Rang d'une famille de vecteurs
Exercices du dossier Rang d'une famille de vecteurs
Exercice 90 *
15 février 2021 14:33 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces
Déterminer le rang des familles \(\left(v_1,v_2,v_3,v_4\right)\) de vecteurs de \(\mathbb{R}^4\) donnés par :
\(v_1=\left(1,1,0,0\right), v_2=\left(1,0,1,0\right),v_3=\left(1,0,0,1\right),v_4=\left(0,0,1,1\right)\).
\(v_1=\left(1,1,0,0\right), v_2=\left(1,0,1,0\right),v_3=\left(1,0,0,1\right),v_4=\left(1,1,1,-1\right)\).
[ID: 1418] [Date de publication: 15 février 2021 14:33] [Catégorie(s): Rang d'une famille de vecteurs ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 90
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 15 février 2021 14:33
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 15 février 2021 14:33
La famille est libre donc son rang est \(4\).
Comme \(v_4=v_1+v_2-v_3\), d’après le lemme de réduction d’une famille liée, \(\dim Vect\left(v_1,v_2,v_3,v_4\right)=\dim Vect\left(v_1,v_2,v_3\right)\). La famille \(\left(v_1,v_2,v_3\right)\) est une sous-famille de celle étudiée dans la première question et qui était libre. Elle est donc libre. On en déduit que le rang de la famille est \(3\).
Exercice 547 *
15 février 2021 14:33 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces
Dans le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(\mathscr F\left([0,1[,\mathbb{R}\right)\), on considère: \[f_1 : x \mapsto \sqrt{{\scriptstyle 1+x\over\scriptstyle 1-x}} \quad f_2 : x \mapsto \sqrt{{\scriptstyle 1-x\over\scriptstyle 1+x}}\] \[f_3 : x \mapsto {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sqrt{1-x^2}} \quad f_4 : x \mapsto {\scriptstyle x\over\scriptstyle\sqrt{1-x^2}}\] Quel est le rang de la famille \(\left(f_1,f_2,f_3,f_4\right)\)?
[ID: 1420] [Date de publication: 15 février 2021 14:33] [Catégorie(s): Rang d'une famille de vecteurs ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
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Exercice 547
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 15 février 2021 14:33
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 15 février 2021 14:33
Pour tout \(x\in[0,1[\), \(f_1\left(x\right)= {\scriptstyle 1+x\over\scriptstyle\sqrt{1-x^2}}=f_3\left(x\right)+f_4\left(x\right)\) et \(f_2\left(x\right)= {\scriptstyle 1-x\over\scriptstyle\sqrt{1-x^2}}=f_3\left(x\right)-f_4\left(x\right)\) donc \(\mathop{\mathrm{rg}}\left(f_1,f_2,f_3,f_4\right) = \mathop{\mathrm{rg}}\left(f_3,f_4\right)=2\) car cette dernière famille est libre