Etudes de suites réelles

Dans le dossier «Etudes de suites réelles»

Etudes de suites réelles

Les exercices

$\bullet$Exercice 233 *
$\bullet$Exercice 1024 **
$\bullet$Exercice 965 *
$\bullet$Exercice 574 *

Exercices dans ce dossier

Exercice 233 *

18 janvier 2021 15:41 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

On considère la suite \(\left(u_n\right)\) définie par : \[\begin{cases} u_0 \in\left[0,4/3\right] \\ \forall n\in \mathbb{N},\quad u_{n+1}=\dfrac{1}{3}\left(4-u_n^2\right) \end{cases}.\]

Montrer que : \(\forall n\geqslant 0,\quad u_n\in \left[0,4/3\right]\).
Si \(\left(u_n\right)\) était convergente, quel serait sa limite \(l\)?
Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}^*, \left|u_{n+1}-l\right| \leqslant {\scriptstyle 8\over\scriptstyle 9}\left|u_n-l\right|\) et conclure.

Exercice 1024 **

18 janvier 2021 15:41 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

On considère l’application \(f\) et la suite \(\left(u_n\right)\) définies par : \[f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_+ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \dfrac{e^x}{x+2} \end{array} \right. \quad \textrm{ et} \quad\begin{cases} u_0\in\left]0,1\right[\\ \forall n\in \mathbb{N},\quad u_{n+1}=f\left(u_n\right) \end{cases}.\]

Montrer que l’intervalle \(\left]0,1\right[\) est stable par \(f\).
En déduire que \(\forall n\in\mathbb{N},\quad {u_n}\in \left]0,1\right[\) (et donc que \(\left(u_n\right)\) est bien définie).
Montrer que \(f\) admet un unique point fixe \(\alpha\) dans l’intervalle \(\left]0,1\right[\).
Prouver que : \(\forall n\in\mathbb{N},\quad \left|u_{n}-\alpha\right| \leqslant \left(\dfrac{2e}{9}\right)^n\).
Conclure.
Donner une valeur approchée de \(\alpha\) à \(10^-3\) près.

Exercice 965 *

18 janvier 2021 15:41 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Pour tout \(x\geqslant 0\), déterminer un encadrement de \(\mathop{\mathrm{sh}}\left(x+1\right)-\mathop{\mathrm{sh}}x\).
En déduire que : \(\forall n\in\mathbb{N},\quad \mathop{\mathrm{ch}}0 + \mathop{\mathrm{ch}}1+ \dots+\mathop{\mathrm{ch}}n \leqslant \mathop{\mathrm{sh}}\left(n+1\right)\).
On considère la suite \(\left(u_n\right)\) de terme général : \[u_n=\mathop{\mathrm{sh}}\left(n+1\right)-\left(\mathop{\mathrm{ch}} 0 + \mathop{\mathrm{ch}}1+ \dots+\mathop{\mathrm{ch}}n\right).\] Montrer que \(\left(u_n\right)\) est croissante.
On considère aussi la fonction \(f:x\mapsto \mathop{\mathrm{sh}}\left(x+2\right)-\mathop{\mathrm{sh}}\left(x+1\right)-\mathop{\mathrm{ch}}\left(x+1\right)\).
1. Prouver que \(f\left(x\right)\) et \(f'\left(x\right)\) sont positives pour tout \(x\geqslant 0\).
2. Montrer que : \(\forall x\geqslant 0,\quad f\left(x\right)\geqslant f\left(0\right)\).
En déduire que \(\left(u_n\right)\) diverge vers \(+\infty\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

Exercice 574 *

18 janvier 2021 15:41 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Étudier la fonction \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \left]1,+\infty\right[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x\ln x} \end{array} \right.\).
Démontrer que pour tout entier \(n\geqslant 2\), on a : \[\dfrac{1}{\left(n+1\right)\ln\left(n+1\right)}\leqslant\ln\left(\ln\left(n+1\right)\right)-\ln\left(\ln n\right)\leqslant\dfrac{1}{n\ln n}.\]
En déduire que la suite \(\left(u_n\right)\) de terme général \[u_n=\dfrac{1}{2\ln 2}+\dfrac{1}{3\ln 3}+\dots+\dfrac{1}{n\ln n}\] définie pour tout entier \(n\geqslant 2\) diverge vers \(+\infty\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

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