Dérivabilité

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Exercice 609 *

18 janvier 2021 15:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

En utilisant la définition, déterminer quand les fonctions suivantes sont dérivables et déterminer leur dérivée :

\(f:x \mapsto x\).
\(f:x \mapsto x^2\).
\(f:x \mapsto \sqrt x\).
\(f:x \mapsto \dfrac{1}{x}\).
\(f:x \mapsto \left|x\right|\).
\(f:x \mapsto x^n\) où \(n\in\mathbb{N}\).

Exercice 852 *

18 janvier 2021 15:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(f :\mathbb{R}\rightarrow R\) une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\)

Si \(f\) est paire que dire de \(f'\)?
Si \(f\) est \(T\)-périodique (\(T>0\)) que dire de \(f'\)?

Exercice 344 *

18 janvier 2021 15:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer :

son domaine de définition.
son domaine de dérivabilité.
sa dérivée.

\(f:x \mapsto \sqrt[5]{x^3}\)
\(f:x \mapsto \dfrac{\operatorname{arctan} x}{x^2+1}\)
\(f: x \mapsto \ln\left(\ln x\right)\)
\(f: x \mapsto e^{\cos x}\)
\(f: x \mapsto \ln\left|x\right|\)
\(f: x \mapsto 5^x\)

Exercice 68 *

18 janvier 2021 15:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer :

son domaine de définition.
son domaine de dérivabilité.
sa dérivée.

\(f: x \mapsto \cos^7 x\)
\(f:x \mapsto x^x\)
\(f: x \mapsto \sqrt{\left(x^4+1\right)^3}\)
\(f: x \mapsto x\ln\left|x+1\right|\)
\(f: x \mapsto x^4 e^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}\)
\(f: x \mapsto \mathop{\mathrm{argth}}\left(\sin x\right)\)

Exercice 289 *

18 janvier 2021 15:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer :

son domaine de définition.
son domaine de dérivabilité.
sa dérivée.

\(f: x \mapsto \ln\left(\ln\left(\ln\left(\ln x\right)\right)\right)\)
\(f: x \mapsto \mathop{\mathrm{argch}}\left(2+\cos x\right)\)
\(f: x \mapsto \left(\mathop{\mathrm{ch}}x\right)^{2x}\)
\(f:x \mapsto \ln\left(\operatorname{arccos} x\right)\)
\(f: x \mapsto \dfrac{1}{\operatorname{arcsin} \mathop{\mathrm{sh}}x}\)
\(f:x \mapsto \sqrt{1+\operatorname{th} x}\)

Exercice 93 *

18 janvier 2021 15:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer :

son domaine de définition.
son domaine de dérivabilité.
sa dérivée.

\(f: x \mapsto {\scriptstyle 2\sqrt x\over\scriptstyle 1+x}\)
\(f: x \mapsto {\scriptstyle x+\ln x\over\scriptstyle x+\ln^2 x}\)
\(f:x \mapsto \dfrac{\operatorname{arccos} x}{\operatorname{arcsin} x}\)
\(f: x \mapsto \left(1+x\right)^x\)
\(f: x\mapsto \dfrac{\sqrt{ \mathop{\mathrm{argsh}}x}}{\ln \left(\mathop{\mathrm{ch}}x\right)}\)
\(x \mapsto {\scriptstyle\sin x\over\scriptstyle\left(\cos x + 2\right)^4}\)

Exercice 283 *

18 janvier 2021 15:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Pour chacune des fonctions suivantes :

Déterminer son domaine de définition \(D_f\).
Prouver que \(f\) est continue sur \(D_f\).
Déterminer sur quel domaine \(f\) est dérivable.
Prolonger \(f\) par continuité là où c’est possible.
Vérifier si ce prolongement est dérivable.

\(f:x \mapsto x\sin\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} \right)\)
\(f:x \mapsto x^2\sin\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} \right)\)
\(f:x \mapsto \left(x^2-1\right) \operatorname{arcsin} \left(x^2\right)\)
\(f: x \mapsto \left|x\right|\mathop{\mathrm{argth}}x\)

Exercice 899 *

18 janvier 2021 15:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Pour chacune des fonctions suivantes :

Déterminer son domaine de définition \(D_f\).
Prouver que \(f\) est continue sur \(D_f\).
Déterminer sur quel domaine \(f\) est dérivable.
Prolonger \(f\) par continuité là où c’est possible.
Vérifier si ce prolongement est dérivable.

\(f:x\mapsto {\scriptstyle x^4\over\scriptstyle e^x-1}\)
\(f:x\mapsto x^x\).
\(f:x\mapsto \cos\left(\sqrt x\right)\)
\(f:x\mapsto \sqrt{\left|x-1\right|}\sin x\).

Exercice 261 *

18 janvier 2021 15:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f\left(x\right)=\begin{cases} 1-e^x &\textrm{ si } x<0\\ 0 &\textrm{ si } x=0\\ \dfrac{e^x-1}{e^x+1} &\textrm{ si } x>0 \end{cases}\]

Prouver que \(f\) est continue en \(0\).
Étudier la dérivabilité de \(f\) et calculer \(f'\left(x\right)\) en tout point \(x\) où \(f\) est dérivable.

Exercice 347 *

18 janvier 2021 15:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f\left(x\right)=\begin{cases} e^{-x}+1 &\textrm{ si } x\leqslant 0\\ 2+x\ln x &\textrm{ si } x>0 \end{cases}\]

Prouver que \(f\) est continue en \(0\).
Étudier la dérivabilité de \(f\) et calculer \(f'\left(x\right)\) en tout point \(x\) où \(f\) est dérivable.

Exercice 552 **

18 janvier 2021 15:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient deux réels \(a\) et \(x_0>0\). On définit \[f:\left\{ \begin{array}{ccl} ]0,+\infty[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} a\sqrt{x} & \textrm{ si } x<x_0 \\ x^2+1 & \textrm{ si } x\geqslant x_0 \end{cases} \end{array} \right.\]

Trouver les valeurs de \(a\) et \(x_0\) pour lesquelles \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\).

Dérivée symétrique en \(0\) **

18 janvier 2021 15:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit une fonction \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\). On dit que cette fonction possède une dérivée symétrique en \(0\) lorsque \[\lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{ f(h)-f(-h)}{2h} \textrm{ existe et est finie.}\]

Si la fonction \(f\) est dérivable en 0, montrer qu’elle admet une dérivée symétrique en \(0\) et la calculer.
Si la fonction \(f\) admet une dérivée symétrique en \(0\), est-elle dérivable en 0 ?

Exercice 750 **

18 janvier 2021 15:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit une fonction \(f:[0,+\infty [\longrightarrow \mathbb{R}\) dérivable sur l’intervalle \([0, +\infty[\) telle que \(f(0)=0\), \(f\geqslant 0\) et \[\forall x\geqslant 0, f'(x)\leqslant af(x) \quad(a>0)\] Montrer que la fonction \(f\) est nulle.

Exercice 1021 **

18 janvier 2021 15:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(x_0\in\mathbb{R}\) et \(f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) une application continue en \(x_0\neq 0\) et telle que la fonction \(x\mapsto xf(x)\) soit dérivable en \(x_0\). Montrer que \(f\) est dérivable en \(x_0\).

Exercice 473 **

18 janvier 2021 15:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) une fonction dérivable et telle que \(xf'(x) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} 1\). Montrer que \(f(x) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} +\infty\).

Exercice 422 **

18 janvier 2021 15:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \[f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} x^2 & \textrm{ si } x\in \mathbb{Q}\\ 0 & \textrm{ si } x\not\in \mathbb{Q} \end{cases} \end{array} \right.\] Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(x_0\in \mathbb{R}\).

Exercice 559 **

18 janvier 2021 15:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) une fonction dérivable telle que \(f(0)=0\). Déterminer la limite suivante : \[\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{ f(x)f(-x)}{x^2}\]

Exercice 744 ***

18 janvier 2021 15:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) dérivable en \(0\) telle que \(f(0)=0\). Trouver la limite de la suite de terme général \[u_n= \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}f\left( \dfrac{2^k}{3^n} \right)\]

Indication: Utiliser le développement limité à l’ordre \(1\) de \(f\) en \(0\): \(f(x)=xf'(0)+ x\varepsilon(x)\). L’idée est que pour \(x\) petit, \(f(x)\) ressemble à \(xf'(0)\) . La suite se comporte comme \(f'(0) \sum_{k=0}^n {\displaystyle\Big({{\textstyle n}\atop {\textstyle k}}\Big)}\dfrac{2^k}{3^n}= f'(0)\).

Exercice 838 ***

18 janvier 2021 15:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère la suite \((s_n)\) définie pour tout \(n\geqslant 1\) par \[s_n = \sum_{k=n}^{2n} \dfrac{1}{k}\]

Montrez que la suite \((s_n)\) est convergente.
On considère une fonction \(f : [0, 1] \mapsto \mathbb{R}\) dérivable au point \(0\) et telle que \(f\left(0\right)=0\). On définit pour tout \(n\geqslant 1\) la suite \((S_n)\) par \[S_n = \sum_{k=n}^{2n} f\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle k}\right)\] Montrer que la suite \((s_n)\) converge.
Étudiez les suites de terme général \[u_n = \sum_{k=n}^{2n} \ln\left( 1 + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle k}\right) \textrm{ et } v_n = \sum_{k=0}^n \sin\left(\dfrac{1}{k+n}\right)\]

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Success message!