Equations fonctionnelles

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Exercice 44 ***

18 janvier 2021 15:48 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Déterminer les fonctions \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\) telles que pour toute suite arithmétique \((x_n)\), la suite \((f(x_n))\) est une suite arithmétique.

Exercice 480 **

18 janvier 2021 15:48 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Trouver toutes les fonctions de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\) vérifiant \[\forall x\in \mathbb{R} , \quad f(2x)=2f(x)\]
Si l’on ne suppose pas \(f\) dérivable, construire une fonction différente de celles trouvées vérifiant la propriété.

Exercice 316 ***

18 janvier 2021 15:48 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^{1}\). On suppose que : \[\forall x\in \mathbb{R} , \quad f\circ f(x)=\dfrac{x}{2}+3 \quad (\star).\]

Montrer que : \(\forall x\in \mathbb{R} ,\quad f({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+3)=\dfrac{f(x)}{2}+3\).
Montrer que la fonction \(f'\) est constante.
Trouver les fonctions \(f\) vérifiant la relation \((1)\).

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