Sous-espaces supplémentaires

Dans le dossier «Sous-espaces supplémentaires»

Sous-espaces supplémentaires

Les exercices

$\bullet$Exercice 196 *
$\bullet$Exercice 919 *
$\bullet$Exercice 1018 *
$\bullet$Exercice 24 *
$\bullet$Exercice 137 *
$\bullet$Exercice 286 *
$\bullet$Infinité des supplémentaires **
$\bullet$Existence d’un supplémentaire commun ***

Exercices dans ce dossier

Exercice 196 *

15 février 2021 14:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer un supplémentaire de \(F=Vect{\left({u},{v}\right)}\) où \({u}=\left(1,0,1\right)\) et \({v}=\left(1,1,0\right)\) dans \(\mathbb{R}^3\)

Exercice 919 *

15 février 2021 14:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E=\mathbb{R}^3\) et \(u=\left(1,1,1\right)\in\mathbb{R}^3\); Posons : \[F=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3 ~|~ x+y-z=0\right\} \quad \textrm{ et} \quad G=Vect\left(u\right)\] Prouver que \(F\) et \(G\) sont des sous-espaces supplémentaires de \(E\).

Exercice 1018 *

15 février 2021 14:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Dans \(E=\mathbb{R}^{4}\), on considère l’ensemble \[F=\{ (x,y,z,t)\in E~|~ x=y \textrm{ et } x-y+t=0 \}\]

Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), et déterminer une base de \(F\).
Déterminer un supplémentaire de \(F\) dans \(E\).
Le supplémentaire trouvé est-il unique?

Exercice 24 *

15 février 2021 14:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit l’espace vectoriel \(E\) des polynômes à coefficients réels de degré \(\leqslant 4\). On considère l’ensemble \[F=\{ P\in E \mid P(0)=P'(0)=P'(1)=0 \}\]

Montrer que \(F\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel, déterminer une base de \(F\) et préciser sa dimension.
Montrer que le sous-espace vectoriel \(G=\mathop{\mathrm{Vect}}(1, X, 1+X+X^2)\) est un supplémentaire de \(F\) dans \(E\).

Exercice 137 *

15 février 2021 14:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Dans l’espace vectoriel \(\mathbb{R}^{4}\), on considère les sous-espaces vectoriels \[F=Vect ( (1,2,1,3), (2,0,0,1) ) \textrm{ et } G=\left\{ (x,y,z,t)\in \mathbb{R}^{4} \mid 2x+y+z=0, x=y\right\}\]

Déterminer les dimensions des sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\).
Montrer que \(F\cap G=\left\{ 0\right\}\).
En déduire que \(\mathbb{R}^{4}=F\oplus G\).

Exercice 286 *

15 février 2021 14:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie \(n\). Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\) vérifiant \(\dim F + \dim G > n\). Montrer que \(F\cap G\neq \left\{ 0_E\right\}\).

Infinité des supplémentaires **

15 février 2021 14:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\) et \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\) différent de \(\left\{ 0\right\}\) et différent de l’espace \(E\). Montrer que \(F\) admet une infinité de supplémentaires dans \(E\).

Faire un dessin dans \(\mathbb{R}^{2}\) lorsque \(F\) est une droite vectorielle.

Existence d’un supplémentaire commun ***

15 février 2021 14:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie. On considère \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\) de même dimension. Le but de cet exercice est de montrer que \(F\) et \(G\) admettent un supplémentaire commun.

Montrer que \(F\cap G\) admet un supplémentaire \(F'\) (resp. \(G'\)) dans \(F\) (resp. dans \(G\)).
Montrer que \(F'\) et \(G'\) sont de même dimension.
Montrer \(F'\) et \(G'\) sont en somme directe.
En considérant une base de \(F'\) et une base de \(G'\), construire un supplémentaire commun à \(F\) et \(G\) dans \(F+ G\).
Répondre alors au problème initial.

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