Applications de la dérivation

Dans le dossier «Applications de la dérivation»

Applications de la dérivation

Les exercices

$\bullet$Exercice 276 *
$\bullet$Exercice 39 *
$\bullet$Exercice 831 **
$\bullet$Exercice 829 **
$\bullet$Exercice 73 **

Exercices dans ce dossier

Exercice 276 *

18 janvier 2021 15:26 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit \(f:[0,+\infty[ \rightarrow \mathbb{R}\) une fonction de classe \(C^1\) telle que \(f(0)=-1\) et \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)}=+\infty\). Montrer que si \(f\) s’annule au moins deux fois alors il en est de même de \(f'\).

Exercice 39 *

18 janvier 2021 15:26 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} [0,{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \sqrt{\sin x} + x \end{array} \right.\).

Démontrer que \(f\) réalise une bijection vers un intervalle qu’on précisera.
Prouver que \(f^{-1}\) est continue et dérivable sur cet intervalle.

Exercice 831 **

18 janvier 2021 15:26 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit \[f: \left\{ \begin{array}{ccl} \left[{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2},\pi\right[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sin x} \end{array} \right. .\]

Vérifier que \(f\) réalise une bijection de \(\left[{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2},\pi\right[\) sur \(\left[1,+\infty\right[\).
Sans calculer \(f^{-1}\), déterminer son ensemble de dérivabilité et calculer sa dérivée.

Exercice 829 **

18 janvier 2021 15:26 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit la fonction \(f:\mathbb{R}^{*}\mapsto \mathbb{R}\) définie par \(f(x)=\left( x+\sqrt{x^2+1}\right)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}\).

Montrez que la fonction \(f\) se prolonge par continuité sur \(\mathbb{R}\) en une fonction \(g\).
Etudiez la parité de la fonction \(g\).
Etudiez les variations de la fonction \(g\) sur l’intervalle \(]0,+\infty[\) et déterminez la limite \(\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)\).
On admet que \(g'(x)\xrightarrow[x \rightarrow 0]{} 0\). Qu’en déduit-on sur la dérivabilité de \(g\) en \(0\) ? Tracer la courbe représentative de la fonction \(g\).

Exercice 73 **

18 janvier 2021 15:26 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

On considère un réel \(M > 0\) et une fonction \(g:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) dérivable telle que \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(\lvert g'(x) \rvert \leqslant M\). Soit un réel \(\varepsilon> 0\). On définit la fonction \(f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) par \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(f(x) = x + \varepsilon g\left(x\right)\).

Trouver une condition suffisante sur \(\varepsilon\) pour que \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(f'(x) > 0\).
Montrez que si cette condition est remplie, la fonction \(f\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{R}\).

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