Sous-espaces vectoriels

Dans le dossier «Sous-espaces vectoriels»

Sous-espaces vectoriels

Les exercices

$\bullet$Exercice 413 *
$\bullet$Exercice 321 *
$\bullet$Exercice 414 *
$\bullet$Exercice 516 *
$\bullet$Exercice 30 **
$\bullet$Exercice 331 **

Exercices dans ce dossier

Exercice 413 *

11 février 2021 18:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\). Montrer que : \[F\cap G = F+G \Longleftrightarrow F=G\]

Exercice 321 *

11 février 2021 18:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\). Montrer que \(F\cup G\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) si et seulement si \(F\subset G\) ou \(G\subset F\).

Exercice 414 *

11 février 2021 18:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\), et l’on note \(\mathcal{V}(E)\) l’ensemble de tous les sous-espaces vectoriels de \(E\). On se donne un sous-espace vectoriel \(V \in \mathcal{V}(E)\) et l’on définit l’application \[\varphi_V : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathcal{V}(E) & \longrightarrow & \mathcal{V}(E) \\ X & \longmapsto & X\cap V \end{array} \right.\] Montrer que \[\left(i\right)\quad \varphi_V \textrm{ injective } \Longleftrightarrow \left(ii\right)\quad\varphi_V \textrm{ surjective } \Longleftrightarrow \left(iii\right)\quad V = E\]

Exercice 516 *

11 février 2021 18:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\), et l’on note \(\mathcal{V}\) l’ensemble de tous les sous-espaces vectoriels de \(E\). On se donne un sous-espace vectoriel \(V \in \mathcal{V}\) et l’on définit l’application \[\varphi_V : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathcal{V}(E) & \longrightarrow & \mathcal{V}(E) \\ X & \longmapsto & X + V \end{array} \right.\] Montrer que \[\left(i\right)\quad\varphi_V \textrm{ injective } \Longleftrightarrow \left(ii\right)\quad\varphi_V \textrm{ surjective } \Longleftrightarrow \left(iii\right)\quad V = \{0_E\}\]

Exercice 30 **

11 février 2021 18:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et quatre sous-espaces vectoriels \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) de \(E\). Montrer que

\(A\cap\left(B+C\right)=A\cap B + A\cap C\).
\(A + \bigl(B \cap (A+C)\bigr) = (A+B) \cap (A+C)\) ;
\(A \cap \bigl( B + (A \cap C)\bigr) = (A\cap B) + (A\cap C)\).
\(A\cap B = C\cap D \Rightarrow \bigl(A + (B\cap C)\bigr) \cap \bigl(A + (B\cap D)\bigr) = A\) ;

Exercice 331 **

11 février 2021 18:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et trois sous-espaces \(F\), \(G\) et \(H\) de \(E\). On suppose que \[\begin{cases} F + G = F + H \\ F \cap G = F \cap H \\ G \subset H \end{cases}\] A-t-on toujours \(G = H\) ?

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