Application à la trigonométrie

Dans le dossier «Application à la trigonométrie»

Application à la trigonométrie

Les exercices

$\bullet$Exercice 921 *
$\bullet$Exercice 252 *
$\bullet$Équations trigonométriques *
$\bullet$Équations trigonométriques **
$\bullet$Exercice 884 *
$\bullet$Exercice 231 *
$\bullet$Exercice 13 **
$\bullet$Exercice 145 **
$\bullet$Exercice 284 **
$\bullet$Somme de coefficients binomiaux **
$\bullet$Sommes trigonométriques **
$\bullet$Équation trigonométrique **
$\bullet$\(\sum \cos^{2p}(x+k\pi /2p)\) **
$\bullet$\(\sum\cos(kx)/\cos x^k = 0\) **
$\bullet$\(\sum \binom{n}{k}x^{n-k}\cos(k\alpha ) = 0\) **
$\bullet$\(\sum 2^{-k}/\cos\theta \hdots \cos(2^k\theta )\) **
$\bullet$Calcul de \(\tan(nx)\) **
$\bullet$\(z = (1+ia)/(1-ia)\) **

Exercices dans ce dossier

Exercice 921 *

4 janvier 2021 17:54 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Pour \(x\in\mathbb{R}\), linéariser les expressions suivantes :

\(\sin^2 x\)
\(\cos^4 x\)
\(\sin^4 x\)
\(\sin^5 x\).
\(\cos x \sin^2 x\)
\(\cos^2 x \sin^2 x\)
\(\cos a \cos b\)
\(\cos a \cos b \cos c\)

Exercice 252 *

4 janvier 2021 17:54 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), transformer :

\(\cos (3x)\) en un polynôme en \(\cos x\).
\(\sin (3x)\) en un polynôme en \(\sin x\).
\(\cos (4x)\) en un polynôme en \(\cos x\).

Équations trigonométriques *

4 janvier 2021 17:55 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Résoudre dans l’ensemble des nombres réels les équations trigonométriques suivantes:

\(\cos(2x)+\cos(x)=0\)
\(\sin x\cos x=1/4\)
\(\tan\left(3x-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 5}\right)=\tan\left(x+{\scriptstyle 4\pi\over\scriptstyle 5}\right)\)
\(\cos x-\sqrt 3 \sin x=1\)
\(\cos \left(2x-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3}\right)=\sin\left(x+{\scriptstyle 3\pi\over\scriptstyle 4}\right)\)
\(\sin x - 1/\sin x=3/2\).
\(\sin x + \sin 3x=0\)
\(3\cos x - \sqrt 3 \sin x=\sqrt 6\)

Équations trigonométriques **

4 janvier 2021 17:55 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Résoudre les équations trigonométriques suivantes :

\(\cos(2x)+\cos(x)=-1\)
\(\cos^4 x+\sin^4 x=1\)
\(\cos x + \cos 2x + \cos 3x = -1\)

Exercice 884 *

4 janvier 2021 17:55 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Soient \(n\in\mathbb{N}\) et \(\theta\in\mathbb{R}\setminus 2\pi\mathbb{Z}\).

Montrer que : \[\sum_{k=0}^n e^{ik\theta}=e^{in{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}\,\dfrac{\sin {\scriptstyle\left(n+1\right)\theta\over\scriptstyle 2}}{\sin {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}\]
En déduire : \[\sum_{k=0}^n \cos \left(k\theta\right) \quad \textrm{ et} \quad\sum_{k=0}^n \sin \left(k\theta\right).\]
En déduire : \[\sum_{k=0}^n k\sin k\theta.\]

Exercice 231 *

4 janvier 2021 17:55 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

On pose \[A=\sin\left( \dfrac{\pi}{12} \right) \quad B= \cos \left( \dfrac{\pi}{12}\right) \quad C=\tan \left( \dfrac{\pi}{12} \right)\]

En utilisant la trigonométrie, montrer que \(A\) vérifie une équation du second degré.
Exprimer \(A\) , \(B\) , \(C\) en utilisant des racines carrées.

Exercice 13 **

4 janvier 2021 17:55 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Calculer la somme \[S = \sum_{k=1}^{4} \cos^2 {\scriptstyle k\pi\over\scriptstyle 9}\]

Exercice 145 **

4 janvier 2021 17:55 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), calculer les sommes suivantes :

\(S_1=\sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}\cos kx\)
\(S_2=\sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}\sin kx\)
\(S_3=\sum_{k=0}^n \dfrac{\cos kx}{\cos^k x}\) (avec \(x\neq \pi/2 ~\left[\pi\right]\)).
\(S_4=\sum_{k=0}^n \dfrac{\sin kx}{\cos^k x}\) (avec \(x\neq \pi/2 ~\left[\pi\right]\)).

Exercice 284 **

4 janvier 2021 17:55 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Calculer \(\forall\ n\in\mathbb{N}^*,\displaystyle\sum_{p=0}^{n-1} (-1)^p\cos^n\left( {\scriptstyle p\pi\over\scriptstyle n}\right)\).

Somme de coefficients binomiaux **

11 mars 2024 22:46 — Par Michel Quercia

A l’aide de formules du binôme, simplifier :

\(\sum_{k=0}^{[n/3]}\binom{n}{3k}\).
\(\sum_{k=0}^{[n/2]}\binom{n}{2k}(-3)^k\).
\(\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\cos(k\theta )\).
\(\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\sin(k+1)\theta\).
\(\cos a + \binom{n}{1}\cos(a+b) + \binom{n}{2}\cos(a+2b) + \dots + \binom{n}{n}\cos(a+nb)\).

Sommes trigonométriques **

11 mars 2024 22:46 — Par Michel Quercia

\(\sum_{k=0}^n k\cos(k\theta )\).
\(\sum_{k=1}^n \sin^3(k\theta )\).

Équation trigonométrique **

11 mars 2024 22:46 — Par Michel Quercia

Soit \(a\in \mathbb{R}\). Résoudre : \(\begin{cases}\cos(a) + \cos(a+x) + \cos(a+y) = 0\\ \sin(a) + \sin(a+x) + \sin(a+y) = 0.\end{cases}\)

\(\sum \cos^{2p}(x+k\pi /2p)\) **

11 mars 2024 22:47 — Par Michel Quercia

Soit \(\theta \in \mathbb{R}\).

Simplifier \(\cos^4 \theta + \cos^4 (\theta + \frac\pi 4) + \cos^4 (\theta + \frac{2\pi }4) + \cos^4 (\theta + \frac{3\pi }4)\).
Simplifier \(\cos^6\theta + \cos^6(\theta + \frac\pi 6) + \dots + \cos^6(\theta + \frac{5\pi }6)\).
Simplifier \(\cos^{2p}\theta + \cos^{2p}(\theta + \frac\pi {2p}) + \dots + \cos^{2p}(\theta + \frac{(2p-1)\pi }{2p})\).

\(\sum\cos(kx)/\cos x^k = 0\) **

11 mars 2024 22:47 — Par Michel Quercia

Résoudre : \(\sum_{k=0}^{n-1}\,\dfrac {\cos(kx)}{\cos^kx} = 0\).

\(\sum \binom{n}{k}x^{n-k}\cos(k\alpha ) = 0\) **

11 mars 2024 22:47 — Par Michel Quercia

Résoudre en \(x\) : \(x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}\cos\alpha + \dots + \binom{n}{n}\cos(n\alpha ) = 0\).

\(\sum 2^{-k}/\cos\theta \hdots \cos(2^k\theta )\) **

11 mars 2024 22:47 — Par Michel Quercia

Simplifier \(\sum_{k=1}^n \dfrac 1{2^k \cos\theta \cos2\theta \cos4\theta \dots \cos2^{k-1}\theta }\).

Calcul de \(\tan(nx)\) **

11 mars 2024 22:47 — Par Michel Quercia

Soit \(n\in \mathbb{N}\), et \(x\in \mathbb{R}\). Exprimer \(\tan(nx)\) en fonction de \(\tan x\).

\(z = (1+ia)/(1-ia)\) **

11 mars 2024 22:47 — Par Michel Quercia

Soit \(z\in \mathbb U\). Peut-on trouver \(a\in \mathbb{R}\) tel que \(z = \dfrac {1+ia}{1-ia}\) ?

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