Racines d'un polynôme

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Racines d'un polynôme
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Exercice

Exercice 896 *

25 janvier 2021 15:57 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère le polynôme : \(P=X^4-5X^3+4X^2+3X+9\).

  1. Montrer que \(3\) est une racine double de \(P\).

  2. Factoriser \(P\) dans \(\mathbb{R}\).

  3. En déduire toutes les racines de \(P\) dans \(\mathbb{C}\).
Exercice

Exercice 811 *

25 janvier 2021 15:57 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Montrer qu’il existe un unique polynôme unitaire \(P\in \mathbb{\mathbb{R} }_{4}[X]\) vérifiant: \[P(0)=P(1)=P'(1)=0 \textrm{ et } P'(0)=2\]
Exercice

Exercice 598 *

25 janvier 2021 15:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(a\), \(b\), \(c\) trois éléments non nuls et distincts de \(\mathbb{K}\). Démontrer que le polynôme \[P=\dfrac{X\left(X-b\right)\left(X-c\right)}{a\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{X\left(X-c\right)\left(X-a\right)}{b\left(b-c\right)\left( b-a\right)}+\dfrac{X\left(X-a\right)\left(X-b\right)}{c\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\] peut s’écrire sous la forme \(P=\lambda\left(X-a\right)\left(X-b\right)\left(X-c\right)+1\) où \(\lambda\) est une constante que l’on déterminera.
Exercice

Exercice 458 *

25 janvier 2021 15:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(n\geqslant 2\). Quel est l’ordre de multiplicité de la racine \(1\) dans le polynôme \(X^{2n}-nX^{n+1}+nX^{n-1}-1\) ?
Exercice

Exercice 314 *

25 janvier 2021 15:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère le polynôme \[P_n(X)=1+X+\dfrac{X^2}{2!}+\dots + \dfrac{X^n}{n!}\] Montrer qu’il n’a pas de racine multiple.
Exercice

Exercice 654 *

25 janvier 2021 15:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver \(P\in \mathbb{\mathbb{R} }_{5}[X]\) tel que \(-1\) soit racine triple de \(P+1\) et que \(1\) soit racine triple de \(P-1\).
Exercice

Exercice 640 *

25 janvier 2021 15:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \[P_n=(X+1)^{2n+1} - X^{2n+1} -1 \in \mathbb{\mathbb{R} }_{ }[X]\] Montrer que \((X^2+X)\) divise \(P_n\). Est-ce que \((-1)\) est racine double de \(P\)?
Exercice

Exercice 538 **

25 janvier 2021 15:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(n\in \mathbb{N}^*\). on considère \(P_n\in \mathbb{R}[X]\) défini par \(P_n(X) = (2n-1)X^{n+2} - (2n+1)X^{n+1}+ X^2+ X\).

  1. Calculer le quotient euclidien \(Q_n\) de \(P_n\) par \((X-1)^2\).

  2. Démontrer qu’il existe un unique réel \(x_n\geqslant 0\) tel que \(Q_n(x_n) = 1\).

  3. Établir que la suite \((x_n)\) est convergente et préciser sa limite.
Exercice

Exercice 862 *

25 janvier 2021 15:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère deux polynômes \((P, Q) \in \mathbb{\mathbb{C} }_{ }[X] ^2\) vérifiant \[\forall z \in \mathbb{C} ,~ \bigl|P(z)\bigr| = \bigl|Q(z)\bigr|.\] Montrer qu’il existe \(u \in \mathbb{C}\), \(\lvert u \rvert = 1\) tel que \(P = uQ\).
Exercice

Exercice 399 **

25 janvier 2021 15:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(P\in\mathbb{R}\left[X\right]\) un polynôme de degré \(n>0\). On suppose que \(P\) admet \(n\) racines réelles distinctes.

  1. Montrer que \(P'\) admet \(n-1\) racines réelles distinctes.

  2. En déduire que pour tout \(a \in \mathbb{R}^{\star}\), le polynôme \(Q = P^2 + a^2\) n’a pas de racines complexes multiples.
Exercice

Exercice 164 **

25 janvier 2021 15:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver les racines de \[P(X)= \sum_{k=0}^n {\displaystyle\Big({{\textstyle n}\atop {\textstyle k}}\Big)}X^{n-k} \cos k\alpha.\]
Exercice

Exercice 1003 **

25 janvier 2021 15:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On définit par récurrence la suite de polynômes \(\left(P_n\right)\) : \[\begin{cases} P_0=2,\quad P_1=X\\ \forall n\in\mathbb{N},\quad P_{n+2}=XP_{n+1}-P_n \end{cases}\]

  1. Calculer \(P_2\) et \(P_3\).

  2. Déterminer le degré et le coefficient du terme dominant de \(P_n\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).

  3. Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}\) et pour tout \(z\in\mathbb{C}^*\) : \[P_n\left(z+\dfrac{1}{z}\right)=z^n+\dfrac{1}{z^n}.\]

  4. En déduire une expression simple de \(P_n\left(2\cos \theta\right)\) pour tout \(\theta \in\mathbb{R}\).

  5. Déterminer les racines de \(P_n\) et en déduire une factorisation de \(P\).
Exercice

Polynômes réciproques **

25 janvier 2021 15:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On appelle polynômes réciproque un polynôme dont la suite des coefficients est symétrique. Par exemple \(1 - 2X + X^2\) ou \(1 + 2X + 2X^2 + X^3\) sont réciproques. Voir aussi le paragraphe p..

  1. Démontrer qu’un polynôme de degré \(n\) est réciproque si et seulement si \(\forall\,x\in\mathbb{K}^*, P(x) = x^n P\left( \dfrac 1x\right)\).

  2. Démontrer qu’un polynôme réciproque de degré impair admet \(-1\) comme racine.

  3. On suppose que \(P = (X+1)Q\). Démontrer que si \(P\) est un polynôme réciproque alors \(Q\) l’est aussi.

  4. Démontrer que le produit de deux polynômes réciproques est réciproque.

  5. Résoudre \(x^5 + 3x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 3x + 1 = 0\). (On utilisera les questions précédentes et on se souviendra de l’exercice précédent).

  6. On considère la suite de polynômes : \(P_0=1\) et \(P_n=(1+nX)P_{n-1}+ X(1-X)P^\prime_{n-1}, (n\geqslant 1)\). Démontrer que les \(P_n\) sont des polynômes réciproques.
Exercice

Exercice 630 **

25 janvier 2021 15:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer tous les polynômes \(P\in \mathbb{C}_{ }[X]\) vérifiant: \[\forall x\in \mathbb{R} , \quad P(x)\in \mathbb{R} .\]
Exercice

Exercice 282 ***

25 janvier 2021 15:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer tous les polynômes complexes \(P\) tels que \(P(1-2X)=P(X)\).
Exercice

Exercice 519 ***

25 janvier 2021 15:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces
Trouver tous les polynômes \(P\in \mathbb{R}_{ }[X]\) vérifiant: \[P(X^2)=(X^2+1)P(X).\]
( ).
Trouver des racines de \(P\), les mettre en facteur …
Exercice

Exercice 694 ***

25 janvier 2021 15:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver tous les polynômes \(P\in \mathbb{R}_{ }[X]\) vérifiant \[P(X^2)=(P(X))^2.\]
Exercice

Exercice 387 ***

25 janvier 2021 15:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver tous les polynômes \(P\in \mathbb{C}_{ }[X]\) vérifiant: \[P(X^2)+P(X)P(X+1)=0 \quad \left(\star\right).\]
Exercice

Exercice 351 ***

25 janvier 2021 15:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient deux polynômes \((P, Q) \in \mathbb{\mathbb{R} }_{ }[X] ^2\) et \(k \in \mathbb{N}^{*}\).

  1. Montrer que \((X-1) \mid P(X^k) \Rightarrow (X-1) \mid P\).

  2. Montrer que \((X^2 + X + 1) \mid(P(X^3) + XQ(X^3)) \Rightarrow (X-1) \mid P\) et \((X-1) \mid Q\).
Exercice

Exercice 247 ***

25 janvier 2021 15:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

  1. On considère le polynôme \(P=a_nX^n+\dots+a_0\in\mathbb{Z}\left[X\right]\) un polynôme à coefficients entiers tel que \(a_n\neq 0\) et \(a_0 \neq 0\). On suppose que \(P\) admet une racine rationnelle \(\dfrac{p}{q}\in\mathbb{Q}\) où \(p\wedge q=1\). Montrer que \(p~|~a_0\) et que \(q~|~a_n\).

  2. En déduire une factorisation de \(P=2X^{3}-X^{2}-X-3\) dans \(\mathbb{C}\).

  3. Vérifier si le polynôme \(P=X^5+3X^2+2\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}\left[X\right]\) ?

  4. Avec les notations de la première question, démontrer que \(p-q\mid P(1)\) puis, sans effort, que \(p+q\mid P(1)\).

  5. Factoriser dans \(\mathbb{R}\) le polynôme \(3X^4-19X^3+9X^2-19X+6\).

Voir aussi le paragraphe page de l’annexe .
Exercice

Théorème fondamental de l’algèbre ***

25 janvier 2021 15:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(P\in \mathbb{C}[X]\), non constant, n’admettant aucune racine complexe. \(P(X) = a_0+ a_1X + \ldots + a_nX^n, (a_n\neq 0, n\geqslant 1)\)

  1. Démontrer que \(a_0\neq 0\).

  2. On considère \(f~: z \longmapsto \dfrac{1}{\vert P(z) \vert}\).

    • Démontrez que \(\forall z\in {\mathbb{C}},\quad \vert P(z) \vert \geqslant\vert a_n \vert .\vert z \vert^n - \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\vert a_{k}\vert .\vert z \vert^k\).

    • Démontrez que \(\forall\, \varepsilon > 0,\quad \exists\, M_\varepsilon> 0: \quad\vert z\vert > M_\varepsilon\Longrightarrow f(z) < \varepsilon\).

    • Démontrez que si \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est une suite de nombres complexes qui converge vers \(\ell\in \mathbb{C}\) alors la suite \((f(u_n))_{n\in \mathbb{N}}\) converge vers \(f(\ell)\).

  3. On pose \(\varepsilon = f(0)\).

    • Démontrez que \(f\) est majorée sur \(D_\varepsilon= \left\lbrace z\in \mathbb{C}, \vert z\vert \leqslant M_\varepsilon\right\rbrace\). (On pourra penser au théorème de Bolzano-Weierstrass au sein d’une démonstration par l’absurde.)

    • Démontrez qu’il existe une suite \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) telle que \((f(u_n))_{n\in \mathbb{N}}\) converge vers la borne supérieure des \(f(z)\) pour \(z\in D_\varepsilon\). (On pourra penser au théorème de Bolzano-Weierstrass ).

    • Démontrer que \(f\) est majorée sur \(\mathbb{C}\), et que \(m = \displaystyle\sup_{z\in\mathbb{C}} f(z)\) existe.

    • Démontrez que \(\exists\, z'\in \mathbb{C}, f(z') = m\). Déduisez-en que \(m\neq 0\).

  4. On pose \(Q(z) = \dfrac{P(z+z')}{P(z')}\) .

    • Démontrez que \(\exists (b_k)_{1\leqslant k\leqslant n}\in \mathbb{C}^n:\quad Q(X) = 1 + b_1X + \ldots + b_nX^n\) avec \(b_n\neq 0\).

    • Démontrez que \(\displaystyle\inf_{z\in\mathbb{C}}\vert Q(z)\vert = 1\).

  5. Soit \(p\) la valuation de \(Q(X) - 1\), c’est-à-dire le plus petit indice \(k \geqslant 1\) tel que \(b_k\neq 0\), et soit \(\alpha\) une racine \(p^{\textrm{ième}}\) de \(-b_p\).

    • Démontrez que \(\forall\, z\in \mathbb{C},\quad 1 \leqslant\left\vert 1 - z^p \right\vert + \left\vert \displaystyle\sum_{k=p+1}^{n} b_k\left( {\scriptstyle z\over\scriptstyle\alpha }\right)^k \right\vert\).

    • En prenant \(z\) réel dans \(]0,1[\) et en faisant tendre \(z\) vers zéro, quel théorème avez-vous démontré ?

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