Division euclidienne

Dans le dossier «Division euclidienne»

Division euclidienne

Les exercices

$\bullet$Exercice 606 *
$\bullet$Exercice 69 *
$\bullet$Exercice 45 *
$\bullet$Exercice 628 *
$\bullet$Exercice 420 **
$\bullet$Exercice 910 **
$\bullet$Exercice 486 ***
$\bullet$Exercice 370 **

Exercices dans ce dossier

Exercice 606 *

25 janvier 2021 15:54 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Effectuer la division euclidienne de \(A\) par \(B\) dans les cas suivants :

\(A= X^3+X^2-2X+3\) et \(B=X^2+2X-1\)
\(A=X^4+2X^2-3X^3-2X+4\) et \(B=X^2+1\)
\(A= X^2+iX+3\) et \(B=X+2i\)
\(A=X\) et \(B= X^2+1\)
\(A=2X^2+4X-1\) et \(B=X^2+3X-1\)
\(A= X^2-1\) et \(B= X^3+2X-1\)

Exercice 69 *

25 janvier 2021 15:54 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(P\in \mathbb{K}_{ }[X]\) et \(r\) et \(s\) les restes de la division de \(P\) par \((X-a)\) et par \((X-b)\). Quel est le reste de la division de \(P\) par \((X-a)(X-b)\)? (on déterminera ce reste en fonction de \(r,s\) lorsque \(a\neq b\) et en fonction de \(P(a)\) et \(P'(a)\) si \(a=b\).

Lorsque \(a=b\), utiliser la formule de Taylor.

Exercice 45 *

25 janvier 2021 15:54 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver le reste de la division euclidienne de \(X^n\) par \((X-1)^3\).

Exercice 628 *

25 janvier 2021 15:54 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(a\in\mathbb{R}\) et \(n\in\mathbb{N}^*\). Déterminer le reste de la division euclidienne dans \(\mathbb{R}\left[X\right]\) de \(\left(X\sin a + \cos a\right)^n\) par \(X^2+1\).

Exercice 420 **

25 janvier 2021 15:55 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Pour \(m\in {\mathbb{N}}^{*}\)et \(\vartheta \in {\mathbb{R}}\), on considère \(F_{m,\vartheta}= X^{2m}- 2X^{m}\cos m\vartheta + 1 \in {\mathbb{C}}[X]\). Vérifier que \(F_{m,\vartheta }\) est divisible par \(F_{1,\vartheta }\). Calculer le quotient.

Exercice 910 **

25 janvier 2021 15:55 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Vérifier que \(X^{n}\sin\vartheta - X.\sin n\vartheta + \sin (n-1)\vartheta\) est divisible dans \(\mathbb{C}[X]\) par \(X^{2}- 2X.\cos \vartheta + 1\) et calculer le quotient.

Exercice 486 ***

25 janvier 2021 15:55 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(n\) et \(m\) deux entiers naturels.

Démontrer que si \(d\mid n\) alors \(X^d - 1 \mid X^n - 1\).
On pose \(n = mq+r\) à la faveur d’une division euclidienne.
Démontrer que \(X^n - 1 \wedge X^m - 1 = X^m - 1 \wedge X^r - 1\).
Démontrer que \(X^n - 1 \wedge X^m - 1 = X^{n \wedge m} - 1\).
Soit \(a\) un entier naturel. Démontrer que \(a^n - 1 \wedge a^m - 1 = a^{n \wedge m} - 1\).
Montrer que si a et \(b\) sont deux entiers premiers entre eux alors \(\forall\, P\in {\mathbb{K}}[X],(P^{a}- 1).(P^{b}- 1)\) divise \((P - 1).(P^{ab}- 1).\)

Exercice 370 **

25 janvier 2021 15:55 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(\varphi~:~\mathbb{Z}\to \mathbb{K}[X]\) un morphisme de d’anneaux. Montrer que \(\forall\,(a,b)\in\mathbb{Z}^2, \varphi(a)\wedge \varphi(b)=\varphi(a\wedge b)\).

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