Relations entre coefficients et racines

Trouver une condition nécessaire et suffisante sur \(\lambda\) pour que \[P =2X^3-X^2-7X+\lambda\] possède deux racines de somme \(1\).

Soit \(P(X)=X^3+2X^2-7X+\lambda \in \mathbb{C}_{ }[X]\). Trouver \(\lambda\) pour que le carré d’une racine de \(P\) soit égal à la somme des carrés des autres racines.

Montrer qu’il n’existe pas de triplet de réels \(\left(u,v,w\right)\) vérifiant: \[u+v+w=3 \quad\textrm{ et} \quad uv+vw+wu=6\]

Trouver les racines dans \(\mathbb{C}\) du polynôme \(X^4-X^3-7X^2+X+6\) sachant qu’il possède deux racines dont la somme est \(0\).

Soit \(P= X^3+X-1 \in \mathbb{C}_{ }[X]\). On note \(x_k\) avec \(k\in\llbracket 1,3\rrbracket\) ses trois racines complexes.

Trouver \(m\in \mathbb{C}\) pour que le polynôme \[P=X^3+X^2+mX+6 \in \mathbb{\mathbb{C} }_{ }[X]\] possède deux racines \(x_1,x_2\) vérifiant \[x_1+x_2=x_1x_2.\] Déterminer alors explicitement ces racines.

Trouver les triplets \((x,y,z)\in \mathbb{C}^{3}\) solutions de \[\begin{cases}x+y+z&=1\\ x^2+y^2+z^2&=9\\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}&=1\end{cases} .\]

Résoudre dans \(\mathbb{C}\), \[\begin{cases} z_1 + z_2 + z_3 = 0 \\ \lvert z_1 \rvert = \lvert z_2 \rvert = \lvert z_3 \rvert = 1 \\ z_1 z_2 z_3 = 1 \end{cases}.\]

On considère une vraie ellipse \(\left\lbrace \begin{array}{rcl} x(t) &=& a\cos t \\ y(t) &=& a\sin t \end{array}\right.\), \(a^2\neq b^2\). Démontrer que quatre points \((M_{i})_{1\leqslant i\leqslant 4}\) sont cocycliques si et seulement si leurs paramètres \((t_{k})_{1\leqslant k\leqslant 4}\) vérifient \(t_{1}+t_{2}+t_{3}+t_{4}\equiv 0 [2\pi ]\) (passer en \(e^{it}\)).

Juliette se réveille à la fin du cours d’algèbre du mardi après-midi. A ce moment précis, elle entend le professeur dire: "\(\ldots\) et je vous donne comme indication que toutes les racines sont positives et réelles." En levant les yeux vers le tableau, elle découvre une équation du \(20^{\textrm{ème}}\) degré à résoudre à la maison, qu’elle essaie de recopier à toute vitesse. Elle arrive seulement à voir les deux premiers termes: \(x^{20}- 20.x^{19}\) avant que le professeur n’efface complètement le tableau. Heureusement elle se souvient que le terme constant est \(+1\). Pouvez- vous aider notre héroïne à résoudre cette équation ?