Bijection continue

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Bijection continue

Les exercices

$\bullet$Exercice 631 *
$\bullet$Exercice 72 **

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Exercice 631 *

18 janvier 2021 13:21 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \left[2,+\infty\right[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \sqrt{x^2-4x+8} \end{array} \right.\).

Prouver que \(f\) réalise une bijection de \(I=\left[2,+\infty\right[\) sur son image (que l’on précisera).
Prouver que la bijection réciproque de \(f\) est continue.
Déterminer cette bijection réciproque.

Exercice 72 **

18 janvier 2021 13:21 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) telle qu’il existe \(k > 0\) tel que \[\forall (x, y) \in \mathbb{R}^{2},~ x\neq y \Rightarrow \lvert f(x) - f(y) \rvert < k \lvert x-y \rvert\]

Montrez que \(f\) est uniformément continue sur \(\mathbb{R}\) ;
On définit la fonction \(\varphi\) sur \(\mathbb{R}\) par \(\varphi(x) = f(x) - kx\). Montrez que la fonction \(\varphi\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\) ;
On suppose qu’il existe deux réels \(a < b\) tels que \[\forall x \in [a, b],~ ka < f(x) < kb\] Montrez qu’il existe un unique réel \(\alpha\) dans \([a, b]\) vérifiant \[f(\alpha) = k\alpha\]

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