Calcul de développements limités

Dans le dossier «Calcul de développements limités»

Calcul de développements limités

Les exercices

$\bullet$Exercice 106 *
$\bullet$Exercice 100 *
$\bullet$Exercice 974 *
$\bullet$Exercice 57 *
$\bullet$Exercice 47 *
$\bullet$Exercice 246 *
$\bullet$Exercice 870 *
$\bullet$Exercice 810 *
$\bullet$Exercice 125 **
$\bullet$Exercice 310 **
$\bullet$Exercice 499 **
$\bullet$Exercice 17 **
$\bullet$Exercice 285 **
$\bullet$Exercice 697

Exercices dans ce dossier

Exercice 106 *

18 janvier 2021 13:44 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

En utilisant la formule de Taylor-Young, trouver les développements limités en \(0\) à l’ordre \(n\) des fonctions suivantes :

\(f:x\mapsto e^x\)
\(f:x\mapsto \sin x\)
\(f:x\mapsto \cos x\)
\(f:x\mapsto \mathop{\mathrm{ch}}x\)
\(f:x\mapsto \dfrac{1}{1-x}\)
\(f:x \mapsto \ln\left(1-x\right)\)

Exercice 100 *

18 janvier 2021 13:44 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soient \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) définie par :

\[f\left(x\right)=\begin{cases} x^3\sin\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right) \textrm{ si } x\neq 0\\0 \textrm{ si } x=0\end{cases}\] Montrer que \(f\) admet un développement limité d’ordre \(2\) en \(0\) mais que \(f\) n’est pas deux fois dérivable en \(0\).

Exercice 974 *

18 janvier 2021 13:44 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Déterminer les développements limités des fonctions suivantes en \(x_0=0\) à l’ordre indiqué :

\(~\sin x \cos x\) à l’ordre \(5\)
\(\left(1+x\right)^{-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}}\) à l’ordre \(3\)
\(\operatorname{arctan} x\) à l’ordre \(5\).
\(\mathop{\mathrm{sh}}x\cos x\) à l’ordre \(5\)
\(e^x\sqrt{1-x}\) à l’ordre \(4\)
\(e^{\sin x}\) à l’ordre \(5\).

Exercice 57 *

18 janvier 2021 13:44 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Déterminer les développements limités des fonctions suivantes en \(x_0=0\) à l’ordre indiqué :

\(~\left(e^x-1\right)\left(\sin x - x\right)\) à l’ordre \(6\)
\(~\dfrac{1}{\cos x}\) à l’ordre \(6\)
\(~{\ln\left({\scriptstyle\sin x\over\scriptstyle x}\right)}\) à l’ordre \(4\)
\(\tan x\) à l’ordre \(5\)
\(\operatorname{arcsin} x\) à l’ordre \(5\)
\(\dfrac{\ln\left(1+x\right)}{e^x-1}\) à l’ordre \(3\)

Exercice 47 *

18 janvier 2021 13:44 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Déterminer les développements limités des fonctions suivantes en \(x_0=0\) à l’ordre indiqué :

\(~\left(1+2x\right)^x\) à l’ordre \(5\)
\(\ln\left(1+\mathop{\mathrm{sh}}x\right)\) à l’ordre \(4\).
\(\ln\left(\cos x\right)\) à l’ordre \(6\)
\(\sqrt{\cos x}\) à l’ordre \(4\)
\(e^{\mathop{\mathrm{ch}}x}\) à l’ordre \(3\)
\(\operatorname{th} x\) à l’ordre \(3\)

Exercice 246 *

18 janvier 2021 13:44 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Déterminer les développements limités des fonctions suivantes en \(x_0=0\) à l’ordre indiqué :

\(\ln\left({\scriptstyle x^2+1\over\scriptstyle x+1}\right)\) à l’ordre \(3\)
\(\dfrac{1}{\operatorname{th} x} - \dfrac{1}{\tan x}\) à l’ordre \(3\)
\(\sqrt{1+\cos x}\) à l’ordre \(5\)
\(\left(1+x\right)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}\) à l’ordre \(3\)
\(\ln\left({\scriptstyle\mathop{\mathrm{sh}}x\over\scriptstyle x}\right)\) à l’ordre \(4\)
\(\ln\left(1+\sqrt{1+x}\right)\) à l’ordre \(3\)

Exercice 870 *

18 janvier 2021 13:44 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Déterminer les développements limités des fonctions suivantes en \(x_0=0\) à l’ordre indiqué :

\(x \mapsto \sin(\tan(x))\) à l’ordre \(7\)
\(e^{\sqrt{1+x}}\) à l’ordre \(3\)
\((\ln(1+x))^2\) à l’ordre \(4\)
\(\sqrt{3+\cos x}\) à l’ordre \(3\)
\(x \mapsto \sin^6(x)\) à l’ordre \(9\)
\(\ln\left(3e^x+e^{-x}\right)\) à l’ordre \(3\)

Exercice 810 *

18 janvier 2021 13:44 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Déterminer les développements limités des fonctions suivantes en \(x_0\) à l’ordre indiqué :

\(\sin\left(x\right)\) en \(x_0={\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}\) à l’ordre \(3\)
\(\cos \left(x\right)\) en \(x_0={\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3}\) à l’ordre \(4\)
\(e^x\) en \(x_0=1\) à l’ordre \(4\).
\(\dfrac{\ln x}{x^2}\) en \(x_0=1\) à l’ordre \(4\)
\(\sin x \cos 3 x\) en \(x_0=\dfrac{\pi}{3}\) à l’ordre \(2\)
\(\operatorname{arctan} x\) en \(x_0=1\) à l’ordre \(3\)

Exercice 125 **

18 janvier 2021 13:44 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Trouver le DL(0,2) de la fonction définie par \[\left( \dfrac{\sin x}{x}\right) ^{3/x^2}\]

Exercice 310 **

18 janvier 2021 13:44 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Déterminer le DL(0,4) de la fonction définie par : \[\left( \cos x\right) ^{1+\sin x}\]

Exercice 499 **

18 janvier 2021 13:44 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Déterminer le développement limité à l’ordre \(4\) en \(0\) de la fonction définie par \[x \mapsto e^{3 + \cos x}\]

Exercice 17 **

18 janvier 2021 13:44 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Déterminer le DL(0,4) de la fonction définie par \[(1+\sqrt{1+x^2})^{1/2}\]

Exercice 285 **

18 janvier 2021 13:44 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Déterminer le \(DL(0,2)\) de la fonction définie par : \[\operatorname{arcsin} \left( \dfrac{1+x}{2+x} \right)\]

Exercice 697

18 janvier 2021 13:44 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Calculer \(\int_0^x (1+\tan^2t)\,\textrm dt\).
Déterminer le \(DL(0,10)\) de \(x\mapsto\tan x\).

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