Convexité

Dans le dossier «Convexité»

Les exercices

$\bullet$Exercice 304
$\bullet$Exercice 881 *
$\bullet$Exercice 489 *
$\bullet$Exercice 357 **
$\bullet$Exercice 350 **
$\bullet$Exercice 353 **
$\bullet$Exercice 735 ***

Exercices dans ce dossier

Exercice 304

18 janvier 2021 15:44 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit \(f~: I\rightarrow \mathbb{R}\) une fonction à valeurs strictement positives. On suppose que \(\forall \alpha \in\mathbb{R}\), \(f_\alpha~: x\mapsto e^{\alpha x}f(x)\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).

Démontrer que \(g~: x\mapsto \ln(f(x))\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 881 *

18 janvier 2021 15:44 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

On considère une fonction \(f\) deux fois dérivable sur \(I=]0, +\infty[\) et une fonction \(g : I \longrightarrow \mathbb{R}\) définie par : \[\forall t \in I,~ g(t) = t f(1/t).\] Montrer que \(f\) est convexe si et seulement si \(g\) est convexe.

Exercice 489 *

18 janvier 2021 15:44 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

En utilisant la fonction définie par \(f(x) = \ln(\ln x)\), montrer que \[\forall a,b > 1,\quad \ln\left(\dfrac{a+b}{2}\right) \geqslant\sqrt{\ln a \ln b}.\]

Exercice 357 **

18 janvier 2021 15:44 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Montrer que \[\forall x \in ]0, 1[,\quad x^x(1-x)^{1-x} \geqslant\dfrac{1}{2}.\]

Exercice 350 **

18 janvier 2021 15:45 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) une fonction convexe majorée. Montrer que \(f\) est constante.

Exercice 353 **

18 janvier 2021 15:45 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Montrer qu’une fonction convexe sur un intervalle \(I\) est continue sur l’intérieur de l’intervalle \(I\).

Exercice 735 ***

18 janvier 2021 15:45 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit une fonction \(f : [0, +\infty[ \longrightarrow [0, +\infty[\) dérivable et concave sur \([0, +\infty[\). Montrez que \[\forall (x, y) \in [0, +\infty[^2,~ f(x+y) \leqslant f(x) + f(y).\]

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