Application à la trigonométrie

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Application à la trigonométrie

Les exercices

Exercices dans ce dossier

Exercice 921 *

4 janvier 2021 17:54 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Pour \(x\in\mathbb{R}\), linéariser les expressions suivantes :

\(\sin^2 x\)
\(\cos^4 x\)
\(\sin^4 x\)
\(\sin^5 x\).
\(\cos x \sin^2 x\)
\(\cos^2 x \sin^2 x\)
\(\cos a \cos b\)
\(\cos a \cos b \cos c\)

Exercice 252 *

4 janvier 2021 17:54 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), transformer :

\(\cos (3x)\) en un polynôme en \(\cos x\).
\(\sin (3x)\) en un polynôme en \(\sin x\).
\(\cos (4x)\) en un polynôme en \(\cos x\).

Équations trigonométriques *

4 janvier 2021 17:55 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Résoudre dans l’ensemble des nombres réels les équations trigonométriques suivantes:

\(\cos(2x)+\cos(x)=0\)
\(\sin x\cos x=1/4\)
\(\tan\left(3x-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 5}\right)=\tan\left(x+{\scriptstyle 4\pi\over\scriptstyle 5}\right)\)
\(\cos x-\sqrt 3 \sin x=1\)
\(\cos \left(2x-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3}\right)=\sin\left(x+{\scriptstyle 3\pi\over\scriptstyle 4}\right)\)
\(\sin x - 1/\sin x=3/2\).
\(\sin x + \sin 3x=0\)
\(3\cos x - \sqrt 3 \sin x=\sqrt 6\)

Équations trigonométriques **

4 janvier 2021 17:55 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Résoudre les équations trigonométriques suivantes :

\(\cos(2x)+\cos(x)=-1\)
\(\cos^4 x+\sin^4 x=1\)
\(\cos x + \cos 2x + \cos 3x = -1\)

Exercice 884 *

4 janvier 2021 17:55 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Soient \(n\in\mathbb{N}\) et \(\theta\in\mathbb{R}\setminus 2\pi\mathbb{Z}\).

Montrer que : \[\sum_{k=0}^n e^{ik\theta}=e^{in{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}\,\dfrac{\sin {\scriptstyle\left(n+1\right)\theta\over\scriptstyle 2}}{\sin {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}\]
En déduire : \[\sum_{k=0}^n \cos \left(k\theta\right) \quad \textrm{ et} \quad\sum_{k=0}^n \sin \left(k\theta\right).\]
En déduire : \[\sum_{k=0}^n k\sin k\theta.\]

Exercice 231 *

4 janvier 2021 17:55 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

On pose \[A=\sin\left( \dfrac{\pi}{12} \right) \quad B= \cos \left( \dfrac{\pi}{12}\right) \quad C=\tan \left( \dfrac{\pi}{12} \right)\]

En utilisant la trigonométrie, montrer que \(A\) vérifie une équation du second degré.
Exprimer \(A\) , \(B\) , \(C\) en utilisant des racines carrées.

Exercice 13 **

4 janvier 2021 17:55 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Calculer la somme \[S = \sum_{k=1}^{4} \cos^2 {\scriptstyle k\pi\over\scriptstyle 9}\]

Exercice 145 **

4 janvier 2021 17:55 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), calculer les sommes suivantes :

\(S_1=\sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}\cos kx\)
\(S_2=\sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}\sin kx\)
\(S_3=\sum_{k=0}^n \dfrac{\cos kx}{\cos^k x}\) (avec \(x\neq \pi/2 ~\left[\pi\right]\)).
\(S_4=\sum_{k=0}^n \dfrac{\sin kx}{\cos^k x}\) (avec \(x\neq \pi/2 ~\left[\pi\right]\)).

Exercice 284 **

4 janvier 2021 17:55 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Calculer \(\forall\ n\in\mathbb{N}^*,\displaystyle\sum_{p=0}^{n-1} (-1)^p\cos^n\left( {\scriptstyle p\pi\over\scriptstyle n}\right)\).

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