Application des nombres complexes à la géométrie

Exercices dans ce dossier

Exercice

Construction à la règle et au compas du pentagone régulier *

27 novembre 2020 16:53 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

      1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^5=1\quad \left(*\right)\).

      2. Posons \(\omega=\cos\left({\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 5}\right)+i\sin\left({\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 5}\right)\). Montrer que l’ensemble solution de l’équation \(\left(*\right)\) est : \(\left\{1,\omega,\omega^2,\omega^3,\omega^4\right\}\).

      3. Représenter \(\left\{1,\omega,\omega^2,\omega^3,\omega^4\right\}\) dans le plan complexe.

      4. Calculer : \(1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4\).

    1. On pose \(\alpha=\omega+\omega^4\) et \(\beta=\omega^2+\omega^3\).

      1. Déduire de que \(\alpha\) et \(\beta\) sont solutions de \(Z^2+Z-1=0 \quad \left(**\right)\).

      2. Exprimer alors \(\alpha\) en fonction de \(\cos\left({\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 5}\right)\) et \(\beta\) en fonction de \(\cos\left({\scriptstyle 4\pi\over\scriptstyle 5}\right)\)

    2. Résoudre l’équation \(\left(**\right)\) et en déduire une valeur exacte de \(\cos\left({\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 5}\right)\).

    1. On désigne par \(A_0\), \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) et \(A_4\) les points d’affixe respective \(1\), \(\omega\), \(\omega^2\), \(\omega^3\) et \(\omega^4\).

      1. Par quelle transformation simple passe-t-on de \(A_0\) à \(A_1\)? puis de \(A_1\) à \(A_2\)? Généraliser ce résultat.

      2. Quelle est l’abscisse du point \(H\) intersection de la droite \(\left(A_1A_4\right)\) avec l’axe des abscisses?

    2. Soit \(\mathscr C\) le cercle de centre \(\Omega\) d’affixe \(-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\) et passant par le point \(B\) d’affixe \(i\). On désigne par \(M\) et \(N\) les points où \(\mathscr C\) rencontre l’axe des abscisses, \(M\) ayant une abscisse positive.

      1. Prouver que \(M\) a pour affixe \(\alpha\) et que \(N\) a pour abscisse \(\beta\).

      2. Prouver que \(H\) est le milieu de \(\left[OM\right]\).

      3. Déduire de ce qui précède la construction à la règle et au compas d’un pentagone dont on connaît le centre \(O\) et un sommet \(A_0\). Effectuer cette construction en se plaçant dans un repère orthonormal direct \(\left(O,\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right)\) avec \(\overrightarrow{\imath}=\overrightarrow{O A_0}\).

Exercice

Formule de Heron **

27 novembre 2020 16:53 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur


Soit \(I\) le centre du cercle inscrit au triangle \(ABC\). Les longueurs des côtés sont \(a = y+z\), \(b = z+x\) et \(c = x+y\). On appelle \(s\) le demi-périmètre \(x+y+z\). Les angles en \(I\) vérifient \(\alpha+\beta+\gamma = \pi\).

  1. Démontrer que \(r+ix = ue^{i\alpha}\).

  2. Calculer \((r+ix)(r+iy)(r+iz)\).

  3. En prenant les parties imaginaires, démontrer que \(xyz = r^2(x+y+z)\).

  4. En déduire que \(r = \sqrt{\dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}\).

  5. Démontrer que l’aire du triangle \(ABC\) vaut
    \(\mathscr A = \dfrac{ra}{2} + \dfrac{rb}{2} + \dfrac{rc}{2} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) (Formule de Heron)

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