Exercice 409 *
11 février 2021 18:44
— Par Emmanuel Vieillard-Baron
Alain Soyeur
François Capaces
Les ensembles suivants sont-ils des espaces vectoriels sur
\(\mathbb{R}\)?
\(\left(\mathbb{R}_+^*, \oplus,\otimes\right)\) où :
\[\oplus: \left\{ \begin{array}{ccl} {\mathbb{R}_+^*}\times
{\mathbb{R}_+^*} & \longrightarrow & \mathbb{R}_+^* \\ \left(a,b\right) & \longmapsto & a\oplus b=ab \end{array} \right.\] \[\otimes: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}\times {\mathbb{R}_+^*} & \longrightarrow & \mathbb{R}_+^* \\ \left(\lambda,a\right) & \longmapsto & \lambda\otimes
{a} = a^\lambda \end{array} \right.\]
\(\left(R^2, \oplus,\otimes\right)\) où :
\[\oplus: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^2\times
\mathbb{R}^2 & \longrightarrow & \mathbb{R}^2 \\ \left(\left(a,b\right),\left(a',b'\right)\right) & \longmapsto & \left(a,b\right)\oplus\left(a',b'\right)=\left(a+a',b+b'\right) \end{array} \right.\] \[\otimes: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}\times \mathbb{R}^2 & \longrightarrow & \mathbb{R}^2 \\ \left(\lambda,\left(a,b\right)\right) & \longmapsto & \lambda\otimes
\left(a,b\right) = \left(\lambda a, b\right) \end{array} \right.\]