n}}\) et \(B = \left( b_{i,j}\right)_{\substack{ 1\leqslant i \leqslant n\\ 1\leqslant j \leqslant n}}\) sont deux matrices carrées symétriques. On a \(c_{i,j}=\displaystyle \sum_{k=1}^n a_{i,k} b_{k,j} = \sum_{k=1}^n a_{k,i} b_{j,k} = \sum_{k=1}^n b_{j,k} a_{k,i} = c'_{j,i}\) avec \(C'=BA\). Donc \(c_{i,j}=c_{j,i}\) si et seulement si \(C = C'\) c’est-à-dire lorsque \(A\) et \(B\) commutent.
Plus synthétiquement : \({(AB)}^{\mathrm{T}} = {B}^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}} = BA\) car \(A = {A}^{\mathrm{T}}\) et \(B = {B}^{\mathrm{T}}\). Donc \({(AB)}^{\mathrm{T}} = AB\) si et seulement si \(AB = BA\).


Exercice 763 **

29 mars 2021 18:23 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère la matrice \[J = \begin{pmatrix} 0 & 1 & \ldots & \mathbb{O}\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ & &0 & 1 \\ \mathbb{O}& \ldots & 0 & 0 \end{pmatrix}\] Calculer \({J}^{\mathrm{T}}J\), et \(J{J}^{\mathrm{T}}\).


[ID: 1533] [Date de publication: 29 mars 2021 18:23] [Catégorie(s): Opérations sur les matrices ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 763
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 29 mars 2021 18:23

On considère \(\mathcal B = (e_i)_{1\leqslant i \leqslant n}\) la base canonique de \(\mathbb{R}^n\) et \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\) défini par \(u(e_1) = 0\) et \(u(e_i) = e_{i-1}\) pour \(i\geqslant 2\). \(J\) est la matrice de \(u\) dans \(\mathcal B\). \({J}^{\mathrm{T}}\) est la matrice de \(v\) dans \(\mathcal B\), avec \(v(e_i) = e_{i+1}\) pour \(i\leqslant n-1\) et \(v(e_n) = 0\). \({J}^{\mathrm{T}}J\) est la matrice de \(v\circ u\) dans \(\mathcal B\). On a \(v\circ u(e_1) = 0\) et \(v\circ u(e_i) = v(e_{i-1}) = e_i\). Donc \[{J}^{\mathrm{T}}J = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \dots& \dots& \dots& 0 \\ 0 & 1 & 0 & \dots& \dots& \vdots \\ \vdots & 0 & 1 & 0 & \dots& \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & \dots& \dots& 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad \textrm{ de même } \qquad J{J}^{\mathrm{T}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots& \dots& \dots& 0 \\ 0 & 1 & 0 & \dots& \dots& \vdots \\ \vdots & 0 & 1 & 0 & \dots& \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & & \ddots & \ddots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dots& \dots& 0 & 0 \end{pmatrix}\]


Exercice 664 **

29 mars 2021 18:23 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On définit pour \(i \neq j\), la matrice \(T_{ij}^{\lambda} \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) par \[T_{ij}^{\lambda} = I+\lambda E_{i,j}\] Soit une matrice \(A\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\). Calculer \(AT_{ij}^{\lambda}\) et \(T_{ij}^{\lambda}A\). Interpréter le résultat trouvé.


[ID: 1535] [Date de publication: 29 mars 2021 18:23] [Catégorie(s): Opérations sur les matrices ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 664
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 29 mars 2021 18:23

Soit \(e_i\) les vecteurs colonnes de la base canonique de \(\mathbb{R}^n\). On a \(T_{ij}^{\lambda} e_k = e_k\) pour \(k\neq i\) et \(T_{ij}^{\lambda} e_j = e_j + \lambda e_i\). On en déduit que la \(k\)-ième colonne de la matrice de \(AT_{ij}^{\lambda}\) est \(AT_{ij}^{\lambda}e_k = Ae_k\) pour \(k\neq i\) et \(AT_{ij}^{\lambda} e_j = Ae_j + \lambda Ae_i\). Moralité : la matrice \(AT_{ij}^{\lambda}\) est obtenue en ajoutant \(\lambda\) fois la \(i\)-ème colonne de \(A\) à sa \(j\)-ème colonne.
De même (par exemple en transposant) la matrice \(T_{ij}^{\lambda}A\) est obtenue en ajoutant \(\lambda\) fois la \(j\)-ème ligne de \(A\) à sa \(i\)-ème ligne.
Moralité : Lorsqu’on multiplie à gauche (par une matrice \(T_{ij}^{\lambda}\)) on agit sur les lignes. Quelle action ? Il suffit de le voir sur la matrice \(I_n\).


Exercice 52 **

29 mars 2021 18:23 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(A\in \mathfrak{M}_{n,p}(\mathbb{R})\) telle que \[\forall (X,Y) \in \mathfrak{M}_{n,1}(\mathbb{R}) \times\mathfrak{M}_{p,1}(\mathbb{R}) \quad{X}^{\mathrm{T}}AY = 0.\]

  1. Montrer que \(A=0\).

  2. Trouver une matrice \(2 \times 2\) non-nulle telle que \[\forall X \in \mathfrak{M}_{21}(\mathbb{R}) \quad^tXAX = 0 .\]


[ID: 1537] [Date de publication: 29 mars 2021 18:23] [Catégorie(s): Opérations sur les matrices ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 52
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 29 mars 2021 18:23

  1. Soit \(f_j\) la \(j\)-ème matrice de la base naturelle de \(\mathfrak{M}_{p,1}(\mathbb{R})\) et \(e_i\) la \(i\)-ème matrice de la base naturelle de \(\mathfrak{M}_{n,1}(\mathbb{R})\). On a \({e_i}^{\mathrm{T}}Af_j = a_{i,j}\) d’où le résultat.

  2. \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\).


Exercice 782 **

29 mars 2021 18:23 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient deux matrices \(A,B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) telles que : \[\forall C \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R}) \quad ACB=0\] Montrer que \(A=0\) ou \(B=0\).


[ID: 1539] [Date de publication: 29 mars 2021 18:23] [Catégorie(s): Opérations sur les matrices ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 782
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 29 mars 2021 18:23

On traduit l’énoncé avec des endomorphismes : Soit \(u,v\in\mathcal L(\mathbb{R}^n)\) tels que \(\forall w\in\mathcal L(\mathbb{R}^n),\; u\circ w\circ v =0\). Démonter que \(u=0\) ou \(v=0\).
Par contraposée : Supposons \(u\neq0\) et \(v\neq0\). Donc \(\exists x\in\mathbb{R}^n\) tel que \(z = v(x)\neq0\) et \(\exists y\in\mathbb{R}^n\) tel que \(u(y)\neq0\). On construit alors \(w\in\mathcal L(\mathbb{R}^n)\) tel que \(w(z) = y\). On a alors \((u\circ w\circ v)(x) = u(y)\neq0\). Donc \(u\circ w\circ v\neq0\).


Exercice 875 **

29 mars 2021 18:23 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit deux matrices colonnes non nulles \(X, Y \in \mathfrak{M}_{n,1}(\mathbb{R})\).

  1. Montrer que la matrice \(X{Y}^{\mathrm{T}}\) est de rang \(1\).

  2. Montrer que toute matrice carrée \(A\) de rang \(1\) peut s’écrire sous la forme ci-dessus.

  3. Soit une matrice \(A\in\mathfrak{M}_{n1}(\mathbb{R})\) de rang \(1\). Montrer qu’il existe \(\lambda \in \mathbb{R}\) tel que \[A^2 = \lambda A\] et exprimer \(\lambda\) en fonction de \(X\) et \(Y\).


[ID: 1541] [Date de publication: 29 mars 2021 18:23] [Catégorie(s): Opérations sur les matrices ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 875
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 29 mars 2021 18:23

  1. Le rang de \(X\) et de \({Y}^{\mathrm{T}}\) égale \(1\) donc le rang du produit est \(\leqslant 1\). Par exemple parce que toutes les lignes (ou les colonnes) sont proportionnelles, ou bien parce que si \(u\) et \(v\) sont deux applications linéaires, \(u\circ v\) (si elle existe) a un rang inférieur au rang de \(u\). Le rang de \(X{Y}^{\mathrm{T}}\) n’est pas \(0\) manifestement.

  2. Comme \(A\neq0\), on choisit un élément \(a_{ij}\neq0\). Comme \(A\) est de rang \(1\), toutes les lignes sont proportionnelles à la \(i\)-ème ligne : \(L_k = \alpha_k L_i\). Donc on peut prendre \(X = (\alpha_1,\ldots,\alpha_{i-1},1,\alpha_{i+1},\ldots,\alpha_n)\) et \(Y = (a_{i1},\ldots,a_{in})\).

  3. On écrit \(A = X{Y}^{\mathrm{T}}\), d’où \(A^2 = AA = X{Y}^{\mathrm{T}}X{Y}^{\mathrm{T}}\). Comme \({Y}^{\mathrm{T}}X\) est un réel, il commute à \(X\). Donc \(AA = ({Y}^{\mathrm{T}}X)X{Y}^{\mathrm{T}} = ({Y}^{\mathrm{T}}X)A\). On peut donc prendre \(\lambda = {Y}^{\mathrm{T}}X\).


Exercice 787 **

29 mars 2021 18:23 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer toutes les formes linéaires \(\varphi\) sur \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) vérifiant : \[\forall A,B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R}) \quad\varphi(AB)=\varphi(B{A}^{\mathrm{T}})\]


[ID: 1543] [Date de publication: 29 mars 2021 18:23] [Catégorie(s): Opérations sur les matrices ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 787
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 29 mars 2021 18:23

Remarque : Si \(n=1\), alors toutes les formes linéaires conviennent.
On prend \(n>1\). Une forme linéaire est définie par ses images des vecteurs d’une base, donc ici les \(\varphi\left( E_{i,k}\right)\).
Or \(E_{i,k} = E_{i,j}E_{j,k}\) donc en choisissant \(A = E_{i,j}\) et \(B=E_{j,k}\) avec \(k\neq j\) (c’est possible puisque \(n>1\)) on a \(B{A}^{\mathrm{T}} = E_{j,k}E_{j,i} = 0\). Donc \(\varphi\left( E_{i,k}\right) = 0\) et \(\varphi\) est la forme nulle.


Exercice 341 **

29 mars 2021 18:23 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère deux matrices \(A\) et \(B\) de \(\mathfrak{M}_{2}\left((\right)\mathbb{R} )\), et \(C=AB\).

  1. Calculer le nombre d’additions, puis de multiplications nécessaires au calcul de \(C\).

  2. On pose : \(S_1 = a_{2,1} - a_{1,1};\; S_2 = a_{1,1} + a_{1,2};\; S_3 = a_{1,2} - S_{1};\; S_4 = a_{2,2} - S_{3};\; S_5 = b_{2,2} - b_{1,2};\; S_6 = b_{1,2} - b_{1,1};\; S_7 = b_{1,1} + S_{5};\; S_8 = b_{2,1} - S_{7}\).
    \(P_1 = a_{2,1}b_{1,1};\; P_2 = a_{2,2}b_{2,1};\; P_3 = S_{1}S_{5};\; P_4 = S_{2}S_{6};\; P_5 = S_{4}b_{2,2};\; P_6 = a_{1,2}S_{8};\; P_7 = S_{3}S_{7}\). Enfin \(S_9 = P_1 + P_7;\; S_{10} = S_9 + P_3;\; S_{11} = P_4 + P_5\).
    Démontrer que \(c_{1,1} = S_{10} + P_6;\; c_{1,2} = S_{10} + P_4;\; c_{2,1} = P_1 + P_2;\; c_{2,2} = S_9 + S_{11}\).

  3. Calculer le nombre d’additions, puis de multiplications nécessaires au calcul de \(C\) par cette nouvelle méthode.


[ID: 1545] [Date de publication: 29 mars 2021 18:23] [Catégorie(s): Opérations sur les matrices ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 341
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 29 mars 2021 18:23

  1. Il y a \(4\) coefficients à calculer. Pour chacun d’eux il y a deux multiplications et une addition. Soit \(8\) multiplications et \(4\) additions.

  2. \(S_{10} + P_6 = S_9 + P_3 + a_{1,2}S_{8} = P_1 + P_7 + S_{1}S_{5} + a_{1,2}( b_{2,1} - S_{7}) = a_{2,1}b_{1,1} + S_{3}S_{7} + (a_{2,1} - a_{1,1})(b_{2,2} - b_{1,2}) + a_{1,2} b_{2,1} - a_{1,2}(b_{1,1} + S_{5}) = a_{2,1}b_{1,1} + (a_{1,2} - S_{1})(b_{1,1} + S_{5}) + a_{2,1} b_{2,2} - a_{2,1} b_{1,2} - a_{1,1} b_{2,2} + a_{1,1}b_{1,2} + a_{1,2} b_{2,1} - a_{1,2}b_{1,1} - a_{1,2}(b_{2,2} - b_{1,2}) = a_{2,1}b_{1,1} + a_{1,2}b_{1,1} + a_{1,2}(b_{2,2} - b_{1,2}) - (a_{2,1} - a_{1,1})b_{1,1} - (a_{2,1} - a_{1,1})(b_{2,2} - b_{1,2}) + a_{2,1} b_{2,2} - a_{2,1} b_{1,2} - a_{1,1} b_{2,2} + a_{1,1} b_{1,2} + a_{1,2} b_{2,1} - a_{1,2}b_{1,1} - a_{1,2}b_{2,2} + a_{1,2}b_{1,2} = a_{2,1}b_{1,1} + a_{1,2}b_{1,1} + a_{1,2}b_{2,2} - a_{1,2}b_{1,2} - a_{2,1}b_{1,1} + a_{1,1}b_{1,1} - a_{2,1}b_{2,2} + a_{2,1}b_{1,2} + a_{1,1}b_{2,2} - a_{1,1}b_{1,2} + a_{2,1} b_{2,2} - a_{2,1} b_{1,2} - a_{1,1} b_{2,2} + a_{1,1}b_{1,2} + a_{1,2} b_{2,1} - a_{1,2}b_{1,1} - a_{1,2}b_{2,2} + a_{1,2}b_{1,2} = a_{1,1}b_{1,1} + a_{1,1}b_{2,2} - a_{1,1}b_{1,2} - a_{1,1} b_{2,2} + a_{1,1}b_{1,2} + a_{1,2}b_{1,1} + a_{1,2}b_{2,2} - a_{1,2}b_{1,2} + a_{1,2} b_{2,1} - a_{1,2}b_{1,1} - a_{1,2}b_{2,2} + a_{1,2}b_{1,2} + a_{2,1}b_{1,1} - a_{2,1}b_{1,1} - a_{2,1}b_{2,2} + a_{2,1}b_{1,2} + a_{2,1} b_{2,2} - a_{2,1}b_{1,2} = a_{1,1}b_{1,1} + a_{1,2} b_{2,1} + 0 = c_{1,1}\). Les trois autres calculs sont tout aussi jubilatoires.

  3. Il y a \(7\) multiplications et \(11\) additions. Le deuxième algorithme est plus rapide dès qu’une addition est \(7\) fois plus rapide qu’une addition. Dans ce cas on constate que le gain en rapidité est au détriment de la place mémoire utilisée.


Opérations par blocs **

11 avril 2024 17:49 — Par Michel Quercia

  1. Soient \(A_{1} \in \mathcal M _{n,p_{1}}(\mathbb{K})\), \(A_{2} \in \mathcal M _{n,p_{2}}(\mathbb{K})\), \(B_{1} \in \mathcal M _{p_{1},q}(\mathbb{K})\), \(B_{2} \in \mathcal M _{p_{2},q}(\mathbb{K})\).

    On pose \(A = \begin{pmatrix}A_{1}&A_{2}\end{pmatrix} \in \mathcal M _{n,p_{1}+p_{2}}(\mathbb{K})\) et \(B = \begin{pmatrix}B_{1}\\ B_{2}\end{pmatrix} \in \mathcal M _{p_{1}+p_{2},q}(\mathbb{K})\).

    Montrer que \(AB = A_{1}B_{1} + A_{2}B_{2}\).

  2. Soit \(M = \begin{pmatrix}A & B \\ 0 & C\end{pmatrix}\) où \(A,B,0,C\) sont des matrices de tailles \(p\times p\), \(p\times q\), \(q\times p\), \(q\times q\) (matrice triangulaire par blocs). Montrer que \(M\) est inversible si et seulement si \(A\) et \(C\) le sont. Le cas échéant, donner \(M^{-1}\) sous la même forme.

  3. En déduire une démonstration de la propriété : L’inverse d’une matrice triangulaire est triangulaire.


[ID: 4641] [Date de publication: 11 avril 2024 17:49] [Catégorie(s): Opérations sur les matrices ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Opérations par blocs
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 17:49

  1. \(M^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}&-A^{-1}BC^{-1}\\ 0&C^{-1}\end{pmatrix}\).


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