Polynômes, équations, racines de l'unité

Dans le dossier «Polynômes, équations, racines de l'unité»

Polynômes, équations, racines de l'unité

Les exercices

$\bullet$Exercice 134 *
$\bullet$Exercice 239 *
$\bullet$Exercice 999 *
$\bullet$Exercice 622 *
$\bullet$Exercice 903 **
$\bullet$Exercice 752 **
$\bullet$Exercice 731 **
$\bullet$Exercice 902 **
$\bullet$Exercice 938 *
$\bullet$Exercice 762 **
$\bullet$Exercice 371 *
$\bullet$Exercice 520 **
$\bullet$Racines primitives de l’unité ***
$\bullet$Exercice 985 ***

Exercices dans ce dossier

Exercice 134 *

4 janvier 2021 17:40 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Soit \(P\) le polynôme défini dans \(\mathbb{C}\) par: \[P(z)={z}^{3}-{z}^{2}+(5+7\,i)z+10-2\,i.\]

Montrer que \(P\) possède une racine imaginaire pure.
En déduire une factorisation de \(P\) de la forme \(P(z)=(z-2\,i)Q(z)\) où \(Q\) est un polynôme du second degré à coefficients complexes.
Résoudre alors \(P(z)=0\) et factoriser complètement le polynôme \(P\) sur \(\mathbb{C}\).

Exercice 239 *

4 janvier 2021 17:40 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Déterminer les racines carrées des nombres complexes suivants :

\(z_1=-3+4i\)
\(z_2=-5-12i\)
\(z_3=-24-10i\)
\(z_4=-i\)

Exercice 999 *

4 janvier 2021 17:40 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Déterminer les racines des polynômes suivants :

\({z}^{2}+iz+5-5\,i\)
\({z}^{2}+z-iz-5\,i\)
\({z}^{2}-iz+1-3\,i\)
\({z}^{2}-3\,iz-3-i=0\)

Exercice 622 *

4 janvier 2021 17:40 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Les racines troisièmes de \(-8\).
Les racines cinquièmes de \(-i\)
Les racines sixièmes de \({\scriptstyle-4\over\scriptstyle 1+i\sqrt 3}\)

Exercice 903 **

4 janvier 2021 17:40 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \[(z-1)^6 + (z-1)^3 +1 = 0 .\]

Exercice 752 **

4 janvier 2021 17:40 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Résoudre dans \(\mathbb{C}\), l’équation \[(1 + iz)^5 = (1 - iz)^5 ~ \left(\star\right).\]
En déduire les valeurs de \(\tan\dfrac{\pi}{5}\) et \(\tan\dfrac{2\pi}{5}\), que l’on exprimera sous la forme : \[\sqrt{p + q\sqrt{n}}, \quad(n,p,q) \in \mathbb{N}^{2}\times \mathbb{Z}\]
En déduire la valeur de \(\tan\dfrac{\pi}{10}\).

Exercice 731 **

4 janvier 2021 17:40 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Résoudre les équations suivantes d’inconnue \(z\in \mathbb{C}\):

\(1+\dfrac{z+i}{z-i}+{\left( \dfrac{z+i}{z-i}\right) }^{2}+{\left( \dfrac{z+i}{z-i}\right) }^{3}=0\)
\({\left( z+i\right) }^{n}={\left( z-i\right) }^{n}\)

Exercice 902 **

4 janvier 2021 17:40 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Résoudre \[z^3=\overline{z}\]

Exercice 938 *

4 janvier 2021 17:40 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Soit \(\omega\) une racine \(n\)-ième de l’unité différente de \(1\). On pose \[S=\sum_{k=0}^{n-1} \left(k+1\right)\omega^k.\] Déterminer une valeur de \(S\).

On pourra calculer \(\left(1-\omega\right)S\).

Exercice 762 **

4 janvier 2021 17:40 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Soit \(n\in\mathbb{N}\), \(n\geqslant 2\). Calculer le produit des éléments de \(\mathbb U_n\).

Exercice 371 *

4 janvier 2021 17:41 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \[1 + 2z + 2z^2 + \cdots + 2z^{n-1} + z^n = 0\]

Multiplier par \((1-z)\).

Exercice 520 **

4 janvier 2021 17:41 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Pour \(n\geqslant 2\), on note \(\omega =e^{{\scriptstyle 2i\pi\over\scriptstyle n}}\). Calculer les sommes suivantes: \[S_1=\mbox{$\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \omega ^{kp} $} \quad(p\in \mathbb{Z} ) ,\quad\quad S_2=\mbox{$\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}{\displaystyle\Big({{\textstyle n}\atop {\textstyle k}}\Big)}\omega ^k $} ,\quad \quad S_3= \mbox{$\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\left| \omega ^k-1\right| $} .\]

Racines primitives de l’unité ***

4 janvier 2021 17:41 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Soit \(n\in\mathbb{N}\), \(n\geqslant 1\) et soit \(\omega\in\mathbb U_n\). On dit que \(\omega\) est une racine primitive \(n\)-ième de l’unité si et seulement si toute racine \(n\)-ième de l’unité s’écrit comme une puissance de \(\omega\). Autrement dit : \[\mathbb U_n= \left\{\omega^k~|~ k\in\mathbb{Z}\right\}\]

Soit \(k\in\llbracket 0,n-1\rrbracket\). Montrer que \(\omega=e^{{\scriptstyle 2ik\pi\over\scriptstyle n}}\) est une racine primitive \(n\)-ième de l’unité si et seulement si \(k\) est premier avec \(n\).

Exercice 985 ***

4 janvier 2021 17:41 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Posons \(\omega=e^{{\scriptstyle 2i\pi\over\scriptstyle 7}}\) et considérons \(X=\omega+\omega^2+\omega^4\) et \(Y=\omega^3+\omega^5+\omega^6\).

Montrer que \(Y=\overline X\) et que \(\mathop{\rm Im}X>0\).
Calculer \(X+Y\) et \(XY\). En déduire que \(X\) et \(Y\) sont solutions d’une équation du second degré puis calculer \(X\) et \(Y\).
Exprimer \(\mathop{\rm Re}X\) en fonction de \(\cos {\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 7}\).
En déduire que \(\cos {\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 7}\) est une racine du polynôme \(8x^3+4x^2-4x-1=0\).

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