Opérations sur les sous-espaces vectoriels

Dans le dossier «Opérations sur les sous-espaces vectoriels»

Opérations sur les sous-espaces vectoriels

Les exercices

$\bullet$Exercice 825 *
$\bullet$Exercice 201 *
$\bullet$Exercice 761 *
$\bullet$Exercice 634 *
$\bullet$Exercice 512 *
$\bullet$Exercice 871 *
$\bullet$Exercice 671 *
$\bullet$Exercice 978 *
$\bullet$Exercice 1012 **
$\bullet$Exercice 366 **
$\bullet$Exercice 614 *
$\bullet$Exercice 845 **

Exercices dans ce dossier

Exercice 825 *

12 février 2021 09:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Montrer que les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^3\) en les décrivant sous la forme \(Vect\left(\mathscr F\right)\) :

\(F_1=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2 ~|~ x-y=0\right\}\)
\(F_2=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2 ~|~ 2x-y=0 \right\}\)
\(F_3=\left\{\left(t,-2t\right)~|~ t\in\mathbb{R}\right\}\)

Exercice 201 *

12 février 2021 09:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Montrer que les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^2\) en les décrivant sous la forme \(Vect\left(\mathscr F\right)\) :

\(F_1=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3~|~ x+y-z=0 \right\}\)
\(F_2=\left\{\left(2s+t,s-t,s+t\right)~|~ \left(s,t\right)\in\mathbb{R}^2\right\}\)
\(F_3=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3~|~ x-y+z=0 \quad \textrm{ et} \quad x+y-z=0\right\}\)
\(F_4= F \cap G\) avec \(F = \left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3~|~ x-y-2z=0\right\}\) et \(G = \left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3~|~ 3x-y-z=0\right\}\)
\(F_5=\left\{\left(2t,3t,t\right)~|~t\in\mathbb{R}\right\}\)

Exercice 761 *

12 février 2021 09:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Montrer que les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels en les décrivant sous la forme \(Vect\left(\mathscr F\right)\) :

\(F_1=\mathbb{R}_2\left[X\right]\)
\(F_2=\left\{ P\in\mathbb{R}_{3}\left[X\right] ~|~P\left(1\right)=0 \right\}\)
\(F_3=\left\{ P'~|~P\in\mathbb{R}_n\left[X\right] \right\}\) où \(n\in \mathbb{N}\)
\(F_4=\left\{ a\left(X^3-1\right)+b\left(X^2-2\right)+c\left(X+4\right)~|~\left(a,b,c\right)\in\mathbb{R}^3 \right\}\)
\(F_5=\left\{ P\in\mathbb{R}_{4}\left[X\right]~|~ P\left(1\right)=P\left(2\right)=0\right\}\)
\(F_6=\left\{ P\in\mathbb{R}_{2}\left[X\right]~|~ P'=0\right\}\)
\(F_7=\left\{ P\in\mathbb{R}_{3}\left[X\right]~|~ P''=0\right\}\)
\(F_8=\left\{ P\in\mathbb{R}_{2}\left[X\right]~|~ \int_{0}^{1} P\left(t\right)\,\textrm{d}t=0\right\}\)

Exercice 634 *

12 février 2021 09:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Montrer que les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels en les décrivant sous la forme \(Vect\left(\mathscr F\right)\) :

\(F_1=\left\{f\in\mathcal{C}^{1}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)~|~f'-2t f=0\right\}\)
\(F_2=\left\{f\in\mathcal{C}^{2}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)~|~ f''+\omega^2 f=0\right\}\) où \(\omega\in \mathbb{R}_+^*\)
\(F_3=\left\{f\in\mathcal{C}^{2}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)~|~ f''+2 f'+f=0\right\}\)
\(F_4=\left\{f\in\mathcal{C}^{2}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)~|~ f''-4f=0\right\}\)

Exercice 512 *

12 février 2021 09:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Montrer que les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathcal S\left(\mathbb{R}\right)\) en les décrivant sous la forme \(Vect\left(\mathscr F\right)\) :

L’ensemble \(F_1\) des suites réelles constantes.
L’ensemble \(F_2\) des suites arithmétiques.
L’ensemble \(F_3\) des suites géométriques de raison \(2\).
L’ensemble \(F_4\) des suites réelles nulles à partir du rang \(3\).

Exercice 871 *

12 février 2021 09:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Dans l’espace vectoriel \(E = \mathbb{R}^{3}\), on considère les vecteurs \(e_1=(1,1,0)\) et \(e_2=(1,2,1)\). Déterminer \(\mathop{\mathrm{Vect}}(e_1, e_2)\).

Exercice 671 *

12 février 2021 09:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On note \(E = \{ f \in \mathcal{F}(\mathbb{R} , \mathbb{R} ) \mid \exists (a, \varphi)\in \mathbb{R}^{2} :\, \forall x \in \mathbb{R} , \, f(x) = a\cos(x - \varphi) \}\). Déterminer une partie \(A\) de \(\mathcal{F}(\mathbb{R} , \mathbb{R} )\) telle que \(E = \mathop{\mathrm{Vect}}(A)\).

Exercice 978 *

12 février 2021 09:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E = \mathcal{F}(\mathbb{R} , \mathbb{R} )\) le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel des fonctions d’une variable réelle. On définit les systèmes de vecteurs \[S = (x\mapsto 1, x\mapsto \cos x, x\mapsto \cos 2x) \quad T = (x\mapsto 1,x\mapsto \cos x, x\mapsto \cos^2 x).\] Montrer que \(\mathop{\mathrm{Vect}}(S) = \mathop{\mathrm{Vect}}(T)\).

Exercice 1012 **

12 février 2021 09:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Dans \(\mathbb{R}^{4}\), montrer que les vecteurs \(v_1=(1,0,0,1)\) et \(v_2=(2,1,-1,0)\) engendrent le même sous-espace vectoriel que les vecteurs \(v_3=(3,1,-1,1)\) et \(v_4=(5,2,-2,1)\).

Exercice 366 **

12 février 2021 09:21 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel et \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\). On pose \(A=E\setminus F\).

Montrer que \(\forall x \in F\), \(\forall y \in A\), \(x+y \in A\).
En déduire que si \(F \neq E\), alors \(\mathop{\mathrm{Vect}}(A)=E\).

Exercice 614 *

12 février 2021 09:21 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(A\) et \(B\) deux parties d’un \(\mathbb{K}-\)espace vectoriel \(E\).

Si \(A \subset B\), montrer que \(\mathop{\mathrm{Vect}}(A) \subset \mathop{\mathrm{Vect}}(B)\).
Si \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), montrer que \(\mathop{\mathrm{Vect}}(F) = F\).
Montrer que \(\mathop{\mathrm{Vect}}\bigl(\mathop{\mathrm{Vect}}(A)\bigr) = \mathop{\mathrm{Vect}}(A)\).

Exercice 845 **

12 février 2021 09:21 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(A\) et \(B\) deux parties d’un \(K\)-espace vectoriel \(E\). Montrer que :

\[\textrm{ Vect}\left(A\cup B\right)=\textrm{ Vect}\left(A\right)+\textrm{ Vect}\left(B\right)\]

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