Dérivées d'ordre $n$, formule de Leibniz

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Dérivées d'ordre $n$, formule de Leibniz

Les exercices

$\bullet$Exercice 1016 *
$\bullet$Exercice 503 *
$\bullet$Exercice 812 *
$\bullet$Exercice 378 *
$\bullet$Exercice 639 **
$\bullet$Exercice 468 **
$\bullet$Exercice 950 **
$\bullet$Exercice 935 **

Exercices dans ce dossier

Exercice 1016 *

18 janvier 2021 15:21 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f\left(x\right)=\begin{cases} x^2 \ln\left(x^2\right) &\textrm{ si } x\neq 0\\ 0 &\textrm{ si } x=0\end{cases}\]

Vérifier que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et calculer \(f'\).
La fonction \(f\) est-elle de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\)?
La fonction \(f\) est-elle deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\)?

Exercice 503 *

18 janvier 2021 15:21 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f\left(x\right)=\begin{cases} \left(x^x\right)^x &\textrm{ si } x> 0\\ 1 &\textrm{ si } x\leqslant 0\end{cases}\]

Vérifier que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et calculer \(f'\).
La fonction \(f\) est-elle de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\)?
La fonction \(f\) est-elle deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\)?

Exercice 812 *

18 janvier 2021 15:21 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit \[f:\left\{ \begin{array}{ccl} [0,1] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} x\sin\left( \dfrac{e^{-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}}{x}\right) & \textrm{ si } x\neq 0\\ 0 & \textrm{ si } x=0 \end{cases} \end{array} \right.\] Est-ce que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{1}\), \(\mathcal{C}^{2}\) sur \([0,1]\) ?

Exercice 378 *

18 janvier 2021 15:21 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Calculer la dérivée \(n\)-ième de:

\(f_1:x \mapsto \dfrac{1}{1-x}\)
\(f_2:x \mapsto \dfrac{1}{1+x}\)
\(f_3:x \mapsto \dfrac{1}{1-x^2}\)
\(f_4: x \mapsto x^2 e^x\)
\(f_5: x \mapsto x^3 \ln x\)
\(f_6:x\mapsto \sin x \cos x\).
\(f_7:x\mapsto e^{x}\sin x\).

Exercice 639 **

18 janvier 2021 15:21 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Déterminer la dérivée \(n^{\textrm{ ème}}\) de la fonction \[f(x) = x^2 (1-x)^n\]

Écrire \((1-x)^n=(-1)^n(x-1)^n\) pour calculer les dérivées successives: cela évite les problèmes de signe!

Exercice 468 **

18 janvier 2021 15:21 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

On considère la fonction \(f : ]0, +\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = x^{n-1} \ln x\) où \(n \in \mathbb{N}^{\star}\). Calculez \(f^{(n)}\)

Exercice 950 **

18 janvier 2021 15:21 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

On considère la fonction définie sur \(]-1, +\infty[\) par \[f_n(x) = x^{n-1} \ln(x+1)\] Déterminer \(f^{(n)}_n(x)\) en effectuant un raisonnement par récurrence.

Exercice 935 **

18 janvier 2021 15:21 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^n(1-x)^n\). Calculer sa dérivée \(n^{\textrm{ ème}}\) et en déduire la valeur de la somme : \[S_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2\]

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