Image et noyau d'un endomorphisme

Dans le dossier «Image et noyau d'un endomorphisme»

Image et noyau d'un endomorphisme

Les exercices

$\bullet$Exercice 441 *
$\bullet$Exercice 487 *
$\bullet$Exercice 868 *
$\bullet$Exercice 619 **
$\bullet$Exercice 204 *
$\bullet$Exercice 397 *
$\bullet$Exercice 764 *
$\bullet$Exercice 1035 *
$\bullet$Exercice 97 *
$\bullet$Exercice 705 **
$\bullet$Exercice 227 **
$\bullet$Exercice 684 *
$\bullet$Exercice 994 *
$\bullet$Exercice 425 *
$\bullet$Exercice 986 **
$\bullet$Exercice 633 **
$\bullet$Exercice 769 **
$\bullet$Exercice 541 **
$\bullet$Exercice 86 **
$\bullet$Exercice 322 ***
$\bullet$Exercice 913 ***
$\bullet$Exercice 966 ***
$\bullet$Exercice 872 **
$\bullet$Exercice 655 *
$\bullet$Exercice 827 ***
$\bullet$Exercice 50 **
$\bullet$Exercice 7 **
$\bullet$Exercice 699 **

Exercices dans ce dossier

Exercice 441 *

12 février 2021 11:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^3 & \longrightarrow & \mathbb{R}^6 \\ \left(x,y,z\right) & \longmapsto & \left(x,0,y,0,z,0\right) \end{array} \right.\)

Prouver que \(f\) est linéaire.
Déterminer le noyau de \(f\).
Déterminer l’image de \(f\).

Exercice 487 *

12 février 2021 11:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^2 & \longrightarrow & \mathbb{R}^2 \\ \left(x,y\right) & \longmapsto & \left(2x-y,x+y\right) \end{array} \right.\)

Prouver que \(f\) est linéaire.
Déterminer le noyau et l’image de \(f\).

Exercice 868 *

12 février 2021 11:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer le noyau et l’image de l’application linéaire \[u:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^{3} & \longrightarrow & \mathbb{R}^{2} \\ (x,y,z) & \longmapsto & (x+y-z, x-y+2z) \end{array} \right.\] Est-elle injective? Surjective?

Exercice 619 **

12 février 2021 11:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_2\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{R}^3 \\ P & \longmapsto & \left(P\left(0\right),P\left(1\right),P\left(2\right)\right) \end{array} \right.\).

Prouver que \(\theta\in\mathfrak{L}\left(\mathbb{R}_2\left[X\right],\mathbb{R}^3\right)\).
Montrer que \(\theta\) est injective.
Montrer que \(\theta\) est surjective.

Exercice 204 *

12 février 2021 11:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{R}\left[X\right] \\ P & \longmapsto & \theta\left(P\right)=P\left(X+1\right)-P\left(X\right) \end{array} \right.\).

Prouver que \(\theta\) est linéaire.
\(\theta\) est-elle bijective?

Exercice 397 *

12 février 2021 11:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_n\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{R}_n\left[X\right] \\ P & \longmapsto & P' \end{array} \right.\)

Prouver que \(\theta\) est linéaire.
Calculer le noyau de \(\theta\).
Calculer l’image de \(\theta\).

Exercice 764 *

12 février 2021 11:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \[\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathcal{C}^{0}\left(\left[-1,1\right],{\mathbb{R}}\right) & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ f & \longmapsto & \int_{-1}^{1} f\left(t\right)\,\textrm{d}t \end{array} \right. .\]

Prouver que \(\theta\) est une forme linéaire.
\(\theta\) est-elle injective?
Démontrer que \(\theta\) est surjective.

Exercice 1035 *

12 février 2021 11:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \[\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathcal{C}^{\infty}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right) & \longrightarrow & \mathcal{C}^{\infty}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right) \\ f & \longmapsto & f''-2f'+f \end{array} \right.\]

Prouver que \(\varphi\) est un endomorphisme.
Calculer \(\operatorname{Ker}\varphi\).
\(\varphi\) est-elle injective?

Exercice 97 *

12 février 2021 11:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(X\) un ensemble non vide et \(a\in X\). Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \[\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathscr F\left(X,E\right) & \longrightarrow & E \\ f & \longmapsto & f\left(a\right) \end{array} \right.\]

Prouver que \(\theta\) est une application linéaire.
Déterminer l’image de \(\theta_a\) et dire si \(\theta\) est surjective.
Déterminer le noyau de \(\theta_a\) et dire si \(\theta\) est injective.

Exercice 705 **

12 février 2021 11:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère \(\mathbb{C}\) comme un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel. Soit \(a\in \mathbb{R}\) et \[f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{C} & \longrightarrow & \mathbb{C} \\ z & \longmapsto & (1+ia)z+(1-ia)\bar z \end{array} \right.\]

Montrer que \(f\) est linéaire.
Déterminer \(\operatorname{Ker}f\) et le représenter dans le plan complexe (on prendra \(a=1\)).
Déterminer \(\mathop{\mathrm{Im}}f\) et le représenter dans le plan complexe (lorsque \(a=1\)).
Lorsque \(a=1\), trouver les antécédents de \(1\) par \(f\) et représenter l’ ensemble \(f^{(-1)}(\{1\})\).

Exercice 227 **

12 février 2021 11:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions continues sur \(\mathbb{R}\). On définit \[\varphi:\left\{ \begin{array}{ccl} E & \longrightarrow & E \\ f & \longmapsto & \varphi(f) \end{array} \right. \textrm{ où } \varphi(f):\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} \dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}x}{x} f(x) & \textrm{ si} x\neq 0 \\ f(0) & \textrm{ si } x=0 \end{cases} \end{array} \right.\]

Montrer que \(\varphi\) est bien définie et que \(\varphi\in L(E)\).
Déterminer \(\operatorname{Ker}\varphi\) et \(\mathop{\mathrm{Im}}\varphi\).

Exercice 684 *

12 février 2021 11:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(E, F, G\) trois \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel, et \(f\in L(E,F)\) et \(g\in L(F,G)\). Montrer que :

\(\operatorname{Ker}(gof) =f^{(-1)}( \operatorname{Ker}g)\)
\(\operatorname{Ker}f \subset \operatorname{Ker}(g\circ f)\)
\(\mathop{\mathrm{Im}}g\circ f \subset \mathop{\mathrm{Im}}g\)

Exercice 994 *

12 février 2021 11:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \(u\in L(E)\) un endomorphisme. On pose \[P=\{ x\in E \mid u(x)=x \}\]

Montrer que \(P\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).
Montrer que la somme \(\operatorname{Ker}u + P\) est directe.

Exercice 425 *

12 février 2021 11:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphismes d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\).

Montrer que \(\mathop{\mathrm{Im}}f \subset \operatorname{Ker}g \Longleftrightarrow gof=0\).
Montrer que \(fog=gof \Rightarrow \operatorname{Ker}g \textrm{ est stable par } f\).
Montrer que \(gof=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\Rightarrow f\) injective.

Exercice 986 **

12 février 2021 11:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(E\) et \(F\) deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels et \(f\in\mathcal L\left(E,F\right)\). Montrer que pour toute partie \(A\) de \(E\), \(f\left(\textrm{ Vect}\left(A\right)\right)=\textrm{ Vect}\left({f\left(A\right)}\right)\).

Exercice 633 **

12 février 2021 11:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère trois \(K\)-espaces vectoriels \(E\),\(F\),\(G\) et deux applications \(E \stackrel {u}{\longrightarrow } F \stackrel {v}{\longrightarrow }G\) telles que :

l’application \(u\) est linéaire et surjective ;
l’application \(vou\) est linéaire de \(E\) vers \(G\).

Montrer que l’application \(v\) est linéaire.

Exercice 769 **

12 février 2021 11:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient trois \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels \(E\), \(F\), \(G\) et deux applications linéaires \(f\in L(E,F)\), \(g\in L(F,G)\). Montrer que :

\(\operatorname{Ker}(gof)=\operatorname{Ker}f \Longleftrightarrow \operatorname{Ker}g\cap \mathop{\mathrm{Im}}f = \left\{ O_E\right\}\) ;
\(\mathop{\mathrm{Im}}(gof)=\mathop{\mathrm{Im}}g \Longleftrightarrow \operatorname{Ker}g+\mathop{\mathrm{Im}}f =F\).

Exercice 541 **

12 février 2021 11:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \(u\) un endomorphisme de \(E\).

On suppose dans cette question que \(u^2=0\).
1. Montrer que \(\mathop{\mathrm{Im}}u\subset \operatorname{Ker}u\).
2. Montrer que \(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E+u\) est un automorphisme de \(E\).
1. Montrer que : \({\mathop{\mathrm{Im}}u \cap \operatorname{Ker}u = \left\{0\right\} } \Longleftrightarrow \operatorname{Ker} {u^2}=\operatorname{Ker}u\).
2. Montrer que : \(\operatorname{Ker}u + \mathop{\mathrm{Im}}u = E \Longleftrightarrow \mathop{\mathrm{Im}}u^2 = \mathop{\mathrm{Im}}u\).

Exercice 86 **

12 février 2021 11:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit un \(\mathbb{K}\) espace vectoriel \(E\) et deux endomorphismes \((u,v)\in L(E)\) qui commutent : \[u\circ v = v\circ u\]

Montrer que \(\mathop{\mathrm{Im}}u\) et \(\operatorname{Ker}u\) sont stables par \(v\), c’est-à- dire \[v(\operatorname{Ker}u) \subset \operatorname{Ker}u \textrm{ et } v(\mathop{\mathrm{Im}}u) \subset \mathop{\mathrm{Im}}u .\]
Si l’on suppose de plus que \(E=\operatorname{Ker}u \oplus \operatorname{Ker}v\), montrer que \[\mathop{\mathrm{Im}}u \subset \operatorname{Ker}v \textrm{ et } \mathop{\mathrm{Im}}v \subset \operatorname{Ker}u\]

Exercice 322 ***

12 février 2021 11:06 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et un endomorphisme \(u\in L(E)\) tel que \(\forall x\in E\), le système de vecteurs \((x,u(x))\) est lié. Montrer que l’application \(u\) est une homothétie.

Exercice 913 ***

12 février 2021 11:06 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(f\in L(E)\) un endomorphisme. On définit \[\varphi _f:\mbox{$\left\{ \begin{array}{lcl} L(E) & \longrightarrow & L(E) \\ u & \longrightarrow & f\circ u-u\circ f \end{array} \right. $}\]

Montrer que \(\varphi_f\in L\left( L(E)\right)\).
Montrer que si \(f\) est nilpotent, alors \(\varphi_f\) est aussi nilpotent.

Exercice 966 ***

12 février 2021 11:06 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \(g\in L(E)\). On définit: \[\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} L\left(E\right) & \longrightarrow & L\left(E\right) \\ f & \longmapsto & gof \end{array} \right.\]

On admettra que dans un espace vectoriel, tout sous-espace vectoriel admet un supplémentaire.

Montrer que \(\varphi\) est linéaire
Montrer que \(\varphi\) est injective si et seulement si \(g\) est injective
Montrer que \(\varphi\) est bijective si et seulement si \(g\) est bijective.

Exercice 872 **

12 février 2021 11:06 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel et \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\). On pose \(G=E\setminus F\). Soit \(f\in L(E)\) tel que \[\forall x \in G, f(x)=2x\] Montrer que \(f=2\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\).

Exercice 655 *

12 février 2021 11:06 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \(f\in L(E)\). Soit \(p\in\mathbb{N}^*\).

Montrer que \(\operatorname{Ker}f = \operatorname{Ker} f^p \Rightarrow \operatorname{Ker}f = \operatorname{Ker}f^n\) pour \(n\in\llbracket 1,p\rrbracket\).
Montrer que \(\mathop{\mathrm{Im}}f = \mathop{\mathrm{Im}}f^p \Rightarrow \mathop{\mathrm{Im}}f = \mathop{\mathrm{Im}}f^n\) pour \(n\in\llbracket 1,p\rrbracket\).

Exercice 827 ***

12 février 2021 11:06 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel, \(p\in\mathbb{N}^*\) et \(f\in L(E)\).

Montrer que \(\operatorname{Ker}f = \operatorname{Ker} f^2 \Rightarrow \operatorname{Ker}f = \operatorname{Ker}f^n\) pour \(n\geqslant 2\).
Montrer que \(\mathop{\mathrm{Im}}f^p= \mathop{\mathrm{Im}}f^{p+1} \Rightarrow \mathop{\mathrm{Im}}f^n = \mathop{\mathrm{Im}}f^p\) pour \(n \geqslant p\).

Exercice 50 **

12 février 2021 11:06 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \(f\in L(E)\). On pose \[N = \cup_{i \in \mathbb N} \operatorname{Ker}f^{i}\]

Montrer que \(N=\operatorname{Ker}f \Rightarrow \operatorname{Ker}f + \mathop{\mathrm{Im}}f\) est directe.
Etudier la réciproque.

Exercice 7 **

12 février 2021 11:06 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \(f,g \in L(E)\). On suppose que \[fogof=f , \quad\textrm{ et} \quad gofog=g\] Montrer que \[E= \operatorname{Ker}f \oplus \mathop{\mathrm{Im}}g\]

Exercice 699 **

12 février 2021 11:06 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(f \in L(E)\). On note \[A(f) = \{g \in L(E) \mid f\circ g \circ f = 0_{L(E)}\}\]

Montrer que \(A(f)\) est un sous-espace vectoriel de \(L(E)\).
Montrer que si \(f\) est injective, alors \[A(f) = \{g \in L(E) \mid \mathop{\mathrm{Im}}f \subset \operatorname{Ker}g \}\]
Montrer que si \(f\) est surjective, alors \[A(f) = \{g \in L(E) \mid \mathop{\mathrm{Im}}g \subset \operatorname{Ker}f\}\]

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Success message!