Racines d'un polynôme

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Exercice

Théorème fondamental de l’algèbre ***

25 janvier 2021 15:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(P\in \mathbb{C}[X]\), non constant, n’admettant aucune racine complexe. \(P(X) = a_0+ a_1X + \ldots + a_nX^n, (a_n\neq 0, n\geqslant 1)\)

  1. Démontrer que \(a_0\neq 0\).

  2. On considère \(f~: z \longmapsto \dfrac{1}{\vert P(z) \vert}\).

    • Démontrez que \(\forall z\in {\mathbb{C}},\quad \vert P(z) \vert \geqslant\vert a_n \vert .\vert z \vert^n - \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\vert a_{k}\vert .\vert z \vert^k\).

    • Démontrez que \(\forall\, \varepsilon > 0,\quad \exists\, M_\varepsilon> 0: \quad\vert z\vert > M_\varepsilon\Longrightarrow f(z) < \varepsilon\).

    • Démontrez que si \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est une suite de nombres complexes qui converge vers \(\ell\in \mathbb{C}\) alors la suite \((f(u_n))_{n\in \mathbb{N}}\) converge vers \(f(\ell)\).

  3. On pose \(\varepsilon = f(0)\).

    • Démontrez que \(f\) est majorée sur \(D_\varepsilon= \left\lbrace z\in \mathbb{C}, \vert z\vert \leqslant M_\varepsilon\right\rbrace\). (On pourra penser au théorème de Bolzano-Weierstrass au sein d’une démonstration par l’absurde.)

    • Démontrez qu’il existe une suite \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) telle que \((f(u_n))_{n\in \mathbb{N}}\) converge vers la borne supérieure des \(f(z)\) pour \(z\in D_\varepsilon\). (On pourra penser au théorème de Bolzano-Weierstrass ).

    • Démontrer que \(f\) est majorée sur \(\mathbb{C}\), et que \(m = \displaystyle\sup_{z\in\mathbb{C}} f(z)\) existe.

    • Démontrez que \(\exists\, z'\in \mathbb{C}, f(z') = m\). Déduisez-en que \(m\neq 0\).

  4. On pose \(Q(z) = \dfrac{P(z+z')}{P(z')}\) .

    • Démontrez que \(\exists (b_k)_{1\leqslant k\leqslant n}\in \mathbb{C}^n:\quad Q(X) = 1 + b_1X + \ldots + b_nX^n\) avec \(b_n\neq 0\).

    • Démontrez que \(\displaystyle\inf_{z\in\mathbb{C}}\vert Q(z)\vert = 1\).

  5. Soit \(p\) la valuation de \(Q(X) - 1\), c’est-à-dire le plus petit indice \(k \geqslant 1\) tel que \(b_k\neq 0\), et soit \(\alpha\) une racine \(p^{\textrm{ième}}\) de \(-b_p\).

    • Démontrez que \(\forall\, z\in \mathbb{C},\quad 1 \leqslant\left\vert 1 - z^p \right\vert + \left\vert \displaystyle\sum_{k=p+1}^{n} b_k\left( {\scriptstyle z\over\scriptstyle\alpha }\right)^k \right\vert\).

    • En prenant \(z\) réel dans \(]0,1[\) et en faisant tendre \(z\) vers zéro, quel théorème avez-vous démontré ?

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