Arithmétique des polynômes

Dans le dossier «Arithmétique des polynômes»

Arithmétique des polynômes

Les exercices

$\bullet$Exercice 200 *
$\bullet$Exercice 783 *
$\bullet$Exercice 377 **
$\bullet$Exercice 912 **
$\bullet$Exercice 971
$\bullet$Exercice 1008 *
$\bullet$Exercice 155 ***
$\bullet$Exercice 455 *
$\bullet$Exercice 893 *
$\bullet$Exercice 154 **
$\bullet$Exercice 61 *
$\bullet$Exercice 373 **

Exercices dans ce dossier

Exercice 200 *

25 janvier 2021 15:47 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Prouver que le polynôme \(A\) divise le polynôme \(B\) et déterminer le quotient correspondant :

\(A=X-1\) et \(B=X^3+X^2-X-1\)
\(A=X+2\) et \(B=2X^3+5X^2+X-2\)
\(A=X-i\) et \(B=X^3-2iX^2-i\)
\(A=X+1\) et \(B=X^3+X^2-X-1\)

Exercice 783 *

25 janvier 2021 15:47 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver tous les polynômes de \(\mathbb{\mathbb{R} }_{3}[X]\) divisibles par \(X-1\) ayant même reste dans les divisions euclidiennes par \((X-2), (X-3), (X-4)\).

Exercice 377 **

25 janvier 2021 15:47 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(A=X^{100}-X^4+X-1\) et \(B=X^3+X^2+X+1\). Trouver le reste de la division de \(A\) par \(B\).

Considérer \(X^{100}-X^4\).

Exercice 912 **

25 janvier 2021 15:47 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(n\geqslant 1\). Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que \((X-1)^2 \mid aX^{n+1}+bX^n +1\) dans \(\mathbb{R}\left[X\right]\). Trouver le quotient.

Exercice 971

25 janvier 2021 15:47 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Montrer que \(X^{5}-1\) et \(X^{2}+X+1\) sont premiers entre eux.
Déterminer explicitement une relation de Bézout entre \(X^{5}-1\) et \(X^{2}+X+1\)

Exercice 1008 *

25 janvier 2021 15:47 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(P\in \mathbb{\mathbb{K} }_{ }[X]\) et \(\alpha \in \mathbb{K}\). Montrer que \(\alpha\) est racine double de \(P\) si et seulement si \(\alpha\) est une racine de \(P\wedge P'\).

Exercice 155 ***

25 janvier 2021 15:47 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(P,Q \in \mathbb{R}\left[X\right]\). Montrer que \[(P-Q) \mid P\circ P-Q\circ Q \Rightarrow (P-Q) \mid (P\circ Q-Q\circ P).\]

Exercice 455 *

25 janvier 2021 15:47 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit un entier \(n \geqslant 2\). Montrer que le polynôme \[P = (X-3)^{2n} + (X-2)^n - 1\] est divisible par \((X-2)(X-3)\) et calculer le quotient.

Exercice 893 *

25 janvier 2021 15:47 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient deux entiers \((n, p) \in \left(\mathbb{N}^{*}\right)^2\) et un polynôme \(A \in \mathbb{\mathbb{K} }_{ }[X]\). Montrer que \[A^2 + A \mid A^{2n} + (A+1)^p - 1.\]

Exercice 154 **

25 janvier 2021 15:47 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit un entier \(n \geqslant 2\) et un complexe non-nul \(\lambda \in \mathbb{C}^{\star}\). Déterminer les couples de polynômes \((A, B) \in { \mathbb{\mathbb{C} }_{ }[X] }^2\) vérifiant : \[A^n + B^n = \lambda.\]

Exercice 61 *

25 janvier 2021 15:47 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(P_{n}\) la suite de polynômes définie par \(P_{1}= 1 ; P_{2}= X\) et \(\forall\, n\geqslant 2,\quad P_{n}= XP_{n-1}- P_{n-2}\).

Démontrer que \(\forall n\geqslant 2,\quad P^{2}_{n}- P_{n-1}.P_{n+1}= 1\).
En déduire que \(P_{n}\) et \(P_{n+1}\) sont premiers entre eux.

Exercice 373 **

25 janvier 2021 15:47 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(n\in \mathbb{N}^*\).

Démontrer qu’il existe un unique couple \((P,Q)\in \mathbb{Q}_{n-1}[X]\), tel que \((1-X)^n P(X) + X^n Q(X) = 1\).
Démontrer que \(P(X) = Q(1-X)\).
Démontrer que \(\exists a\in \mathbb{Q}, (1-X).P'(X) - n.P(X) = aX^{n-1}\).
Calculer \(P(0)\).
Déterminer les coefficients de \(P\).

;

Success message!