Borne supérieure

Dans le dossier «Borne supérieure»

Borne supérieure

Les exercices

$\bullet$Exercice 141 *
$\bullet$Exercice 711 *
$\bullet$Exercice 253 ***
$\bullet$Exercice 770 **
$\bullet$Exercice 120 **
$\bullet$Exercice 179 *
$\bullet$Exercice 867 **
$\bullet$Exercice 36 *
$\bullet$Exercice 189 **

Exercices dans ce dossier

Exercice 141 *

25 janvier 2021 22:12 — Par Emmanuel Vieillard-Baron François Capaces Alain Soyeur

Soit \(A\) une partie non vide et majorée de \(\mathbb{R}\). On suppose que la borne supérieure \(M\) de \(A\) vérifie \(M=\sup(A)>0\). Montrer qu’il existe un élément de \(A\) strictement positif.

Exercice 711 *

25 janvier 2021 22:12 — Par Emmanuel Vieillard-Baron François Capaces Alain Soyeur

Soit \(a\) un réel positif. Montrer que \[\forall \varepsilon >0, ~ a \leqslant \varepsilon \Rightarrow a =0\]

Exercice 253 ***

25 janvier 2021 22:12 — Par Emmanuel Vieillard-Baron François Capaces Alain Soyeur

Soit \(f\) une application croissante de \(\left[0,1\right]\) dans lui-même. On considère l’ensemble \[E=\left\{ x \in [0,1], ~ f(x) \geqslant x \right\}\]

Montrer que \(E\) possède une borne supérieure \(b\).
Montrer que \(f(b)=b\).
( ).
On pourra étudier les deux cas: \(f(b)>b\) et \(f(b)<b\))

Exercice 770 **

25 janvier 2021 22:12 — Par Emmanuel Vieillard-Baron François Capaces Alain Soyeur

On considère la partie de \(\mathbb{R}\) suivante : \[A= \left\lbrace \dfrac{x^2+2}{x^2+1}~\mid~x\in \mathbb{R} \right\rbrace.\] Déterminer, s’ils existent, \(\sup A, \inf A, \min A , \max A\).

Exercice 120 **

25 janvier 2021 22:12 — Par Emmanuel Vieillard-Baron François Capaces Alain Soyeur

On considère la partie de \(\mathbb{R}\) suivante : \[A=\left\lbrace (-1)^n+ \dfrac{1}{n}~\mid~n \in \mathbb{N}^{*} \right\rbrace.\] Déterminer \(\sup A\) et \(\inf A\).

Faire un dessin représentant les points de \(A\).

Exercice 179 *

25 janvier 2021 22:12 — Par Emmanuel Vieillard-Baron François Capaces Alain Soyeur

Soit un intervalle \(I\subset \mathbb{R}\) et deux applications bornées \(f : I\longrightarrow \mathbb{R}\) , \(g : I\longrightarrow \mathbb{R}\). Montrez que : \[\bigl| \sup_{x\in I} f(x) - \sup_{x\in I} g(x) \bigr| \leqslant\sup_{x\in I} \lvert \, f(x) - g(x) \, \rvert\]

Montrez que \(\mbox{$\displaystyle \sup_{I}f $} - \mbox{$\displaystyle \sup_{I}g $} \leqslant\mbox{$\displaystyle \sup_{I}\left| f-g\right| $}\) et dans un deuxième temps que \(\mbox{$\displaystyle \sup_{I}g $} - \mbox{$\displaystyle \sup_{I}f $} \leqslant\mbox{$\displaystyle \sup_{I}\left| f-g\right| $}\).

Soit \(x\in I\), écrire \(f(x)= f(x)-g(x) + g(x)\) et majorer \(f(x)\leqslant\left| f(x)-g(x)\right| +g(x)\). Utiliser ensuite le raisonnement de passage à la borne supérieure.

Exercice 867 **

25 janvier 2021 22:12 — Par Emmanuel Vieillard-Baron François Capaces Alain Soyeur

Soient deux parties de \(\mathbb{R}\), \(A\subset \mathbb{R}\) et \(B\subset \mathbb{R}\) non-vides et majorées. Montrez que \(\sup(A\cup B)\) existe et l’exprimer en fonction de \(\sup A\) et \(\sup B\).

Exercice 36 *

25 janvier 2021 22:12 — Par Emmanuel Vieillard-Baron François Capaces Alain Soyeur

Soit \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) une application croissante et \(A\subset \mathbb{R}\) une partie non-vide majorée.

Montrez que \(\sup f(A) \leqslant f(\sup A)\).
Trouvez un exemple où l’inégalité est stricte.

Exercice 189 **

25 janvier 2021 22:12 — Par Emmanuel Vieillard-Baron François Capaces Alain Soyeur

On considère une partie \(A \subset \mathbb{R}\) non-vide. On suppose qu’il existe \((\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^{2}\) tels que \(\forall x \in A\), \(0 < \alpha \leqslant x \leqslant\beta\). Montrer que la partie \(A' = \{ \dfrac{1}{x};~ x\in A\}\) possède une borne supérieure et une borne inférieure et exprimer \(\sup A'\), \(\inf A'\) en fonction de \(\sup A\) et \(\inf A\).

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