L'anneau des polynômes

Dans le dossier «L'anneau des polynômes»

L'anneau des polynômes

Les exercices

$\bullet$Exercice 226 *
$\bullet$Exercice 37 *
$\bullet$Exercice 51 *
$\bullet$Exercice 42 *
$\bullet$Exercice 756 *
$\bullet$Exercice 400 *
$\bullet$Exercice 515 *
$\bullet$Exercice 241 **

Exercices dans ce dossier

Exercice 226 *

25 janvier 2021 14:47 — Par Alain Soyeur Emmanuel Vieillard-Baron François Capaces

Calculer \(P = (1+X)(1+X^{2})(1+X^{4})\ldots \left( 1+X^{2^n}\right)\).

Exercice 37 *

25 janvier 2021 14:47 — Par Alain Soyeur Emmanuel Vieillard-Baron François Capaces

Soit \(P\) le polynôme \(P(X) = (1+X)(1+qX)(1+q^{2}X)\ldots (1+q^{n-1}X), (q\neq 1)\). Établir une relation entre \(P(qX)\) et \(P(X)\). En déduire la valeur des coefficients de \(P\).

Exercice 51 *

25 janvier 2021 14:47 — Par Alain Soyeur Emmanuel Vieillard-Baron François Capaces

Déterminer les coefficients de

\((1 + X + X^2 + \ldots + X^n)^2\).
\((1 - X + X^2 + \ldots + (-1)^nX^n)^2\).
\((1 + X + X^{2}+ \ldots + X^{n})(1 - X + X^{2}- \ldots + (-1)^{n}X^{n})\).

Exercice 42 *

25 janvier 2021 14:47 — Par Alain Soyeur Emmanuel Vieillard-Baron François Capaces

Calculer \(S = (n-1) + (n-2)\times2 + \ldots + 2(n-2) + (n-1)\).

On pourra proposer deux solutions :

une première par un calcul direct,
une seconde en s’intéressant au polynôme \(P= \sum_{k=0}^{n} X^k\) et plus précisément à la dérivée seconde de \({P^2}\).

Exercice 756 *

25 janvier 2021 14:47 — Par Alain Soyeur Emmanuel Vieillard-Baron François Capaces

Trouver tous les polynômes \(P,Q\in \mathbb{\mathbb{C} }_{}[X]\) vérifiant :

\(Q^2(X)=XP^2(X)\).
\(P\circ P=P\).
\(P(X^2) = P(X)\)
\(P(X+1)=XP(X)\)

Exercice 400 *

25 janvier 2021 14:48 — Par Alain Soyeur Emmanuel Vieillard-Baron François Capaces

Trouver tous les polynômes \(P,Q\in \mathbb{\mathbb{C} }_{}[X]\) vérifiant :

\(P(X^2) = XP(X)\)
\(P(X)^2 = XP(X + 1)\)
\(P(X) - P(X-1) = X^2\)
\((X+3)P(X)=XP(X+1)\)

Exercice 515 *

25 janvier 2021 14:48 — Par Alain Soyeur Emmanuel Vieillard-Baron François Capaces

Soit \(f(z) = a_0 + a_1z + \ldots + a_nz^n\) une fonction polynomiale définie sur \(\mathbb{C}\). Les scalaires \(a_0, a_1,\ldots, a_n\) sont \(n+1\) nombres complexes tels que \(\forall\,z\in\mathbb{C}, f(z) = 0\). On se propose de redémontrer que les \(a_k\) sont tous nuls.
Pour cela on calculera pour tout \(k\in\llbracket 0,n\rrbracket\) l’intégrale \(I_k = \displaystyle\int_0^{2\pi} f\left( e^{i\vartheta}\right)e^{-ik\vartheta}\,\textrm d\vartheta\) de deux façons différentes.

Exercice 241 **

25 janvier 2021 14:48 — Par Alain Soyeur Emmanuel Vieillard-Baron François Capaces

On considère un polynôme \(P = a_0 + a_1 X + \cdots + a_n X^n \in \mathbb{\mathbb{C} }_{}[X]\) à coefficients complexes et l’on note \[M = \sup_{z \in \mathbb{C} ,~\lvert z \rvert = 1} \left| P(z) \right|\]

On note pour tout \(k \in \llbracket 0,n\rrbracket\), \(\omega_k\) les \(n+1\) racines \((n+1)\)ième de l’unité. Pour \(p \in [\kern-0.127em[ 0, n ]\kern-0.127em]\), calculer la somme \[S_p = \sum_{k=0}^n \omega_k^{-p} P(\omega_k)\]
En déduire que \(\forall p \in \llbracket 0,n\rrbracket\), \(\lvert a_p \rvert \leqslant M\).

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