Continuité sur un segment

Soient \(f,g:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) continues telles que \(\forall x \in [a,b], \quad f(x) < g(x)\). Montrer qu’il existe \(\alpha >0\) tel que \[\forall x \in [a,b], \quad f(x) \leqslant g(x)-\alpha.\]

Soient deux fonctions \(f, g : [0, 1] \mapsto \mathbb{R}\) continues telles que \[\forall x \in [0, 1],~ 0 < f(x) < g(x)\] Montrez qu’il existe un réel \(k > 1\) tel que \[\forall x \in [0, 1],~g(x) \geqslant k f(x)\]

Soit une fonction \(f\) continue sur \(\mathbb{R}\). On suppose que \[f(x) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} +\infty \textrm{ et } f(x) \xrightarrow[x \rightarrow -\infty]{} +\infty\] Montrez que la fonction \(f\) possède un minimum.

Soit \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) une application T-périodique (\(T>0\)) et continue. Montrer que \(f\) est bornée.

Soit \(f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) bornée et \(g: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) continue. Montrer que \(g \circ f\) et \(f \circ g\) sont bornées.

Soient deux fonctions continues \(f\) et \(g\) sur le segment \([0,1]\) vérifiant : \[\forall x\in[0,1], \quad 0 < f(x) < g(x)\] On considère une suite \((x_n)\) telle que \(\forall n \in \mathbb N\), \(x_n \in [0,1]\) et l’on définit la suite \((a_n)\) par \[a_n = \left( \dfrac{f(x_n)}{g(x_n)}\right)^n\] Déterminer la limite de la suite \((a_n)\).

On considère une réunion de deux segments \(K = [a, b] \cup [c, d]\) avec \(a < b < c < d\). Soit \(f : K \mapsto K\) une fonction continue sur l’ensemble \(K\). On suppose que \(\forall (x,y)\in K^2\), \[x\neq y \Rightarrow \lvert f(x)-f(y) \rvert < \lvert x-y \rvert\] On considère la fonction \(\varphi\) définie sur \(K\) par \(\varphi(x) = \lvert f(x) - x \rvert\). Montrez que la fonction \(\varphi\) possède un minimum sur \(K\). Montrez par l’absurde que ce minimum est nul. En déduire que la fonction \(f\) admet un unique point fixe \(x_0 \in K\).