Théorème de Rolle

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Théorème de Rolle
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Exercices dans ce dossier

Exercice

Exercice 390 *

18 janvier 2021 15:32 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Étudier la possibilité d’appliquer le théorème de Rolle aux intervalles et fonctions suivants:

  1. \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} [-1,1] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \sqrt[3]{x^2} \end{array} \right.\)

  2. \(g: \left\{ \begin{array}{ccl} [0,1/\pi] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \left\{\begin{array}{l} x\sin\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} \right) \textrm{ si } x \neq 0 \\ 0 \textrm{ si } x=0 \end{array}\right. \end{array} \right.\)
Exercice

Exercice 363 *

18 janvier 2021 15:32 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) dérivable et telle que \(f'\) ne s’annule pas. Prouver que \(f\) ne peut être périodique.
Exercice

Exercice 457 *

18 janvier 2021 15:32 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soient \((a,b,c)\in \mathbb{R}^{3}\). Montrer que l’équation \(4ax^3+3bx^2+2cx=a+b+c\) possède au moins une solution dans \(\left[0,1\right]\).
Exercice

Exercice 700 *

18 janvier 2021 15:32 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit \[f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \Pi_{k=1}^5 \left(x-k\right) \end{array} \right. .\]

  1. Sans calculer \(f'\), montrer que \(f'\) s’annule entre \(1\) et \(2\), entre \(2\) et \(3\), entre \(3\) et \(4\) et entre \(4\) et \(5\).

  2. En déduire que les seules racines de \(f'\) sont celles trouvées précédemment.

  3. Tracer le graphe de \(f\).
Exercice

Règle de l’Hospital **

18 janvier 2021 15:32 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

  1. Soient \(a,b\) deux réels distincts et soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur \(\left[a,b\right]\) et dérivables sur \(\left]a,b\right[\). Montrer qu’il existe \(c\in\left]a,b\right[\) tel que \[f'\left(c\right)\left(g\left(b\right)-g\left(a\right)\right)=g'\left(c\right)\left(f\left(b\right)-f\left(a\right)\right)\]

  2. En déduire la règle de l’Hospital: soient \(\alpha>0\), \(x_0\in\mathbb{R}\), \(V=\left]x_0-\alpha,x_0+\alpha\right[\) et \(f,g:V\rightarrow \mathbb{R}\) tels que :

    1. les fonctions \(f\) et \(g\) sont continues sur \(V\).

    2. les fonctions \(f\) et \(g\) sont dérivables sur \(V\setminus\left\{x_0\right\}\).

    3. \(f\left(x_0\right)=g\left(x_0\right)=0\).

    4. la fonction \(g\) ne s’annule pas sur \(V\setminus\left\{x_0\right\}\).

    5. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0}{\scriptstyle f'(x)\over\scriptstyle g'(x)}}=l\in\mathbb{R}\).

    Alors \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0}{\scriptstyle f(x)\over\scriptstyle g(x)}}=l\)

  3. En déduire les limites suivantes

    1. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}}\).

    2. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}}\).

    3. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{\ln\left(1+x\right)-x}{x^2}}\).

    4. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\left(1-\cos x\right)\mathop{\mathrm{cotan}}x}\).

  4. Une généralisation de la proposition page  :

    1. Déduire de la règle de l’Hospital que si \(f\) est une application de classe \(\mathcal{C}^{2}\) dans un voisinage de \(0\) tel que \(f''\left(0\right)\neq 0\) alors \[f\left(x\right) -\left(f\left(0\right)+xf'\left(0\right)\right)\underset{x\rightarrow 0}{\sim} \dfrac{f''\left(0\right)}{2}x^2\]

    2. Généraliser ce résultat à une application de \(f\) classe \(\mathcal{C}^{n}\) dans un voisinage de \(0\) telle que \(f^{\left(n\right)}\left(0\right)\neq 0\).
Exercice

Exercice 964 ***

18 janvier 2021 15:32 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit \(I\) un intervalle et \(f:I\mapsto \mathbb{R}\) une fonction deux fois dérivable sur \(I\). Soit \((a,b,c)\in I^3\) trois points de \(I\) avec \(a<b<c\). Montrer qu’il existe \(d\in I\) tel que \[\dfrac{f(a)}{(a-b)(a-c)} + \dfrac{f(b)}{(b-c)(b-a)}+\dfrac{f(c)}{(c-a)(c-b)}=\dfrac{f''(d)}{2}\]
Exercice

Exercice 185 **

18 janvier 2021 15:32 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \([a,b]\). On suppose que \(f(a)=f'(a)=f(b)=f'(b)=0\).

Montrer qu’il existe \(c\in]a,b[\) tel que \(f''(c)=f(c)\).
Exercice

Exercice 682 ***

18 janvier 2021 15:32 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit une fonction \(f\) de classe \(\mathcal{C}^{3}\) sur le segment \([a, b]\). On suppose qu’il existe trois points \(a < a_1 < a_2 < a_3 < b\) tels que \(f(a_1) = f(a_2) = f(a_3) = 0\). Soit un réel \(x \in [a, b]\). Montrez qu’il existe un réel \(c \in ]a, b[\) tel que \[f(x) = \dfrac{(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)}{6}f^{(3)}(c).\]
Exercice

Exercice 383 ***

18 janvier 2021 15:32 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit \(f \in \mathcal{C}^{3}([a, b])\). Montrer qu’il existe \(c \in ]a, b[\) tel que : \[f(b) - f(a) = \dfrac{b-a}{2}\Bigl[f'(a) + f'(b)\bigr] - \dfrac{(b-a)^3}{12}f^{(3)}(c).\]
Exercice

Exercice 889 ***

18 janvier 2021 15:33 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit \(f \in \mathcal{C}^{5}([a, b])\). Montrer qu’il existe \(c \in ]a, b[\) tel que \[f(b) = f(a) + \dfrac{b-a}{2}\bigl(f'(a) + f'(b)\bigr) - \dfrac{(b-a)^2}{12}\bigl(f''(b) - f''(a)\bigr) + \dfrac{(b-a)^5}{720} f^{(5)}(c)\]

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