Sous-espaces vectoriels supplémentaires - Somme directe

Dans le dossier «Sous-espaces vectoriels supplémentaires - Somme directe»

Sous-espaces vectoriels supplémentaires - Somme directe

Les exercices

$\bullet$Exercice 277 *
$\bullet$Exercice 384 *
$\bullet$Exercice 198 *
$\bullet$Exercice 951 *
$\bullet$Exercice 679 *
$\bullet$Exercice 223 *
$\bullet$Exercice 1041 *
$\bullet$Exercice 930 *
$\bullet$Exercice 568 *
$\bullet$Exercice 411 *
$\bullet$Exercice 169 **
$\bullet$Exercice 271 **
$\bullet$Exercice 439 **
$\bullet$Exercice 975 **
$\bullet$Exercice 1026 **
$\bullet$Exercice 820 **

Exercices dans ce dossier

Exercice 277 *

12 février 2021 11:00 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(F=\left\{\left(s,0\right)~|~s\in \mathbb{R}\right\}\) et \(G=\left\{\left(0,t\right)~|~t\in \mathbb{R}\right\}\). Prouver que \(F\oplus G=\mathbb{R}^2\).

Exercice 384 *

12 février 2021 11:00 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(F=\left\{\left(s,t\right)\in\mathbb{R}^2~|~s+t=0\right\}\) et \(G=\left\{\left(s,t\right)\in\mathbb{R}^2~|~s-t=0\right\}\). Prouver que \(F\oplus G=\mathbb{R}^2\).

Exercice 198 *

12 février 2021 11:00 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Vérifier si les espaces suivants sont supplémentaires dans \(E=\mathbb{R}^3\)

\[F= \left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3 ~|~2x-y+z=0\right\}\quad \textrm{ et} \quad G=\left\{(t,-t,t)~|~ t\in \mathbb{R}\right\}\]

Exercice 951 *

12 février 2021 11:00 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Vérifier si les espaces suivants sont supplémentaires dans \(E=\mathbb{R}^3\)

\[F=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3 ~|~ x-y+z=0 \quad \textrm{ et} \quad 2x+y+z=0\right\} \quad \textrm{ et} \quad G=\left\{(3t,2t,t~|~ t\in\mathbb{R}\right\}\]

Exercice 679 *

12 février 2021 11:00 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(F=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3 ~|~ x-y+z=0 \right\}\) et \(G=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3 ~|~ x+y-z=0 \right\}\). Ces deux sous-espaces sont-ils en somme directe dans \(\mathbb{R}^3\)?

Exercice 223 *

12 février 2021 11:00 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Vérifier si les espaces suivants sont supplémentaires dans \(E=\mathbb{R}_2\left[X\right]\)

\[F= \left\{P\in \mathbb{R}_2\left[X\right] ~|~ P'=0\right\}\quad \textrm{ et} \quad G=\left\{P\in E~|~ P(0)=0\right\}\]

Exercice 1041 *

12 février 2021 11:00 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère dans \(E=\mathbb{R}_4\left[X\right]\) les sous-ensembles \(\mathcal P=\left\{P\in E~|~ P \textrm{ est pair}\right\}\) et \(\mathcal I=\left\{P\in E~|~ P \textrm{ est impair}\right\}\).

Soit \(P\in E\). Montrer que \(P\in \mathcal P\) si et seulement si les coefficients de ses termes de degré impair sont nuls.
Soit \(P\in E\). Montrer que \(P\in \mathcal I\) si et seulement si les coefficients de ses termes de degré pair sont nuls.
Montrer que \(\mathcal P\) et \(\mathcal I\) sont des sous-espaces vectoriels de \(E\).
Montrer que \(E=\mathcal P \oplus \mathcal I\).

Exercice 930 *

12 février 2021 11:01 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Vérifier si les espaces suivants sont supplémentaires dans \(E=\mathscr F\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\)

\[F= \left\{f\in E~|~ f\left(1\right)=0\right\}\quad \textrm{ et} \quad G=\{ f\in E~|~ \exists a\in \mathbb{R} :\, \forall x\in \mathbb{R} ,\, f(x)=ax \}\]

Exercice 568 *

12 février 2021 11:01 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Vérifier si les espaces suivants sont supplémentaires dans \(E=\mathcal{C}^{1}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\)

\[F=\left\{f\in \mathcal{C}^{1}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)~|~f\left(0\right)=f'\left(0\right)=0\right\} \quad \textrm{ et} \quad G=Vect\left(x\mapsto 1,\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_\mathbb{R}\right)\]

Exercice 411 *

12 février 2021 11:01 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Vérifier si les espaces suivants sont supplémentaires dans \(E=\mathcal{C}^{0}\left(\left[-1,1\right],\mathbb{C}\right)\)

\[F=\left\{f\in \mathcal{C}^{0}\left(\left[-1,1\right],\mathbb{C}\right)~|~\int_{-1}^{1} f\left(t\right)\,\textrm{d}t=0\right\} \quad \textrm{ et} \quad G=\left\{f\in\mathcal{C}^{0}\left(\left[-1,1\right],\mathbb{C}\right)~|~ f \textrm{ est constante}\right\}\]

Exercice 169 **

12 février 2021 11:01 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

\(E=\mathcal{F}(\mathbb{R} ,\mathbb{R} )\) et \(F=\left\{ f\in E; f(0)=f(1)=0\right\}\). Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) et trouver un supplémentaire de \(F\) dans \(E\).

Considérer l’ensemble des fonctions telles que \(\forall x\in \mathbb{R} \setminus \{0,1\}\), \(f(x)=0\).

Exercice 271 **

12 février 2021 11:01 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E=\mathbb{R}^{n}\) on considère \[H=\{ (x_1, \dots , x_n) \in E~|~ x_1+\dots +x_n=0\}\] Montrer que \(H\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) et trouver un supplémentaire de \(H\). Le supplémentaire trouvé est-il unique?

Faire un dessin de \(H\) lorsque \(n=2\) et \(n=3\).

Exercice 439 **

12 février 2021 11:01 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E\) un K-e.v. et \(A,B\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\). Soit \(C\) un supplémentaire de \(A\cap B\) dans \(B\). Montrer que \(A+B=A\oplus C\).

Exercice 975 **

12 février 2021 11:01 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \(A,B,C\) trois sous-espaces vectoriels de \(E\) vérifiant \[E= A\oplus B \textrm{ et } A\subset C\] Montrer que \(C=A\oplus (B\cap C)\).

Exercice 1026 **

12 février 2021 11:01 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On définit dans l’espace \(E\) des suites réelles : \[F = \{ (x_n) \in E \mid \forall n \in \mathbb N, \quad x_{n+3} - x_{n+2} - x_{n+1} + x_n = 0 \}\] \[G = \{(x_n) \in E \mid \forall n \in \mathbb N, \quad x_{n+1} + x_n = 0 \}\] \[H = \{(x_n) \in E \mid \forall n \in \mathbb N, \quad x_{n+2} - 2x_{n+1} + x_n = 0 \}\] Montrer que \(F = G\oplus H\).

Exercice 820 **

12 février 2021 11:01 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et deux sous-espaces vectoriels \(A\) et \(B\) de \(E\). On suppose qu’il existe un supplémentaire \(A'\) de \(A\cap B\) dans \(A\) et un supplémentaire \(B'\) de \(A\cap B\) dans \(B\). Montrer que \[A + B = (A\cap B) \oplus (A' + B')\]

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