Equations fonctionnelles

Dans le dossier «Equations fonctionnelles»

Equations fonctionnelles

Les exercices

$\bullet$Exercice 849 *
$\bullet$Exercice 168 *
$\bullet$Exercice 476 **
$\bullet$Exercice 74 *
$\bullet$Exercice 195 **
$\bullet$Exercice 754 **
$\bullet$Exercice 178 ***

Exercices dans ce dossier

Exercice 849 *

16 janvier 2021 19:04 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) continue en \(0\) et soit \(k\in\mathbb{N}^*\), \(k\neq1\) tels que \[\forall x\in \mathbb{R}, \quad f(kx)=f(x).\] Montrer que \(f\) est une fonction constante.

Exercice 168 *

16 janvier 2021 19:04 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Déterminer toutes les fonctions \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) continues telles que \[\forall x\in \mathbb{R} , \quad f(2x)=-f(x)\]

Exercice 476 **

16 janvier 2021 19:04 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit une fonction \(f:[0,+\infty[ \mapsto \mathbb{R}\) continue sur l’intervalle \([0, +\infty[\) telle que \[\forall x \geqslant 0, \quad f(x^2)=f(x)\] Déterminer la fonction \(f\).

Soit \(x>0\), considérer la suite récurrente \[u_0=x \textrm{ et } \forall n\in \mathbb N, \quad u_{n+1}=\sqrt{u_n}\]

Exercice 74 *

16 janvier 2021 19:04 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit \(x\in \mathbb{R}\). Etudier la suite \[u_0=x \textrm{ et } \forall n\in \mathbb N, \quad u_{n+1}=\dfrac{u_n-1}{2}\]
Trouver les fonctions \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) continues vérifiant \[\forall x\in \mathbb{R} , \quad f(2x+1)=f(x)\]

Exercice 195 **

16 janvier 2021 19:04 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

On considère une fonction \(f : ]0, +\infty[ \mapsto \mathbb{R}\) continue au point \(1\). On suppose que \[\forall (x, y) \in ]0, +\infty[,~ f(xy) = f(x) + f(y)\] Déterminez toutes les fonctions \(f\) vérifiant ces propriétés.

Exercice 754 **

16 janvier 2021 19:04 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit une fonction \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) continue vérifiant : \[\forall (x,y)\in \mathbb{R}^{2}, \quad f(x+y)=f(x)f(y)\]

Montrer que \(\forall x\in \mathbb{R} , f(x)\geqslant 0\).
On suppose qu’il existe \(x\in \mathbb{R}\) tel que \(f(x)=0\). Montrer que \(f=0\).
On suppose que \(f\) n’est pas la fonction nulle. Déterminer la fonction \(f\).

Exercice 178 ***

16 janvier 2021 19:04 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

On définit \(E\) l’ensemble des fonctions \(f:[0,1] \mapsto \mathbb{R}\) continues vérifiant : \[\forall (x,y)\in [0,1]^2, \quad f\left( \dfrac{x+y}{2} \right) =\dfrac{f(x)+f(y)}{2}\]

Montrer que si \((f,g)\in E^2\) et \((\lambda,\mu) \in \mathbb{R}^{2}\) alors \(\lambda f + \mu g \in E\).
On suppose que \(f\in E\) vérifie \(f(0)=f(1)=0\). Montrer que \(f=0\).
Montrer que les éléments de \(E\) sont les fonctions affines.

Pour la seconde question, déterminer un ensemble \(A\) sur lequel on peut dire que \(f\) s’annule. Montrer que cet ensemble est dense et utiliser le raisonnement par densité. Pour la troisième question, considérer \(g(x)=f(x)- [f(0)+ x(f(1)-f(0)]\).

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