Inégalités

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Exercice 937 **

25 janvier 2021 22:10 — Par Emmanuel Vieillard-Baron François Capaces Alain Soyeur

Soient \(x_1\), \(x_2\), ..., \(x_n\), \(n\) réels strictement positifs. Montrer que \[\left( x_1+x_2+...+x_n \right)\left( x_1^{-1}+x_2^{-1}+...+x_n^{-1} \right) \geqslant n^2\]

On montrera au préalable que: \(\forall x \in \mathbb{R}_+^*,~ x+\dfrac{1}{x} \geqslant 2\).

Exercice 670 **

25 janvier 2021 22:10 — Par Emmanuel Vieillard-Baron François Capaces Alain Soyeur

\(\forall (a,b)\in \mathbb{R}_+^2, ~ \sqrt{a+b}\leqslant\sqrt a + \sqrt b\). Étudier dans quel cas on a égalité.
\(\forall (a,b)\in \mathbb{R}^2, ~ \left|\sqrt{\left|a\right|}-\sqrt{\left|b\right|}\right|\leqslant\sqrt{\left|a-b\right|}\).

Aidez-vous de la preuve de l’inégalité triangulaire page .

Exercice 56 **

25 janvier 2021 22:10 — Par Emmanuel Vieillard-Baron François Capaces Alain Soyeur

Majorer et minorer pour \(n\geqslant n_0\) (à déterminer), les suites suivantes par des suites de la forme \(c. n^p\) (avec le même exposant pour la majoration et la minoration).

\(u_n =\dfrac{2n^5 - n^4 + n^2 -1}{n^2 + n -1}\)
\(u_n = \dfrac{n^2 + (n^2-1)/(n+1)}{n + (n^3-1)(n+1)}\)

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