Famille libre, Famille liée, Famille génératrice

Dans le dossier «Famille libre, Famille liée, Famille génératrice»

Famille libre, Famille liée, Famille génératrice

Les exercices

$\bullet$Exercice 454 *
$\bullet$Exercice 139 *
$\bullet$Exercice 719 *
$\bullet$Exercice 617 *
$\bullet$Exercice None *
$\bullet$Exercice 416 *
$\bullet$Exercice 967 *
$\bullet$Exercice 1006 *
$\bullet$Exercice 146 *
$\bullet$Exercice 927 *
$\bullet$Exercice 21 *
$\bullet$Exercice 940 *
$\bullet$Exercice 1013 **
$\bullet$Exercice 760 **
$\bullet$Exercice 449 **
$\bullet$Exercice 79 **
$\bullet$Exercice 963 **

Exercices dans ce dossier

Exercice 454 *

13 février 2021 09:15 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Montrer que les vecteurs suivants de \(\mathbb{R}^3\) sont linéairement dépendants :

\(u=\left(1,0,1\right), v=\left(1,-2,3\right), w=\left(1,2,-1\right)\).
\(u=\left(1,2,-2\right), v=\left(2,0,-1\right), w=\left(1,-2,1\right)\).

Exercice 139 *

13 février 2021 09:15 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Dans \(E=\mathscr F\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\), montrer que la famille \(\left(f, g, h\right)\) est liée où \(f:x\mapsto 1\), \(g:x \mapsto \cos^2 x\), \(h:x \mapsto \cos 2x\).

Exercice 719 *

13 février 2021 09:15 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Préciser si les familles constituées des vecteurs suivants sont liées ou libres :

\(u=\left(1,2\right), v=\left(3,1\right), w=\left(5,1\right)\).
\(u=\left(-1,0,2\right), v=\left(1,2,1\right), w=\left(0,1,1\right)\).
\(u=\left(10,-1,-4,10\right), v=\left(1,0,1,-2\right)\).

Exercice 617 *

13 février 2021 09:15 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \((a,b,c) \in \mathbb{R}^{3}\). A quelle condition les trois vecteurs \((1,a,b), (0,1,c), (0,0,1)\) forment-ils une famille libre dans \(\mathbb{R}^{3}\)?

Exercice None *

13 février 2021 09:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et soient \(e_1\), \(e_2\), \(e_3\) des vecteurs de \(E\) tels que la famille \(\left(e_1,e_2,e_3\right)\) est libre. Posons : \(f_1=e_1-e_2\), \(f_2=e_2+e_3\), \(f_3=e_1-e_3\). Montrer que la famille \(\left(f_1,f_2,f_3\right)\) est libre.

Exercice 416 *

13 février 2021 09:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Prouver que la famille \(\left(\sin,\cos\right)\) est libre dans le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(\mathscr F\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\).

Exercice 967 *

13 février 2021 09:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Dans le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E=\mathscr F\left(\left[0,2\pi\right],\mathbb{R}\right)\), on considère les quatre fonctions :

\[f_1: \left\{ \begin{array}{ccl} \left[0,2\pi\right] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \cos x \end{array} \right. \quad f_2: \left\{ \begin{array}{ccl} \left[0,2\pi\right] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & x\cos x \end{array} \right.\] \[f_3: \left\{ \begin{array}{ccl} \left[0,2\pi\right] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \sin x \end{array} \right. \quad f_4: \left\{ \begin{array}{ccl} \left[0,2\pi\right] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & x\sin x \end{array} \right.\]

Prouver que la famille \(\left(f_1,f_2,f_3,f_4\right)\) est libre.

Exercice 1006 *

13 février 2021 09:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(r\), \(\omega\in \mathbb{R}\) tels que \(\omega\neq 0\). Dans le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E=\mathscr F\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\), on considère les deux vecteurs \(f_1\) et \(f_2\) définis par : \[\forall x\in\mathbb{R},\quad f_1\left(x\right)=e^{r x}\sin \omega x \quad \textrm{ et} \quad f_2\left(x\right)=e^{r x} \cos \omega x.\] Démontrer que la famille \(\left(f_1,f_2\right)\) est libre.

Exercice 146 *

13 février 2021 09:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Pour tout \(a\in\mathbb{R}\), considérons l’application \[f_a: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \left|x-a\right| \end{array} \right. .\] Montrer que la famille \(\left(f_0,f_1,f_2\right)\) est une famille libre dans \(\mathscr F\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\).

Exercice 927 *

13 février 2021 09:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Les familles de fonctions suivantes sont-elles libres dans \(\mathcal{F}(\mathbb{R} , \mathbb{R} )\) ?

\((f_1, \dots, f_n)\) où \(n \geqslant 2\) et \(\forall k \in [1, n]\), \[f_k :\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & e^{x+k} \end{array} \right.\]
\((f_1, f_2, f_3)\) où \(\forall k \in [1, 3]\), \[f_i : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & (x-k)^2 \end{array} \right.\]
\((f_1, f_2, f_3, f_4)\) où \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(f_1(x) = 1\), \(f_2(x) = x\), \(f_3(x) = x^2\) et \(f_4(x) = e^x\).

Exercice 21 *

13 février 2021 09:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère l’espace des suites complexes \(E = \mathcal{S}(\mathbb{C})\), et deux complexes \((k_1, k_2) \in \mathbb{C}^{2}\) distincts. On note \(u\) la suite géométrique de raison \(k_1\) et \(v\) la suite géométrique de raison \(k_2\). Montrer que la famille \(S = (u, v)\) est libre dans \(E\).

Exercice 940 *

13 février 2021 09:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et une famille de vecteurs \((a_1,\dots,a_n) \in E^n\) libre. On définit les vecteurs \[b_1=a_1, b_2=a_1+a_2, \dots , b_n=a_1+\dots + a_n\] Montrer que la famille \((b_1,\dots, b_n)\) est libre.

Exercice 1013 **

13 février 2021 09:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E=\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R} ,\mathbb{R} )\). Montrer que c’est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel. On considère ensuite l’application \[\varphi_k: \left\{ \begin{array}{ccl} E & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ f & \longmapsto & f^{(k)}(0) \end{array} \right. \quad(k\in [1,n])\] Montrer que l’application \(\varphi_k\) est linéaire, puis que la famille \((\varphi_1,\dots,\varphi_n)\) est libre dans l’espace \(L(E,\mathbb{R} )\).

Exercice 760 **

13 février 2021 09:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(f_k(t)=e^{kt}\). Montrer que \(\{ f_1, \dots, f_n\}\) est une famille libre dans \(\mathcal{F}(\mathbb{R} ,\mathbb{R} )\).

Exercice 449 **

13 février 2021 09:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Dans l’espace vectoriel \(E = \mathcal{F}(\mathbb{R} , \mathbb{R} )\), montrer que la famille \(S = (x\to 1, x\mapsto\mathop{\mathrm{ch}}x, x\mapsto\mathop{\mathrm{ch}}2x, \dots, x\mapsto\mathop{\mathrm{ch}}nx)\) est libre.

Exercice 79 **

13 février 2021 09:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \((u_1, \dots, u_n)\) une famille libre. Les familles \[S=(u_1-u_2, u_2-u_3, \dots, u_{n-1}-u_n, u_n-u_1)\] \[T=(u_1+u_2, \dots, u_{n-1}+u_n, u_n+u_1)\] sont-elles libres?

Exercice 963 **

13 février 2021 09:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Dans l’espace \(E = \mathcal{F}(\mathbb{R} ,\mathbb{R} )\), on considère les fonctions définies par \(\forall k \in \mathbb{N}^*\), \[f_k: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \sin(kx) \end{array} \right.\] Montrer que \(\forall n \in \mathbb{N}^*\), la famille \(S = (f_1,\dots, f_n)\) est libre. On calculera d’abord pour \((p, q) \in (\mathbb{N}^*)^{2}\), l’intégrale : \[{\scriptstyle 1\over\scriptstyle\pi}\int_0^{2\pi} \sin(px)\, \sin(qx) \mathrm{ \;d}x = \delta_{pq},\] où \(\delta_{pq}=1\) si \(p=q\) et est nul sinon.

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