Transformations du plan complexe

  1. Les exercices
  2. Vue compacte

Exercices du dossier Transformations du plan complexe

Exercice 228 *

4 janvier 2021 22:43 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Identifier les transformations complexes suivantes :

  1. \(f_1 : z\mapsto z+1+i\).

  2. \(f_2 : z\mapsto e^{i\pi/6}z\).

  3. \(f_3 : z\mapsto e^{i\pi/3}z+1\).

  4. \(f_4 : z\mapsto 2z+1-i\).

  5. \(f_5 : z\mapsto -z+2-i\).

  6. \(f_6 : z\mapsto \bar z\).

  7. \(f_7 : z\mapsto \left(1+i\right)z+{i}\).

  8. \(f_8 : z\mapsto \left(1+i\sqrt 3\right)z+{1}\).


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Exercice 230 *

4 janvier 2021 22:43 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Donner les applications qui représentent dans le plan complexe les transformations suivantes :

  1. La translation de vecteur d’affixe \(-2+i\).

  2. La symétrie de centre \(i\).

  3. La rotation d’angle \(\pi/6\) et de centre \(1\).

  4. L’homothétie de rapport \(3\) et de centre \(1+2i\).

  5. La similitude de rapport \(2\), d’angle \(\pi/3\) et de centre \(1+i\).


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Exercice 232 *

4 janvier 2021 22:43 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

On considère :

  • le point \(\Omega\) du plan complexe d’affixe \(1+2i\)

  • l’homothétie \(h\) de centre \(\Omega\) et de rapport \(2\).

  • la rotation \(r\) de centre \(\Omega\) et d’angle \(\pi/4\).

  • la transformation du plan complexe \(s=r\circ h\).

Donner l’écriture complexe de \(s\).


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Exercice 234 *

4 janvier 2021 22:43 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Étudier la similitude \(s\) qui envoie le point \(A\) d’affixe \(i\) sur le point \(A'\) d’affixe \(1+\sqrt 3/2 + i/2\) et le point \(B\) d’affixe \(1+i\) sur le point \(B'\) d’affixe \(1+3\sqrt 3 + 2i\).


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Exercice 236 **

4 janvier 2021 22:43 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Démontrer que :

  1. la composée de deux symétries centrales est une translation.

  2. la composée d’une rotation et d’une translation est une rotation.

  3. la composée de deux rotations est une rotation ou une translation.


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Homographies, Centrale MP 2012 ** Centrales MP

11 mars 2024 23:10 — Par Michel Quercia

On note \(\overline{\mathbb{C}} = \mathbb{C}\cup \{ \infty \}\). Pour \((a,b,c,d)\in \mathbb{C}^4\) tel que \(c\neq 0\) on pose \(f(z)=\dfrac{az-b}{cz-d}\) pour tout \(z\in \mathbb{C}\setminus \{ d/c\}\), \(f(d/c)=\infty\) et \(f(\infty )=a/c\).

  1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que \(f\) soit bijective.

  2. Montrer qu’il existe \(z_{0} ,z_{1},z_{2}\) tels que \(f(z)=z_{1}+\dfrac{z_{2}}{z-z_{0} }\), \(f(\infty )=z_{1}\) et \(f(z_{0} )=\infty\).

  3. On pose \(D=\{ z\in \mathbb{C}\text{ tq }|z|<1\}\), \(P=\{ z\in \mathbb{C}\text{ tq }\mathop{\mathrm{Im}}(z)>0\}\) et \(f(z)=\dfrac{z-i}{z+i}.\) Montrer que \(f(P)=D\).

  4. \(f(z)=\dfrac{az-b}{cz-d}\).

    Déterminer toutes les fonctions de ce type telles que \(f(\mathbb U)=\mathbb{R}\cup \{ \infty \}\) avec \(\mathbb U=\{ z\in \mathbb{C}\text{ tq }|z|=1\}\).


[ID: 3423] [Date de publication: 11 mars 2024 23:10] [Catégorie(s): Transformations du plan complexe ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Homographies, Centrale MP 2012
Par Michel Quercia Emmanuel Vieillard-Baron le 11 mars 2024 23:10

  1. En écrivant \(f(z)=\dfrac{a}{c}+ \dfrac{ad-bc}{c(cz-d)}\) on voit facilement que \(f\) est bijective si et seulement si \(ad-bc\neq 0\).

  2. L’écriture de la question précédente donne \(z_{1}=\dfrac{a}{c}\), \(z_{0} =\dfrac{d}{c}\) et \(z_{2}=\dfrac{ad-bc}{c^2 }\).

  3. Soit \(z\in P\). On a \(|f(z)|^2 =\dfrac{|z|^2 +1-2\mathop{\mathrm{Im}}(z)}{|z|^2 +1+2\mathop{\mathrm{Im}}(z)}<1\) car \(\mathop{\mathrm{Im}}(z)>0\). On a donc \(f(P)\subset D\). Soit \(Z\in D\) et \(z\) tel que \(f(z)=\dfrac{z-i}{z+i}=Z\). On a alors \(z=-i\dfrac{Z+1}{Z-1}\) et l’on obtient \(\mathop{\mathrm{Im}}(z)=\dfrac{1-|Z|^2 }{|Z-1|^2 }\). On en déduit que \(z\in P\), puis que \(f(P)=D\).

  4. Il est plus facile de trouver les fonctions réciproques, donc celles qui vérifient \(f(\mathbb{R}\cup \{ \infty \} )=\mathbb U\). On doit avoir, pour tout \(\lambda \in \mathbb{R}\), \(|a\lambda -b|^2 =|c\lambda -d|^2\). En développant on obtient \(|a|=|c|\), \(|b|=|d|\) et \(\mathop{\mathrm{Re}}(\bar a b)=\mathop{\mathrm{Re}}(\bar c d)\). Quitte à multiplier par \(e^{-i\alpha }\), on peut supposer \(a=c\), puis mettre \(a\) en facteur. On se ramène donc à \(f^{-1}\) de la forme \(g(z)=e^{i\alpha } \dfrac{z-\gamma }{z-\delta }.\) On a alors \(|\gamma |=|\delta |\) et \(\mathop{\mathrm{Re}}(\gamma )=\mathop{\mathrm{Re}}(\delta )\). On en déduit que \(\delta =\overline{\gamma }\) (le cas \(\delta =\gamma\) est impossible car \(g\) est bijective. Finalement \(g(z)=e^{i\alpha } \dfrac{z-\gamma }{z-\overline \gamma }\), avec \(\gamma \not\in \mathbb{R}\). En calculant la fonction réciproque on obtient \(f(z)=\dfrac{\overline \gamma z-e^{i\alpha } \gamma }{z-e^{i\alpha } }\). On vérifie bien que \(f(e^{i\theta })=\dfrac{\overline \gamma +\gamma -e^{i(\alpha -\theta )}-e^{i(\theta -\alpha )}} {|e^{i\theta }-e^{i\alpha }|^2 }\in \mathbb{R}\cup \{ \infty \}\).


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