Théorème des accroissements finis

Dans le dossier «Théorème des accroissements finis»

Théorème des accroissements finis

Les exercices

$\bullet$Exercice 403 *
$\bullet$Exercice 280 *
$\bullet$Exercice 738 *
$\bullet$Exercice 11 *
$\bullet$Exercice 214 *
$\bullet$Exercice 300 **
$\bullet$Exercice 929 **
$\bullet$Exercice 687 ***
$\bullet$Exercice 545 ***

Exercices dans ce dossier

Exercice 403 *

18 janvier 2021 15:37 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Montrer que pour tout \(n\in \mathbb{N}^*\), on a: \[{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n+1} \leqslant\ln \left(n+1\right) - \ln \left(n\right) \leqslant{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\]

Exercice 280 *

18 janvier 2021 15:37 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Montrer que pour tout \(x\in[0,{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}]\), \(0 \leqslant\sin x \leqslant x\).
En déduire que pour tout \(x\in[0,{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}]\), \(-x^2 \leqslant\cos x -1 \leqslant 0\).

Exercice 738 *

18 janvier 2021 15:37 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soient \(a,b\) des réels positifs tels que \(a<b\).

Montrer que \[\dfrac{b-a}{1+b^2} < \operatorname{arctan} b - \operatorname{arctan} a < \dfrac{b-a}{1+a^2}\]
En déduire \({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}+ {\scriptstyle 3\over\scriptstyle 25} < \operatorname{arctan} {\scriptstyle 4\over\scriptstyle 3} < {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}+ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 6}\)

Exercice 11 *

18 janvier 2021 15:37 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

On prend \(100\) comme valeur approchée de \(\sqrt{10001}\). À l’aide du théorème des accroissements finis, majorer l’erreur commise.

Exercice 214 *

18 janvier 2021 15:37 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit une fonction \(f:]0,1[\longrightarrow \mathbb{R}\). On suppose qu’il existe \(k>0\) et \(\alpha >1\) tels que \(\forall (x,y)\in ]0,1[^2\), \[\lvert f(x)-f(y) \rvert \leqslant k\lvert x-y \rvert ^{\alpha }.\] Montrer que la fonction \(f\) est constante.

Exercice 300 **

18 janvier 2021 15:37 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit une fonction \(f : [a, b] \mapsto \mathbb{R}\) continue, ne s’annulant pas sur \([a, b]\) et dérivable sur \(]a, b[\). Montrez qu’il existe \(c\in ]a, b[\) tel que \[\dfrac{f(a)}{f(b)} = e^{(a-b) {\scriptstyle f'(c)\over\scriptstyle f(c)}}\]

Exercice 929 **

18 janvier 2021 15:37 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit une fonction \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) dérivable. Montrer que si \(f'(x) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} +\infty\) alors \(f(x) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} + \infty\). La réciproque est-elle vraie ?

Exercice 687 ***

18 janvier 2021 15:37 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit un réel \(a\in\mathbb{R}\) et une fonction \(f : [a, +\infty[ \mapsto \mathbb{R}\) dérivable sur \([a, +\infty[\) telle que \(f'(t) \xrightarrow[t \rightarrow +\infty]{} 0\).

Montrez que \(\dfrac{f(t)}{t} \xrightarrow[t \rightarrow +\infty]{} 0\).
En déduire ensuite que si \(f'(t) \xrightarrow[t \rightarrow +\infty]{} l \in \mathbb{R}\), \(\dfrac{f(t)}{t} \xrightarrow[t \rightarrow +\infty]{} l\).

Exercice 545 ***

18 janvier 2021 15:37 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit une fonction \(f\) de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur le segment \([a, b]\) avec \(a<b\). Montrez qu’il existe un réel \(c \in ]a, b[\) tel que \[\dfrac{f(a) + f(b)}{2} = f\left(\dfrac{a+b}{2}\right) + \dfrac{(b-a)^2}{8}f''(c).\]

;

Success message!