Rationnels, irrationnels, densité

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Exercice

Exercice 790 *

25 janvier 2021 22:17 — Par Emmanuel Vieillard-Baron François Capaces Alain Soyeur
Soient \(x\) et \(y\) deux rationnels tels que \(\sqrt x\) et \(\sqrt y\) soient irrationnels. Démontrer que \(\sqrt x + \sqrt y\) est irrationnel.
Introduire la différence: \(\sqrt x - \sqrt y\)
Exercice

Exercice 14 *

25 janvier 2021 22:17 — Par Emmanuel Vieillard-Baron François Capaces Alain Soyeur

On définit la fonction \[f :\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} \left| x \right| & \textrm{ si } x\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\\ \left| x \right| +1 & \textrm{ si } x\in \mathbb{Q}\end{cases} \end{array} \right.\] Déterminez \(\inf_{x\in \mathbb{R} } f(x)\).
Exercice

Exercice 1033 ***

25 janvier 2021 22:17 — Par Emmanuel Vieillard-Baron François Capaces Alain Soyeur

Soit \(f : \mathbb{R}{+} \mapsto \mathbb{R}\) une fonction non-nulle vérifiant : \[(\star) \quad\forall (x, y) \in \mathbb{R}^{2}, \quad f(x + y) = f(x) + f(y)\] \[(\star \star) \quad\forall (x, y) \in \mathbb{R}^{2}, \quad f(x y)= f(x) f(y)\]

  1. Montrez que \(f(1) = 1\) et \(f(0) = 0\).

  2. Montrez que \(\forall n \in \mathbb N\), \(f(n) = n\).

  3. Montrez que \(\forall r \in \mathbb{Q}{+}\), \(f(r) = r\).

  4. Montrez que \(\forall x \in \mathbb{R}{+}\), \(f(x) \geqslant 0\).

  5. Montrez que \(f\) est une fonction croissante.

  6. Montrez que \(\forall x \in \mathbb{R}{+}\), \(f(x) = x\). (On raisonnera par l’absurde, en supposant par exemple que \(x < f(x)\) et on introduira un rationnel \(r\) tel que \(x < r < f(x)\)).
Exercice

Sous-groupes de \(\left(\mathbb{R},+\right)\) ***

25 janvier 2021 22:17 — Par Emmanuel Vieillard-Baron François Capaces Alain Soyeur

Soit \(G\) un sous-groupe de \(\left(\mathbb{R},+\right)\) non réduit à \(\left\{0\right\}\). L’objet de cet exercice est de montrer que \(G\) est soit discret dans \(\mathbb{R}\) de la forme \(a\mathbb{Z}\) où \(a\in\mathbb{R}_+^*\), soit dense dans \(\mathbb{R}\).

  1. Montrer que \(G\cap \mathbb{R}_+^*\) est non vide.

  2. En déduire que \(G\cap \mathbb{R}_+^*\) admet une borne inférieure \(a\geqslant 0\).

  3. On suppose dans cette partie que \(a>0\).

    1. Montrer que \(a\in G\).
      ( ).
      On pourra faire un raisonnement par l’absurde en montrant que si \(a\) n’appartient pas à \(G\) alors il existe des éléments \(t_1\) et \(t_2\) de \(G\) tels que \(a<t_2<t_1<2a\) et en déduire une contradiction.

    2. Prouver que \(G=a\mathbb{Z}\).

  4. On suppose maintenant que \(a=0\). Montrer que \(G\) est dense dans \(\mathbb{R}\).

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