Formes linéaires

Dans le dossier «Formes linéaires»

Formes linéaires

Les exercices

$\bullet$Exercice 984 *
$\bullet$Exercice 627 *
$\bullet$Exercice 796 *
$\bullet$Exercice 704 **

Exercices dans ce dossier

Exercice 984 *

12 février 2021 17:02 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \(f,g\in E^{*}\) deux formes linéaires telles que \(\forall x\in E\), \(f(x)g(x)=0_K\). Montrer que \(f=0\) ou \(g=0\).

Exercice 627 *

12 février 2021 17:02 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(E\) un espace vectoriel et \(a\) un vecteur de \(E\). Soit \(\varphi\) une forme linéaire sur \(E\). On définit \(u(x)=x+\varphi(x)a\). Vérifier que \(u\) est un endomorphisme de \(E\), puis calculer \(u^2\). A quelle condition \(u\) est-elle injective?

Exercice 796 *

12 février 2021 17:02 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E\) l’ensemble des fonctions dérivables sur \([0,1]\) et \(\delta :\mbox{$\left\{ \begin{array}{lcl} E & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ f & \longrightarrow & f'(0) \end{array} \right. $}\).

Montrer que \(E\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel.
On pose \(H=\operatorname{Ker}\delta\). Trouver un supplémentaire de \(H\) dans \(E\).

Exercice 704 **

12 février 2021 17:02 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\). Pour \(u \in L(E)\), on définit \[{u}^{\mathrm{T}}: \left\{ \begin{array}{ccl} E^{\star} & \longrightarrow & E^{\star} \\ \varphi & \longmapsto & \varphi\circ u \end{array} \right.\]

Montrer que \({u}^{\mathrm{T}} \in L(E^{\star})\).
Si \((u, v) \in L(E)^2\), calculer \({(u\circ v)}^{\mathrm{T}}\).
Montrer que l’application \[\theta : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathrm{GL}_{ }(E) & \longrightarrow & \mathrm{GL}_{ }(E^{\star}) \\ u & \longmapsto & {u^{-1}}^{\mathrm{T}} \end{array} \right.\] est un morphisme de groupes.
Lorsque \(E = \mathbb{R}^{2}\), montrer que \(\theta\) est injectif.

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