Théorème de Rolle

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Exercice

Règle de l’Hospital **

18 janvier 2021 15:32 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

  1. Soient \(a,b\) deux réels distincts et soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur \(\left[a,b\right]\) et dérivables sur \(\left]a,b\right[\). Montrer qu’il existe \(c\in\left]a,b\right[\) tel que \[f'\left(c\right)\left(g\left(b\right)-g\left(a\right)\right)=g'\left(c\right)\left(f\left(b\right)-f\left(a\right)\right)\]

  2. En déduire la règle de l’Hospital: soient \(\alpha>0\), \(x_0\in\mathbb{R}\), \(V=\left]x_0-\alpha,x_0+\alpha\right[\) et \(f,g:V\rightarrow \mathbb{R}\) tels que :

    1. les fonctions \(f\) et \(g\) sont continues sur \(V\).

    2. les fonctions \(f\) et \(g\) sont dérivables sur \(V\setminus\left\{x_0\right\}\).

    3. \(f\left(x_0\right)=g\left(x_0\right)=0\).

    4. la fonction \(g\) ne s’annule pas sur \(V\setminus\left\{x_0\right\}\).

    5. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0}{\scriptstyle f'(x)\over\scriptstyle g'(x)}}=l\in\mathbb{R}\).

    Alors \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0}{\scriptstyle f(x)\over\scriptstyle g(x)}}=l\)

  3. En déduire les limites suivantes

    1. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}}\).

    2. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}}\).

    3. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{\ln\left(1+x\right)-x}{x^2}}\).

    4. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\left(1-\cos x\right)\mathop{\mathrm{cotan}}x}\).

  4. Une généralisation de la proposition page  :

    1. Déduire de la règle de l’Hospital que si \(f\) est une application de classe \(\mathcal{C}^{2}\) dans un voisinage de \(0\) tel que \(f''\left(0\right)\neq 0\) alors \[f\left(x\right) -\left(f\left(0\right)+xf'\left(0\right)\right)\underset{x\rightarrow 0}{\sim} \dfrac{f''\left(0\right)}{2}x^2\]

    2. Généraliser ce résultat à une application de \(f\) classe \(\mathcal{C}^{n}\) dans un voisinage de \(0\) telle que \(f^{\left(n\right)}\left(0\right)\neq 0\).

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